左右兼顧
——談分段函數(shù)問題的解答

☉江蘇省平潮高級中學(xué) 周 炎

左右兼顧
——談分段函數(shù)問題的解答

☉江蘇省平潮高級中學(xué) 周 炎

分段函數(shù)是高考的熱點之一，分段函數(shù)，顧名思義，其函數(shù)在不同定義域范圍內(nèi)，有不同的解析式，其內(nèi)容涉及求值、定義域、值域、解析式、奇偶性、單調(diào)性、圖像、方程、不等式等多方面知識.因此在處理分段函數(shù)問題時必須左右兼顧，方可防止錯解.下面舉例說明.

一、針對不同自變量，由內(nèi)到外逐層求函數(shù)值

解析：當(dāng)a≥1時，f（a）=2a>1，所以f（f（a））=2f（a）；當(dāng)a<1時，f（a）=3a-1.若f（f（a））=2f（a），則f（a）≥1，即3a-1≥1，所.故選C.

點評：不同的自變量，有不同的解析式，針對不同自變量，選取對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式，由內(nèi)到外逐層求函數(shù)值.

二、“不重不漏”求分段區(qū)間的解析式

例2（2014年安徽高考）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=2f（x），若當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=x（1-x）.則當(dāng)-1≤x≤0時，f（x）=___________.

解析：當(dāng)-1≤x≤0時，有0≤x+1≤1，則f（x+1）=（x+ 1）［1-（x+1）］.

又因為f（x+1）=2f（x），所以2f（x）=（x+1）［1-（x+1）］.

點評：“求誰設(shè)誰”，求哪個區(qū)間的解析式，x就設(shè)在哪個區(qū)間內(nèi)，然后代入已知區(qū)間的解析式，利用奇偶性解出f（x）.求分段函數(shù)的解析式時，分別求出定義域內(nèi)各段對應(yīng)的解析式，再組合在一起，要注意各區(qū)間內(nèi)的點要“不重不漏”，求哪個區(qū)間的解析式，就把x設(shè)在哪個區(qū)間上.

變式：已知y＝f（x）+x2是奇函數(shù)，且f（1）＝1.若g（x）＝f（x）+2，則g（-1）＝________.

答案：-1.

三、分段函數(shù)的單調(diào)性，由局部到整體

例3（2015年北京高考模擬）已知a>0，函數(shù)f（x）=則實數(shù)t的取值范圍為（）.

點評：本題屬于利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍問題，判斷分段函數(shù)的單調(diào)性時，首先應(yīng)該判斷各段函數(shù)的單調(diào)性，若每一段函數(shù)單調(diào)性一致，再判斷分界點處函數(shù)值的關(guān)系，符合單調(diào)性定義，則該函數(shù)在整個定義域上單調(diào)遞增或遞減，不符合，則必須分段說明單調(diào)性.

四、分段函數(shù)的奇偶性的分段處理

A.f（x）是偶函數(shù)B.f（x）是增函數(shù)

C.f（x）是周期函數(shù)D.f（x）的值域為［-1，+∞）

解析：由函數(shù)f（x）的解析式知，f（1）＝2，f（-1）＝cos（-1）＝cos1，f（1）≠f（-1），則f（x）不是偶函數(shù).當(dāng)x>0時，令f（x）＝x2+1，則f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，且函數(shù)值f（x）>1；當(dāng)x≤0時，f（x）＝cosx，則f（x）在區(qū)間（-∞，0］上不是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)值f（x）∈［-1，1］；所以函數(shù)f（x）不是單調(diào)函數(shù)，也不是周期函數(shù)，其值域為［-1，+∞）.故選D.

點評：分段函數(shù)奇偶性的判斷方法：先看定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱就為非奇非偶函數(shù)；若對稱，且分別從相對稱的兩個區(qū)間上滿足相同關(guān)系時，才具有確定的奇偶性.

五、多變量下的分段函數(shù)，由多化一

圖1

解析：作出分段函數(shù)f（x）的圖像，如圖1所示，由圖可知，只有當(dāng)直線位于y=0與y=3之間時才與函數(shù)f（x）的圖像有3個交點，結(jié)合圖像可得1

點評：多變量下的分段函數(shù)要結(jié)合函數(shù)的圖像特征求出變量的范圍，同時要結(jié)合函數(shù)的表達(dá)式求出各變量之間的關(guān)系，將多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量的函數(shù)問題，再結(jié)合定義域準(zhǔn)確求出最值或范圍.

變式：設(shè)f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間［-1，1］上，f（x）其中a，b∈R.若則a+3b的值為________.

答案：-10.

六、分段函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為交點問題處理

解析：分析題意可知，問題等價于方程x3=b（x≤a）與方程x2=b（x>a）的根的個數(shù)和為2.若兩個方程各有一個根，則可知關(guān)于b的不等式組有解，從而a>1；若方程x3=b（x≤a）無解，方程x2=b（x>a）有2個根，則可知關(guān)于b的不等式組有解，從而a<0.

綜上，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪（1，+∞）.

點評：函數(shù)的零點個數(shù)問題，通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點個數(shù)問題處理.本題中的零點問題可轉(zhuǎn)化為y=f（x）與y=b有兩個交點問題，y1=x3為單調(diào)函數(shù)，故其與y=b至多有一個交點；而y2=x2與y=b有1個或2個交點，題目中g(shù)（x）=f（x）-b有兩個零點，問題等價于y1，y2與y=b各有一個交點，或y1與y=b沒有交點，y2與y=b有兩個交點.

①若a=1，則f（x）的最小值為________；

②若f（x）恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是______.

綜上，分段函數(shù)函數(shù)問題的常用處理方式，即分別處理不同定義域內(nèi)的不同解析式，從而函數(shù)值域、最值、單調(diào)性、奇偶性、零點等問題就會迎刃而解，另外方程、不等式等可用數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想及函數(shù)思想來解，可使問題得到大大簡化.