具有非局部時滯合作擴散模型行波解的存在性

王海玲,肖筱南

(廈門大學嘉庚學院,福建漳州363105)

具有非局部時滯合作擴散模型行波解的存在性

王海玲*,肖筱南

(廈門大學嘉庚學院,福建漳州363105)

在前人的基礎上,通過改變模型結構,運用上、下解方法,研究了一類具有非局部時滯合作擴散模型的行波解的存在性,改進了前人的研究范圍,同時把這種方法推廣到一般的Lotka-Volterra方程和更廣泛的范圍.

非局部時滯;行波解;上、下解

近年來,基于各種現實背景,人們對反應擴散方程組的行波解給予極大的關注,并且取得了不少的成果.特別是對具有離散時滯的反應擴散方程的研究很多[1-5].另外,由于生物個體所在的空間位置通常會隨時間變化而改變,因此將它與時間滯后相結合,則產生了具有非局部的反應擴散方程組.因此,具有連續時滯的反應擴散方程引起了人們的較大興趣[6-9].采用文獻[9]的方法,通過加入兩個物種的內在增長種類,考慮如下具有非局部時滯的合作擴散模型的行波解的存在性:

其中,t＞0,x∈Ω?Rm,ai,bi,ci,di(i=1,2),r1,r2是正常數,r1,r2表示內在的增長種類,u1,u2表示在t時刻x位置時的兩個合作者人口的密度,d1,d2為擴散系數,gj(t,x)為非負可積函數,且滿足

關于式(1)的其他各種形式已被許多作者進行研究.如時滯改為離散型,則式(1)變為

文獻[5]研究了行波解的存在性.如果b1=b2=0,則式(2)變為

文獻[10]也研究了行波解的存在性.文獻[4]采用同樣的方法,通過構造不同的上下解研究了具有離散時滯的競爭模型行波解的存在性,模型如下:

模型(2)～(4)都只表示物種在局部范圍內擴散,但是在生態學和流行病學等領域,局部反應擴散方程并不能準確描述研究對象的時空行為,所以基于以上幾個模型的研究思路,本文以核函數為例,采用同樣方法,通過引入卷積算子來描述空間擴散過程以及構造不同于上述模型的上下解對(1)的行波解的存在性進行研究,使得我們的上下解滿足擬單調條件.

1 預備內容

考慮下面具有非局部時滯的反應擴散方程組:

其中,

其中gj是非負可積函數,且滿足

1,令u(x,t)=φ(x+ct),用t代替x+ct,則式(5)可變為:

為研究方程組(6)行波解的存在性,假設如下:
(H1)存在β=diag(β1,…,βn),βi＞0,i=1,…n,使得

其中,φ,ψ∈C(R,Rn)滿足:(i)0≤ψ(t)≤φ(t)≤k,t∈R;(ii)eβt[φ(t)ˉψ(t)]是t∈R上的單調增加函數, eˉβt[φ(t)ˉψ(t)]是t∈R上的單調減少函數;

(H2)當0＜μ＜k時,f(μ,…,μ)≠0;

(H3)當μ=0,k時,f(μ,…,μ)≠0.

方程組(6)的上、下解定義如下:

定理1 假設(H1,H2,H3)成立,且是一對上下解,滿足n}ˉ1時,式(5)有滿足式(7)的行波解φ*,滿足ˉφ≥

2 主要結果的證明

令ui(x,t)=φi(s),s=x+ct,用t代替s,則系統(1)化為:

文中,記

令式(9)的邊界條件為:

為計算方便,令

引理1 當τ1,τ4充分小,βi≥2aiki+5bikiˉri(if1,f2滿足(H)條件.

證明 令φ=(φ1,φ2),ψ=(ψ1,ψ2)∈C([ˉcτ,0], R2)且滿足(i)0≤ψ(s)≤φ(s),s∈[ˉcτ,0].(ii)eβs[φ(s) ˉψ(s)]在[ˉcτ,0]上單調不減.則

即

同理可證,

即f1,f2滿足(H)條件.

引理2 eβt[φ(t)ˉψ(t)]在t∈R上是單調不減的.

證明 當t＞0時,ψ1(t)=ε,φ1(t)=k1,則

當t≤0時,ψ1(t)=εeλ2t,φ1(t)=k1eλ1t,則

引理3 eˉβt[φ(t)ˉψ(t)]在t∈R上是單調不增的.

證明 當t＞0時,ψ1(t)=ε,φ1(t)=k1,則

當t≤0時,ψ1

綜上,φ(t)=(φ1(t),φ2(t))是系統(9)的上解.

由引理1～5,有如下結果.

注1 文中的τi,i=2,3對方程組(1)的行波解沒有影響;

注2 取以下不同的核時,定理2的結論仍然成立:

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[3] Ma S.Traveling wave-fronts for delayed reaction-diffusion systems via a fixed point theorem[J].J Differential Equations,2001,171(2):294-314.

[4] Lv G Y,Wang M X.Traveling wave front in diffusive and competitive Lotka-Volterra system with delays[J]. Nonlinear Analysis Real World Applications,2009,11 (3):1323-1329.

[5] Huang J H,Zou X F.Traveling wave fronts in diffusive and cooperative Lotka-Volterra system with delays[J].J Math Anal Appl,2002,271:455-466.

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[8] Wang Z C,Li W T,Ruan S.Traveling wave fronts of reaction-diffusion systems with spatio-temporal delays[J]. J Differential Equations,2006,222(1):185-232.

[9] Li W T,Wang Z C.Traveling fronts in diffusive and cooperative Lotka-Volterra system with nonlocal delays [J].J Math Phys,2007,58(4):571-591.

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The Existence of Traveling Wave Fronts Solution in Diffusive and Cooperative Equations with Nonlocal Delays

WANG Hai-ling*,XIAO Xiao-nan
(Tan Kah Kee Colledge,Xiamen University,Zhangzhou 363105,China)

:On the basis of pioneers′work and modified models,the existence of traveling wave-fronts solutions in diffusive and cooperative Lotka-Volterra systems with nonlocal delays is established,depending on the construction of a pair of upper-lower solutions. This method facilitates to improve previous results and is applied to general Lotka-Volterra equation or even to broader systems.

nonlocal delays;traveling fronts solutions;upper-lower solutions

O 175.26

A

0438-0479(2015)03-0364-05

10.6043/j.issn.0438-0479.2015.03.013

2014-03-05 錄用日期:2014-11-20

國家自然科學基金(10871163)

*通信作者:whling@xujc.com

王海玲,肖筱南.具有非局部時滯合作擴散模型行波解的存在性[J].廈門大學學報:自然科學版,2015,54(3): 364-368.

:Wang Hailing,Xiao Xiaonan.The Existence of Traveling Wave Fronts Solution in Diffusive and Cooperative Equations with Nonlocal Delays[J].Journal of Xiamen University:Natural Science,2015,54(3):364-368.(in Chinese)