空間分數階擴散方程的Multiquadric擬插值解法

王自強,曹俊英,2*

(1.貴州民族大學理學院,貴州貴陽550025;2.廈門大學數學科學學院,福建廈門361005)

空間分數階擴散方程的Multiquadric擬插值解法

王自強1,曹俊英1,2*

(1.貴州民族大學理學院,貴州貴陽550025;2.廈門大學數學科學學院,福建廈門361005)

基于擬插值算子對空間分數階擴散方程構造了一個新的數值格式.首先在散落點上用三次Multiquadric(MQ)函數的平移構造了一個擬插值算子,分析了此擬插值算子的再生性、保形性和對分數階導數的收斂性,最后利用上述擬插值算子并結合時間差分格式構造了空間分數階擴散方程的計算格式.收斂性分析顯示:當時間方向用Crank-Nicolson格式時,精度為O(Δt2+h4ˉα),當時間方向用向后Euler格式時,精度為O(Δt+h4ˉα),其中Δt為時間步長,h為空間步長.數值結果表明MQ擬插值方法是構造數值格式的一個有效工具.

Multiquadric擬插值;分數階擴散方程;保形性;逼近性分析

由于徑向基函數具有簡單性、精確性、各向同性以及便于向高維問題的擴展等優(yōu)點,越來越多的研究者用它們構造插值函數,得到了非常好的結果. Light[1]、Schaback等[2]分別在1992年和1996年用徑向基函數來構造了一些插值函數.1971年Hardy[3]首次介紹了Multiguadric(MQ)函數.1982年Franke[4]指出:就精度、穩(wěn)定性、有效性、內存要求和易于實現而言,MQ函數在29種散落數據插值格式中首屈一指.然而,當插值點數非常大時,插值矩陣可能病態(tài).與插值相比,擬插值不但避免了病態(tài)問題,而且具有多項式再生性質和保形性質.基于擬插值方法的上述優(yōu)點,研究者們如何對于非均勻數據構造出具有好性質的擬插值算子近來已經成為一個熱門研究課題[5-7].由于MQ擬插值算子具有許多好性質,很多研究者開始利用MQ擬插值算子構造求解偏微分方程的數值格式[8-11].本文構造了一種MQ擬插值方法用它來求解空間分數階擴散方程.該方法可以處理復雜的邊界條件和初值具有散亂數據的情況.利用三次MQ函數的平移構造了一個高階擬插值算子,然后將該擬插值算子用在分數階導數上,并結合時間差分格式構造了空間分數階擴散方程的計算格式.

1 基于MQ函數的擬插值算子的構造

假設f(x)充足光滑,我們利用MQ函數作為核函數,構造f(x)的一個擬插值算子?(x),即采用函數的平移φj(x)=φ(xˉxj)作為一組基函數,其中c是形狀參數且為正的常數,{(xj,為數據點,有:

其中:

2 擬插值算子?(x)的性質和逼近性

為了后面理論分析的需要,這里將引入文獻[12]證明的一些擬插值算子?(x)的多項式的再生性、擬凸性、三和四階導數的凸性及其逼近性結果.

定理4 假設f(x)的三階導數是Lipschitz連續(xù),則當c=O(h2),擬插值算子?(x)的逼近階滿足

3 基于擬插值算子的數值格式

在這里,將利用擬插值算子給出求解空間分數階微分方程的數值格式.當1＜α＜2時,α階Caputo導數,定義為:

定理5 設f(x)具有三階導數Lipschitz連續(xù),則α(1＜α＜2)階分數階導數的?(x)滿足:

證明 固定x∈[a,b],設p(y)是f(y)在點x的局部泰勒展開,亦即:

易知,p[xjˉ2,xjˉ1,xj,xj+1,xj+2]≡0,這里p[xjˉ2,xjˉ1, xj,xj+1,xj+2]表示p(y)的差商.根據定理1,得:

并且,

其中ξj∈(xjˉ1,xj+2),ηj∈(xjˉ2,xj+1).

引入j=0,…,n的特征函數

則有

其中Ci,i=0,1是與x和h無關的正常數.現在,我們得到了α(1＜α＜2)階分數階導數一個擬插值近似?(x).顯然,當時,收斂階可以達到4ˉα,定理證畢.

設Ω=[a,b],I=[0,T],記QT：=Ω×I,考慮如下一維的空間分數階擴散方程(SFDEs):

滿足下列初邊值條件:

這里α∈(1,2)是空間分數階導數的階數.

在空間方向上,利用擬插值算子的二階導數來逼近u″(τ,tk),因此

在時間方向上,用Crank-Nicolson格式和向后Euler格式,則有

定理6 (i)格式(10)的截斷誤差是O(Δt2+ h4ˉα).(ii)格式(11)的截斷誤差是O(Δt+h4ˉα).

4 數值算例

我們主要做兩個方面測試,一方面,測試擬插值算子對函數的逼近性質.設f(x)=x4是被逼近函數,選擇形狀參數c和步長h,來測試擬插值算子?(x)對被逼近函數的逼近度.在表1中,分別選取和c=0.1h,0.2h,0.5h,h,2h,計算.在表2中,分別取c=80h2,h=測試?(x)當h變化時的收斂階.為了簡單起見,選擇等距剖分的樣點

通過分析表1的數值結果,發(fā)現擬插值算子的逼近性依賴于形狀參數c和步長h.從表2中發(fā)現,當c= O(h),O(h1.5)和O(h2)時,擬插值算子?(x)的收斂階能夠達到2,3和4.從圖1中發(fā)現擬插值算子?(x)能很好的逼近f(x).通過這些算例發(fā)現對擬插值算子數值結果和理論分析是非常吻合的.

表1 的逼近性Tab.1 The approximation capacity of

c h‖?(x)ˉf(x)‖∞1 10 7.105×10 1 ˉ3 100 1 1 5010 7.420×10ˉ31 10 9.633×10ˉ31 1 20 10 1.763×10ˉ21 1 10 10 5.094×10ˉ21 1 5 ˉ5 1 1 000100 9.846×10 1 1 100 1.028×10ˉ41 500 100 1.334×10ˉ41 1 200 100 2.425×10ˉ41 1 100 1 50100 6.796×10ˉ41 1 000 1.012×10 1 ˉ6 10 000 1 1 000 1.057×10ˉ61 1 5 000 1 000 1.371×10ˉ61 1 2 000 1 000 2.493×10ˉ61 1 1 000 1 000 6.979×10 1 ˉ6 500

表2 測的逼近階Tab.2 The convergence order of

表2 測的逼近階Tab.2 The convergence order of

c h‖?(x)ˉf(x)‖∞Rate 80 150.176 80 20 1 2 15 20 5.576×10ˉ24.003 3 8 1 2 1 2525 50 3.785×10ˉ22.015 3 65 50 1.530 81 50 50 5.036×10 1 ˉ2 1.5 65 100100 6.293×10ˉ21 1.5 3.000 6

另一方面,測試利用擬插值算子構造的SFDEs數值格式的收斂性.考慮問題(7)～(9),其精確解為:

相應的右端項為:

圖1 取,函數f(x)=x4和它的擬插值?(x)Fig.1 Function f(x)=x4and its quasiinterpolation operator?(x)when

為了觀察數值解逼近精確解的精度,計算了在L∞下的下面所有圖和表的數值結果都是在Ω=[0,1]和T=1時得到的.

首先,研究空間方向的收斂精度.為此,取時間步長足夠小使得其產生的誤差不影響空間精度.表3顯示了最大誤差隨不同的空間步長h和形狀參數c的變化行為,并列出了相應的階數.從表中看到,當1＜α＜2時,格式(10)和格式(11)的空間精度是4ˉα階.

其次,我們研究時間方向的收斂精度.表3顯示了最大誤差隨不同的空間步長h和形狀參數c的變化行為,并列出了相應的階數.取Δt=h,從表中數據可以看出,格式(10)的時間收斂階接近2階.取Δt=h2,從表中發(fā)現格式(11)的時間收斂階接近1階.這些數值結果與理論分析相吻合.

最后,測試參數c對收斂性的影響.僅以格式(10)為例.圖2表示,不同參數c下的L∞誤差.從圖2中發(fā)現數值解很好的逼近精確解.進一步地,我們發(fā)現當形狀參數c變小時,誤差也隨著變小.

5 結 論

我們利用MQ擬插值方法求解空間分數階擴散方程.首先,在散落點上利用三次MQ函數構造了一個擬插值算子,并分析了此擬插值算子的多項式再生性、保形性和對分數階導數的收斂性.其次,利用上述插值算子并結合時間差分格式構造了分數階擴散方程的計算格式.收斂性分析顯示:當時間方向用Crank-Nicolson格式時,精度為O(Δt2+h4ˉα);當時間方向用向后Euler格式時,精度為O(Δt+h4ˉα).最后,數值結果表明MQ擬插值方法是構造數值格式的一個有效工具.

表3 空間和時間精度Tab.3 The spatial and temporal convergence rate of scheme

圖2 ,不同參數c下的L誤差∞Fig.2 The Lerrors when∞and different parameter c

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Multiquadric Quasi-interpolation for Space Fractional Diffusion Equations

WANG Zi-qiang1,CAO Jun-ying1,2*
(1.College of Science,Guizhou Minzu University,Guiyang 550025,China; 2.School of Mathematical Sciences,Xiamen University,Xiamen 361005,China)

:In this article,we apply a new quasi-interpolation operator to solve the space fractional diffusion equation.We first construct a new univariate quasi-interpolation operator based on scattered points by cubic multiquadric functions.We discuss the polynomial reproduction,shape-preserving properties,and convergence for fractional derivative of this quasi-interpolation operator.Based on this quasi-interpolation,a spatial approximation is proposed to discretize partial differential equations.By combining the quasi-interpolation in space and finite difference schemes in time,we construct an efficient method to solve the space fractional diffusion equation. Numerical experiments show that the accuracy of our method is of order O(Δt2+h4ˉα)if the Crank-Nicholson scheme is used,and order O(Δt+h4ˉα)if Backward Euler is used,whereΔt is the time step size,and h is the space mesh size.Numerical results show that MQ quasi-interpolation method is an effective tool for constructing numerical schemes.

multiquadric quasi-interpolation;fractional diffusion equation;shape-preserving property;approximation capacity

O 241.82

A

0438-0479(2015)03-0358-06

10.6043/j.issn.0438-0479.2015.03.012

2014-03-31 錄用日期:2014-08-25

國家重點基礎研究發(fā)展計劃(973計劃)(2012(B025904));國家自然科學基金(11426074);貴州省科學技術基金([2014]2098,[2013] 2144);貴州省教育廳項目([2013]405)

*通信作者:caojunying1000@126.com

王自強,曹俊英.空間分數階擴散方程的Multiquadric擬插值解法[J].廈門大學學報:自然科學版,2015,54(3): 358-363.

:Wang Ziqiang,Cao Junying.Multiquadric quasi-interpolation for space fractional diffusion equations[J].Journal of Xiamen University:Natural Science,2015,54(3):358-363.(in Chinese)