正視函數應用中的幾個易錯問題
——以函數的單調性為例

☉浙江省寧波鄞州高級中學 葉琪飛

正視函數應用中的幾個易錯問題
——以函數的單調性為例

☉浙江省寧波鄞州高級中學 葉琪飛

函數性質是高考對函數考查的主要內容，其中主要涉及函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性、零點等.考生在解答此類問題時由于對性質的把握不準確，易陷入解題誤區.本文以函數的單調性為例，就其中常見誤區舉例分析.

一、定義域優先原則

定義域是函數的兩個要素之一，函數的性質也是在定義域范圍內的性質，因此在涉及單調性相關問題的解答中勿忽視對函數定義域的考慮.

解析：由復合函數的單調性知g（x）=x2-2mx+3在區間（-∞，1）內為減函數，函數g（x）的對稱軸為x=m，所以m≥1.又由對數函數的真數大于0，故應有g（1）≥0，即4-2m≥0，解得m≤2，所以實數m的取值范圍為［1，2］.

評注：復合函數y=f［g（x）］單調性的處理原則，當f（x）與g（x）的單調性相同時，y=f［g（x）］為增，當f（x）與g（x）的單調性相異時，y=f［g（x）］為減.本題的解答中易忽視對函數定義域的考慮，即函數在區間（-∞，1）上應有x2-2mx+3>0.

A.（0，＋∞）B.（-∞，0）C.（2，＋∞）D.（-∞，-2）

答案：D.

二、準確認識“單調區間”與“在區間上單調”

函數f（x）的“單調區間是D”與“在區間D上單調”的含義，這是兩個不同的范圍.函數的單調遞減區間是I，指的是函數遞減的最大范圍為區間I，而函數在某一區間上單調遞減，則指此區間是相應單調遞減區間的子集.

例2若函數f（x）=x2+2（a-1）x+4的單調遞減區間是（-∞，4］，則實數a的取值為________.

解析：因為函數的單調遞減區間為（-∞，4］，且函數圖像的對稱軸為直線x＝1-a，所以1-a＝4，即a＝-3.

評注：正確理解“單調區間”和“在區間上單調”的含義，函數的單調區間是函數單調的最大范圍，而函數在某一區間上單調，則此區間是相應單調區間的子集.

變式：若函數f（x）=x2+2（a-1）x+4在區間（-∞，4］上單調遞減，則實數a的取值范圍為________.

答案：（-∞，-3］.

三、函數的單調性是函數的整體性質

函數的單調性是函數的整體性質，若f（x）在區間（-∞，0），［0，+∞）上均為單調增函數，但在（-∞，+∞）內不一定為增.如反比例函數等.

解析：由已知f（x）是（-∞，+∞）上的減函數，應滿足如下條件：（1）g1（x）=（3a-1）x+4a在（-∞，1）內單調遞減，即3a-1<0，；（2）g2（x）=logax在［1，+∞）內單調遞減，所以0

評注：上述解答中易忽視對條件（3）的考慮，即g1（1）≥g2（1），7a-1≥0，a≥

函數的單調性是函數的整體性質，分段函數的單調性問題，在保證左右分支分別滿足單調的前提下，應保證在定義域范圍內單調性的連續性，即在分段點處的單調性.

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案：B.

四、奇偶函數在對稱區間內單調性的異同

偶函數是特殊的對稱函數，其關于y軸對稱，且在對稱兩區間內單調性相異.奇函數關于原點對稱，且在對稱兩區間內單調性相同.

例4（2015年新課標卷）設函數f（x）=ln（1+|x|）-則使得f（x）＞f（2x-1）成立的x的取值范圍是（）.

評注：若函數f（x）的定義域關于O對稱，且在其定義域范圍內滿足f（-x）=f（x），則f（x）為偶函數，且有f（-x）= f（x）=f（|x|），據此可將不確定區間內的變量范圍變換到確定的單調區間內，進而得出變量的范圍.

變式：已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且在區間［0，+∞）上單調遞增.若實數a滿足f（log2a）2f（1），則a的取值范圍是_________.

五、f（x+1）>f（x）與f（x）為單調遞增函數的關系

圖1

若函數f（x）的定義域為R，則“?x∈R，f（x+ 1）>f（x）”并不能保證“函數f（x）在R內為增函數”，如函數f（x）的圖像，如圖1，則當a<1時，滿足f（x+1）>f（x），但此時f（x）為非單調函數.但當f（x）為單調增函數時，則有f（x+1）>f（x），故“?x∈R，f（x+1）> f（x）”是“函數f（x）在R內為增函數”的必要非充分條件.

例5（2014年湖北卷）已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時（|x-a2|＋|x-2a2|-3a2）.若則實數a的取值范圍為（）.

圖2

評注：解答本題時需要正確認識“?x∈R，f（x-1）≤f（x）”，即使f（x）最小時條件成立，進而求出參數的范圍.

變式：已知定義域為R的函數f（x）是奇函數，當x≥0時，f（x）=|x-a2|-a2，且對x∈R，恒有f（x+1）≥f（x），則實數a的取值范圍為（）.

綜上，函數是高中數學的重點和難點，函數性質是函數問題的一條主線，由于這一部分內容具有較強的抽象性，常因缺乏透徹的理解，而出現錯解.為了避免錯誤的重演，錯過之后的反思就顯得非常重要，因此學習中要善于歸納易錯點，分析錯因，加強訓練，方能取得好的效果.