辨得清方能解得對
——例析幾何概型的常見錯誤

☉江蘇省海門市麒麟中學 李曉峰

辨得清方能解得對
——例析幾何概型的常見錯誤

☉江蘇省海門市麒麟中學 李曉峰

幾何概率模型是高中新課標教材中新增加的內容，它與古典概型都是概率論中最基本、最簡單的概率類型.二者的共同點是每個基本事件發生的可能性相等，不同點是古典概型的基本事件個數只有有限個，幾何概型的基本事件有無限個.解決幾何概型問題要根據不同的測度選擇相應的幾何測度求解，因此學生在理解、判斷、轉化、求解幾何概型時常出錯.筆者在幾年的教學實踐的基礎上，總結歸納了易出現的一些陷阱及錯誤舉例加以分析，望同行批評指正.

一、混淆古典概型和幾何概型的概念

古典概型和幾何概型最大的區別就是在于基本事件個數的有限與無限，學生在解決這類問題時經常會混淆兩者之間的異同.

例1（1）在區間［-3，3］上隨機地取一個數，使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率為_________；

（2）在區間［-3，3］上隨機地取一個整數，使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率為_________.

學生的錯誤解答：誤看了取的是整數？還是數？而導致將這兩題的幾何概型、古典概型的概念混淆.

正解：由|x+1|-|x-2|≥1，解得x≥1.用A表示使|x+1|-|x-2|≥1成立的事件.

（1）在區間［-3，3］上隨機地取一個數，結果不可數，試驗的結果與區間的長度有關，總區間長度為3-（-3）= 6.事件A為取值在區間［1，3］上，區間長度為3-1=2，故P（A）

（2）在區間［-3，3］上隨機地取一個整數，所取整數構成的集合為{-3，-2，-1，0，1，2，3}，共7種結果.每一個整數被取到的可能性相等，事件A的取值集合為{1，2，3}，共3種結果.故

弄清基本事件的總數是有限還是無限的，是區分古典概型和幾何概型的主要依據.

二、錯選幾何概型的測度而導致出錯

例2如圖1所示，給定兩個模長為1的平面向量O—→A和O—→B，它們的夾角為120°，點C在以O為圓心的圓弧AB上，且O—→C=xO—→A+yO—→B（其中x，y∈R），則滿足x+y≥的概率為___________.

圖1

學生的錯誤解答：

生1：這個問題研究的是x、y的取值范圍問題，因為有兩個變量，所以這個問題是面積比，易知0≤x≤1，0≤y≤1，滿足x+y≥的x、y如圖2所示，所求概率為

圖2

生2：這個問題研究的是x+y的取值范圍問題，這個問題是長度比.易知0≤x≤1，0≤y≤1，所以0≤x+y≤2，滿足x+y的x、y如圖3所示，則所求的概率為

圖3

生3：這個問題研究的是x+y的取值范圍問題，這個問題是長度比.易知左右兩邊平方得所以的x、y如圖4解得1≤x+y≤2，滿足x+y≥2搖所示，則所求的概率為

圖4

圖5

正解：生4：由于x、y之間有關系，若設∠AOC=α，則x、y都與α有關，所以這是一個角度比.具體解法如下：如圖5所示，設∠AOC=α，則0過點C作CD∥OB交OA于點D，CE∥OA交OB于點E，則在△ODC中，由正弦定理得所以所求的概率為

從以上四位同學的解答過程可以看出，他們選取了不同的基本事件導致答案不同.事實上，“點C在以O為圓心的圓弧AB上”這句話揭示了這個問題的本質——等可能基本事件應為“在弧AB上任取一點C”，所以基本事件的測度應為“弧AB的長度”，所求事件的測度應為“滿足x+y這個條件的弧長”，所求概率應為弧長比.當然也可以轉化為相應的圓心角之比，所以只有生4的答案是正確的，

三、忽視轉化中等可能性而導致出錯

在解決幾何概型問題時，轉化的過程若不等可能，就會導致出錯，將幾類形似質異的問題放在一起讓學生辨析，就能提高學生解決問題的能力.

例3如圖6，△ABC是等腰直角三角形，過頂點C在∠ACB=90°內部任意引射線CP交斜邊AB于點P，求AP< AC的概率.

圖6

學生的錯誤解答：由于∠ACB內部的任一射線與邊AB的交點是一一對應的，如圖6，當交點P處于D位置時，AP=AC，故問題可轉化為點P在邊AB上隨機選取時，AP

事實上，由題意，射線CP在∠ACB內部等可能地選取，而此時對應的交點P并不是在邊AB上等可能地分布.事實上，設∠ACP=α，由正弦定理得所以APAC，AP與α不是成正比的，因此不應采用邊長作為測度，故正確解答如下：

正解：依題意知，射線CP在∠ACB內任意選取，所以選用角度作為測度.在線段AB上取點D，使AD=AC，則當且僅當射線CP在∠ACD內部時，AP

而原學生的解答是下面這道變式題的解答：△ABC是等腰直角三角形，在斜邊AB上取點P，求AP

四、忽視研究對象轉化的等價性導致出錯

例4在單位圓上任取兩點M、N，連接成弦，求弦長MN超過圓內接正三角形邊長的概率.

圖7

事實上，此法用弦的中點來代替弦的兩端點作為研究對象.我們知道，圓內除圓心外的任意一點的確可以唯一確定一條以該點為中點的弦.但是，以圓心為中點的弦，即直徑，卻有無數條，當然相應地也有無數對端點.因此，這個對象的轉化是不等價的.

圖8

正解：等長的弦所對的圓心角相等，固定點M在圖8的位置，點N在自M到P的半圓周上均勻地運動時，圓心角∠MON也均勻地從0增加到π.因此，我們可以把問題轉化為圖8中，過圓心O在直徑MP的右側任意作射線ON交圓周于點N，求∠MON超過的概率.此時基本事件構件區域為［0，π］，而事件A構成的區域為

例5甲、乙、丙三人玩游戲，游戲規則為：在不遠處有一小方塊，要將一枚銅板扔到這張方塊上，已知銅板的直徑是方塊邊長的誰能將銅板完整地扔到這張方塊上就可以晉級下一輪.現在甲一扔，銅板落在小方塊上且沒有掉下來，問他能晉級下一輪的概率有多大？

學生的錯誤解答：記“甲能晉級下一輪”這個事件為C，假設小方塊的邊長為1.過銅板中心O向小方塊最近的邊作垂線OB，設OB=d.依題意得，甲已經將銅板扔到了小方塊上，故.而要使銅板完整地落入方塊，如圖9，應使d

事實上，設A為小方塊中心，當OB=d時，銅板中心位于以A為中心，1-2d為邊長的正方形的邊上，隨著d從0增大到銅板中心分布的區域長度線性遞減，所以將研究對象銅板中心轉化為銅板中心到小方塊邊的最短距離是不合理且不等價的.

圖9

正解：由已知得，銅板中心等可能分布在小方塊的任一處，如圖9，當銅板中心位于以A為中心，邊長為的正方形內部（含邊界）時，甲能晉級下一輪，故

因此，在解決幾何概型問題時，首先要認真審題，明確問題的原始條件，正確判斷該問題是否為幾何概型，要正確使用概率公式，必要時在遵循研究對象合理替換、保持等可能性的原則下進行等價轉化，實現解題過程的簡化.

當然，本文不能將幾何概型習題的陷阱及誤解一一呈現，僅以幾例警示學生在平時的學習中一定要熟練區分幾何概型的測度，避免掉入陷阱，出現以上誤解.一般情況下，對于幾何概型問題，關鍵是要認真審題，分析問題考查的測度，考慮到底是體積比、面積比、長度比、角度比，還是弧長比等，從而正確解決問題.