以形輔數(shù)話向量

☉江蘇省海門中學(xué) 王 娟

以形輔數(shù)話向量

☉江蘇省海門中學(xué) 王 娟

向量是新課程中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其對思維的考查要求相比以往陳舊的數(shù)學(xué)知識來得更為靈活，更容易成為編制出優(yōu)秀試題對學(xué)生能力分層的重要知識章節(jié).北師大張英伯教授非常推崇向量，早在2000年時(shí)就力薦將向量內(nèi)容移植到高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中，在新課程2003年開始實(shí)施后向量章節(jié)終于出現(xiàn)在必修4中.為什么向量如此受重視呢？我們可以借鑒數(shù)學(xué)家吳文俊先生的話語：“向量并不是一個(gè)純粹的單一知識章節(jié)，它是一種問題解決的工具，在解決幾何問題的過程中，向量將問題可以代數(shù)化，進(jìn)而演變成機(jī)械化的證明，這是向量的一種極為重要的作用.”其實(shí)我們感受到向量機(jī)械化證明的內(nèi)容體現(xiàn)在向量的坐標(biāo)化運(yùn)用和空間幾何的向量法使用.

一方面，向量不僅用其代數(shù)方式解決了很多比較困難的幾何問題；另一方面也大大體現(xiàn)了價(jià)值，恰是其圖形化的工具性作用.向量圖形化的使用策略，將原本較為復(fù)雜的問題以向量幾何圖形的方式將其展示出來，其幾何意義躍然紙上，問題的解決顯得較為輕松.筆者認(rèn)為，中學(xué)數(shù)學(xué)的向量問題主要是兩種方式，即向量的代數(shù)化運(yùn)算（坐標(biāo)化運(yùn)算是其特殊情形）和向量的圖形化策略，哪種方式對于思維的啟發(fā)和促動(dòng)更大呢？顯然是圖形化的策略，即以形輔數(shù).代數(shù)化方式在解決問題時(shí)對于思維的考查作用不如圖形化策略明顯，因此在中學(xué)向量知識環(huán)節(jié)中代數(shù)化并未達(dá)到吳文俊先生說的機(jī)械化的地步.通過圖形化使用方式，我們來看看如何解決向量問題的以形輔數(shù).

一、構(gòu)造三角形

圖1

例1已知向量a≠e，|e|=1，對任意t∈R，恒有|ate|≥|a-e|，則下列命題正確的是_________.

（1）a⊥e；（2）a⊥（a-e）；

（3）e⊥（a-e）；（4）（a+e）⊥（a-e）.

解析：本題改編自浙江高考試題，可以采用代數(shù)化的方式，對其進(jìn)行以t為自變量的二次函數(shù)分析，利用判別式解決問題，有興趣的讀者可以試試，在處理Δ≤0得到（a·b）2時(shí)要提醒學(xué)生注意（a· b）2≠a2·b2，這是代數(shù)化解決的關(guān)鍵；但是筆者思考，這樣的問題若使用圖形化方式更能凸顯向量解決問題的本質(zhì)，因此以形輔數(shù)才是這種問題更直接的反映：如圖1，建構(gòu)向量e和向量a，利用向量減法可得a-e，任意選擇te，利用向量減法可得a-te，對任意t∈R，要使得|a-te|≥|a-e|成立，則顯然（a-e）所在線段為垂線段，即e⊥（a-e）.從圖形化策略中，我們發(fā)現(xiàn)問題的解決顯得異常輕松，其為何|a-e|最短的本質(zhì)躍然紙上，這正是向量圖形化功能的正確使用.

圖2

解析：與例1類似，本題也是采用向量三角形正確構(gòu)造下的圖形化策略.不妨令觀察圖2，可知線段AC為垂線段，故△ABC為直角三角形.

圖3

變式2：△ABC所在的平面記為α，平面α內(nèi)一點(diǎn)P與平面外一點(diǎn)M，滿足對任意的x，y∈R則異面直線PM與BC所成的角為___________.

說明：上述問題都是以三角形知識進(jìn)行建構(gòu)，將向量加減法的三角形法則運(yùn)用到實(shí)際問題中，是構(gòu)建圖形的關(guān)鍵.筆者也發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于三角形法則不可謂不熟悉，但是在解決實(shí)際問題的時(shí)候，往往卻一籌莫展，對于圖形化的建構(gòu)，筆者認(rèn)為學(xué)生不善于利用的主要原因是：第一，運(yùn)用思維還是運(yùn)用運(yùn)算，學(xué)生的第一選擇往往是寧可計(jì)算也不愿思考，這是因?yàn)橄蛄繖C(jī)械化給出了方向，但是令一般學(xué)生望而生畏的運(yùn)算往往是問題解決的障礙；第二，數(shù)形結(jié)合思想的缺失，導(dǎo)致學(xué)生解決向量問題往往不會構(gòu)圖、不想構(gòu)圖，或者是對構(gòu)圖沒有正確掌握其最核心的條件，上述三個(gè)問題都圍繞同一個(gè)想法，即垂線段最短，這體現(xiàn)出向量在其他知識交匯處的考查值得教師繼續(xù)研究.

二、構(gòu)造圓

解析：如圖4所示，向量a，b滿足夾角120°，且a-c與b-c的夾角是60°，這里可分兩種情況，一是A，B，C在以O(shè)為圓心，半徑為1的圓上，此時(shí)|c|=1；二是以四點(diǎn)共圓來建構(gòu)圖形.設(shè)∠AOB=120°，∠ACB=60°，可知點(diǎn)C的軌跡是優(yōu)弧一動(dòng)點(diǎn)，顯然當(dāng)點(diǎn)C為優(yōu)弧的中點(diǎn)時(shí)，取到最大值，即為O，A，B，C四點(diǎn)所在圓的直徑.易得在△ABC中，由正弦定理得

圖4

圖5

變式：已知向量a，b滿足|a|=|b|=a·b=2，且（a-c）·（b-2c）=0，則|b-c|最大值為_________.

解析：如圖5所示，若對條件分析可知，向量a，b滿足夾角60°，而（a-c）·（b-2c）=（a-c）這樣問題就圍繞向量a，b，c建構(gòu)圖形解決.設(shè)，D為線段OB中點(diǎn)，則由題意可知（a-c）即∠ACD=90°，可知點(diǎn)C的軌跡是以Q為圓心，以AD為直徑的圓上的點(diǎn).又問題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)B與圓上動(dòng)點(diǎn)C的最值.至此，問題已到達(dá)學(xué)生能認(rèn)知的模式，|b-c|的最大值為BQ+r.給出計(jì)算：半徑，所以|b-c|max=

說明：構(gòu)造圓形解決向量問題，是利用了特定的平面幾何中的相關(guān)知識，諸如對角互補(bǔ)的四點(diǎn)共圓、動(dòng)態(tài)三角形直角頂點(diǎn)必定落在某一圓的邊界上.這種以形輔數(shù)解決向量問題，顯然較第一種構(gòu)造難度更大，筆者認(rèn)為首先認(rèn)知題中所涉及的向量條件是第一步，將條件選擇成圖形的建構(gòu)是難點(diǎn)，需要教師合理的引導(dǎo)和闡述，最后問題轉(zhuǎn)變?yōu)榕c圓上動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的問題，利用平面幾何知識可知，往往與圓心的距離有關(guān).

三、自由向量的構(gòu)造

向量章節(jié)從2003年進(jìn)入高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)之后，筆者越來越感受到它的無窮魅力.其不受任何約束的建構(gòu)和使用，成為解決問題最自然的一種武器.那么，向量章節(jié)中最核心的知識體現(xiàn)在哪個(gè)知識點(diǎn)上呢？很多教師在不斷教學(xué)生演算坐標(biāo)化下的向量、解決數(shù)量積的熟練程度，這些是基本功，但是沒有觸及向量的核心，筆者以為向量核心知識是平面向量基本定理.這個(gè)基本定理的良好理解，才能真正深刻認(rèn)識后續(xù)向量正交分解的坐標(biāo)化只不過是其特殊情形而已.

自由化坐標(biāo)的建立：如圖6所示，三點(diǎn)A，Q，B共線，則存在實(shí)數(shù)x，y，使得若以x，y作為有序點(diǎn)對（x，y），以為各自一個(gè)單位，OA→x軸，OB→y軸，建立斜角坐標(biāo)系，類比直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)的性質(zhì)，可以得到如下延伸：

圖6

（1）過點(diǎn)O且平行于AB的直線，其斜角坐標(biāo)系下方程為：x+y=0；

（2）以O(shè)A為x軸，OB為y軸建立的斜角坐標(biāo)系也分為四個(gè)象限，類比直角坐標(biāo)系下線性規(guī)劃知識可得自由化坐標(biāo)下的線性規(guī)劃，如下文中1-1區(qū)域指的是第一象限1號區(qū)域，其余類似.

例3Rt△ABC中，AB為斜邊，BC=2，正△BCD滿足AB⊥BD，P在等邊△BCD內(nèi)部（含邊界）運(yùn)動(dòng)，記E為AB的中點(diǎn)，若則λ+μ的取值范圍是_________.

分析1：筆者自編了本題，主要是考查學(xué)生是否可以利用圖形化的策略將問題構(gòu)建成自由坐標(biāo)的方式解決.查看學(xué)生的解決過程，筆者發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生首先想到的是下面的方式.

圖7

圖8

解法1：如圖7所示，以B為原點(diǎn)，AB、BD所在的直線分別為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系，則B（0，0），D（0，2），

解法2：如圖8所示，用自由向量建構(gòu)的坐標(biāo)系，以E為原點(diǎn)，EB為λ軸，EC為μ軸建系.

說明：靈活運(yùn)用向量圖形化的建構(gòu)策略，是將平面向量基本定理學(xué)習(xí)到精髓的體現(xiàn).平面向量基本定理是向量知識的重中之重，可惜的是，當(dāng)下的向量教學(xué)卻過多地涉及了向量的代數(shù)化，將無限可能的自由化分解拋諸腦后.從上述筆者自編的問題可以看出，學(xué)生依舊對于正交分解情有獨(dú)鐘，但是較為煩瑣的運(yùn)算卻恰恰限制了向量優(yōu)越性的體現(xiàn)，而以自由化坐標(biāo)體現(xiàn)的方式恰恰將平面向量基本定理的精髓呈現(xiàn)出來，我們可以清楚地看到三點(diǎn)共線性質(zhì)使用后，利用平行線的等間距性質(zhì)，輕松地解決自由化坐標(biāo)下的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的類線性規(guī)劃問題，其思維更高端、更前瞻、更美妙，這才是向量思維性的價(jià)值體現(xiàn).

總之，中學(xué)數(shù)學(xué)的向量教學(xué)一直是兩條途徑的教學(xué).代數(shù)化和圖形化始終圍繞著向量教學(xué)的始終，從近幾年越來越頻繁的考查來看，向量試題的思維化考查更趨于明顯.筆者認(rèn)為，思維化成為考查的熱點(diǎn)正是基于我們的課程需要培養(yǎng)具備創(chuàng)新型人才的基調(diào)，過于代數(shù)化的解決方式可以培養(yǎng)大量的熟練操作，卻難在思維培養(yǎng)上有所突破，因此可以這么說，圖形化解決策略是數(shù)形結(jié)合思想在向量教學(xué)中的最優(yōu)體現(xiàn)，也是教師教學(xué)努力提高學(xué)生思維的解決之道.

1.鮑建生.向量教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1-3）.

2.鄭毓信.向量中學(xué)習(xí)變式理論的必要發(fā)展［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2006（1）.

3.沈恒.陳舊的問題改進(jìn)的認(rèn)識［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2011（11）.

4.姜興榮.探求解題思路的幾種有效策略［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2013（7-8）.