指標加權數據包絡分析模型的研究及應用

張 杰,李 晗

(東北電力大學理學院,吉林吉林132012)

指標加權數據包絡分析模型的研究及應用

張 杰*,李 晗

(東北電力大學理學院,吉林吉林132012)

建立了指標加權數據包絡分析(DEA)模型,證明了C2R有效與BC2有效、DEA有效與指標加權DEA有效的關系,給出了求解指標加權DEA模型的步驟,并通過實例驗證了加權DEA模型的合理性.指標加權DEA模型既可以解決利用C2R模型或BC2模型評價具有多輸入和多輸出指標的系統時造成有效單元過多的問題,也能夠解決在評價過程中不能兼顧各評價指標重要性的問題.

C2R模型;BC2模型;加權數據包絡分析模型

Charnes等[1]在1978年提出C2R模型,該模型標志著數據包絡分析(DEA)方法的產生,也是其他DEA模型的基礎,在評價多投入多產出系統決策單元的規模有效性和技術有效性方面比較有效.Banker等[2]在1984年對C2R模型進行了改進,提出了BC2模型,將其應用于規模收益可變情況下的效率評價問題,曲如等[3]利用該模型對學生有效努力程度進行了測算.此后,隨著DEA模型的廣泛應用及其在解決實際問題時所出現的局限性,國內外學者不斷對其進行改進, DEA方法也得以不斷完善和發展.為了解決“黑箱”視角下DEA因忽略中間產品轉化信息及投入要素在各子過程中的配置信息,造成無法體現決策單元的實際生產技術的問題,陳凱華等[4]提出共享投入型關聯兩階段生產系統的網絡DEA效率測度與分解模型;趙萌等[5]提出了基于并聯決策單元的動態DEA方法.為了測度決策單元的規模有效性,Fare和Grosskopf[6]提出了滿足規模收益非遞增的FG模型,Seiford和Thrall提出了滿足規模收益非遞減的ST模型[7],馬贊甫等[8]對這兩個模型與C2R模型和BC2模型間的關系進行了論證;卞亦文等[9]提出了一種基于最優虛擬前沿面的DEA評價模型,并基于TOPSIS排序思想提出了一種集成的DEA排序方法,實現了決策單元完全、合理地排序;針對C2R模型在測度決策單元的相對有效性時,每個決策單元都選擇對自身有利而對其他決策單元不利的權系數而產生“偽有效”決策單元的情況,吳華清、董偉偉等[10-11]采取交叉效率模型以解決此類問題.1989年,Charnes等[12]給出了一個含有偏好的DEA模型——C2WH模型,該模型通過調整錐比率的方式反映決策者的偏好,但C2WH模型表述不具體,直觀性很差,針對不同的情況有許多特殊形式的模型被討論[13-15].

鑒于此,本文首先論證了C2R模型和BC2模型有效性的關系;然后,提出了實用性強且具有直觀性的加權DEA模型,即根據各評價指標重要性程度對多個輸入指標以及多個輸出指標分別加權得到單輸入、單輸出指標.此時,就將多輸入多輸出評價系統轉化為單輸入單輸出評價系統.該模型既可以解決具有多輸入多輸出評價指標的系統中“有效單元”過多的問題,還可以在評價過程中兼顧到各評價指標的重要性;最后,分別利用DEA模型和加權DEA模型對某高校十個教學院系的科研績效進行了評價,驗證了加權DEA模型的合理性.

1 DEA模型及DEA有效性

1.1 基本的DEA模型

基本的DEA模型包括C2R模型和BC2模型.設有n個決策單元,每個決策單元有m種“輸入”和s種“輸出”;xij表示第j個決策單元對第i種輸入的投入量,Xj=(x1j,x2j,…,xmj)T;yrj表示第j個DMU第r種輸出的產出量,Yj=(y1j,y2j,…,ysj)T;Xj0、Yj0表示被評價DMU的輸入和輸出向量,則評價第j0個DMU有效性的C2R模型和BC2模型分別為[16]:

1.2 DEA有效性

定義1[17]模型(PC2R)和(PBC2)中時,稱決策單元j0為弱C2R)且ωj0＞0、μj0＞0時,稱決策單元j0為C2R(BC2)有效.

若決策單元j0為DEA(C2R)有效,則j0既為技術有效,也為規模有效;若決策單元j0僅為DEA (BC2)有效,則j0為技術有效.下面證明兩種有效性的關系.

定理1 若決策單元j0為DEA(C2R)有效,則其必為DEA(BC2)有效.

證明 設決策單元j0為DEA(C2R)有效,則由模型(PC2R)可知,存在ˉω≥0,ˉμ≥0,使得

所以決策單元j0為DEA(BC2)有效.

證畢.

定理1的逆命題不一定成立,即DEA(BC2)有效單元未必DEA(C2R)有效,舉例如下.

表1給出了5個決策單元的3組輸入和2組輸出數據.

表1 5個決策單元的輸入輸出數據表Tab.1 The input and output data of five DMUs

分別利用C2R模型和BC2模型對每個決策單元進行評價,得到如表2所示的結果.

表2 2個模型所求得的效率值表Tab.2 The efficiency value of the two models

由表2可知,決策單元B既為DEA(C2R)有效,也為DEA(BC2)有效;決策單元A、C、D在模型(PC2R)和(PBC2)下均為DEA無效;而決策單元E為DEA (BC2)有效,但為DEA(C2R)無效.

2 指標加權DEA模型及加權DEA有效性

2.1 指標加權DEA模型

設V=(v1,v2,…,vm)為輸入指標的權重向量,其中vi表示第i種輸入指標的權重(i=1,2,…,m),vi為輸出指標的權重向量,其中ur表示第r種輸出指標的權重(r=1,2,

則對指標加權的(PWC2R)模型和(PWBC2)模型分別為:

2.2 DEA有效性

定理2 決策單元j0為DEA(C2R)有效的充要條件是存在一組權VT=(v1,v2,…,vm)和UT=(u1, u2,…,us),使決策單元j0為加權DEA(WC2R)有效.

證明 (充分性)若存在一組權ˉVT=(ˉv1,ˉv2,…, ˉvm)和ˉUT=(ˉu1,ˉu2,…,ˉus),使決策單元j0為加權DEA(WC2R)有效,則由模型(PWC2R)可知,存在ˉωj0≥0,ˉμj0≥0使得

因為(ˉω,ˉμ)為模型(PC2R)的可行解,又由式(4)可知

(必要性)若決策單元j0為DEA(C2R)有效,則由模型(PC2R)可知,存在ˉω≥0,ˉμ≥0,使得式(1)～(3)成立.

證畢.

定理3 決策單元j0為DEA(BC2)有效的充要條件是存在一組權VT=(v1,v2,…,vm)、UT=(u1,u2,…,us)和δj0,使決策單元j0為加權DEA(WBC2)有效.

證明方法與定理2類似,證略.

由定理2和定理3的證明過程可知,若決策單元j0為加權DEA有效,則其必DEA有效;反之,若決策單元j0為DEA有效,則在適當權重下才能滿足加權DEA有效.

3 指標加權DEA模型求解步驟及應用

3.1 指標加權DEA模型求解步驟

利用指標加權DEA模型對決策單元進行評價,首要的是對數據規范化,其核心是指標權重的確定.確定指標權重的方法很多,如層次分析法、模糊綜合評價法、灰色關聯度分析法等等,在此不再贅述.

指標加權DEA模型求解步驟如下:

1)輸入輸出指標數據的規范化.

設xij為第j個決策單元的第i種輸入指標的投入量(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),則規范化后的指標值ˉxij為:

設yrj為第j個決策單元的第r種輸入指標的投入量(r=1,2,…,s;j=1,2,…,n),則規范化后的指標值ˉyrj為:

2)確定輸入輸出指標的權重.

設vi表示第i(i=1,2,…,m)種輸入指標的權重, ur表示第r(r=1,2,…,s)種輸出指標的權重,則有

4)合理性判斷.

5)若

3.2 實例應用

本文對某高校10個教學院系的科研績效情況進行評價.投入指標有7項,產出指標有3項,具體數據見表3.

將表3數據進行規范化處理,得到的結果見表4.

基于高校對科研投入及科研成果的重視程度確定各指標權重如下:

V=(0.2,0.15,0.1,0.2,0.15,0.1,0.1),

對表4各指標進行加權后,得到的數據見表5.

分別利用C2R、BC2模型以及WC2R、WBC2模型進行求解,得到的結果見表6.

由表6可知,S01、S07、S10均為DEA(C2R)有效,但為加權DEA(WC2R)無效;S03、S04、S05、S07、S10為DEA(BC2)有效,但為加權DEA(WBC2)無效;S06利用4種模型評價的結果都為DEA有效.評價結果表明,利用加權DEA模型進行評價比利用DEA模型評價時有效單元個數明顯減少,這是因為加權DEA模型考慮了各指標的重要性.

表3 某高校10個教學院系的科研投入和產出數據表Tab.3 The input and output data of ten teaching departments on scientific research

表4 表3數據規范化結果Tab.4 The normalized results of Tab.3

表5 指標加權后各教學院系的科研投入與產出數據表Tab.5 The data of weighted indices of ten teaching departments on scientific research

在此,我們將式(7)的權重視為“客觀權重”,將由模型(PC2R)得到得的各個決策單元的權重視為“主觀權重”,為了進一步深入分析DEA(C2R)有效而加權DEA(WC2R)無效的原因,現將決策單元S01、S06、S07、S10的“主觀權重”和“客觀權重”列于表7.

分析表7中的權重值可知,利用模型(PC2R)評價時,每個決策單元都選擇對自身最有利的主觀權重.為達到DEA(C2R)有效,S01、S06、S07、S10對投入量較大或者輸出量較小的指標賦權很小,甚至為0,而客觀權重則兼顧到各個指標的重要性,因此決策單元S01、S07及S10僅DEA(C2R)有效而加權DEA(WC2R)無效.由表3的數據可知,S06的各項輸入指標值都比較小,而輸出值均居于中上等,因此S06不僅DEA(C2R)有效且加權DEA(WC2R)有效.

原始DEA模型具有只依賴于原始數據并對其進行客觀分析的特點,各決策單元選取對自身最有利的權重進行相對效率評價.而在實際評價過程中,不同指標的重要性是不同的.本文所提出的加權DEA模型為效率評價提供了一種新的方法,實現了客觀分析與主觀偏好的完美結合,使DEA模型更能滿足實際需要,又簡便易實現.

[1] Charnes A,Cooper W W,Rodes E.Measuring the efficiency of decision making units[J].Operational Research, 1978(2):429-444.

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[3] 曲如,李晗,劉悅,等.基于DEA方法的學生有效努力程度的評價研究[J].東北電力大學學報,2013,33(6):1-4.

[4] 陳凱華,官建成.共享投入型關聯兩階段生產系統的網絡DEA效率測度與分解[J].系統工程理論與實踐,2011, 31(7):1211-1221.

[5] 趙萌.中國制造業生產效率評價:基于并聯決策單元的動態DEA方法[J].系統工程理論與實踐,2012,32(6): 1252-1280.

[6] Fare R,Grosskopf S.A nonparametric cost approach to scale efficiency[J].Scandinavian Journal of Economics, 1985,87(4):594-604.

表6 十個教學院系科研績效評價結果表Tab.6 The evaluation results of ten teaching departments on scientific research

表7 決策單元S01、S06、S07、S10的主、客觀權重表Tab.7 The“subjective weight“and“objective weight“of S01、S06、S07、S10

[7] Seiford L M,Thrall R M.Recent development in DEA. The mathematical programming approach to frontier analysis[J].Journal of Econometrics,1990,46(1/2):7-38.

[8] 馬贊甫,劉妍珺.四類DEA模型相互關系及其在計算中的應用[J].系統工程學報,2011,26(4):558-564.

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[17] 郝海,蹤家峰.系統分析與評價方法[M].北京:經濟科學出版社,2007:198-200.

Research and Application of the Index Weighted DEA Models

ZHANG Jie*,LI Han
(College of Science,Northeast Dianli University,Jilin 132012,China)

:The index weighted DEA model has been established.The relationship between C2R model effectiveness and BC2model effectiveness,and the relationship between DEA model effectiveness and the index weighted DEA model effectiveness are proved. Steps to solve the index weighted DEA model and an example to verify the rationality of the index weighted DEA model were then given.The index weighted DEA model can not only solve problems that involved with too many effective units when we use the C2R model or BC2model to evaluate the system with multi input and multi output indexes,but also is able to take into account the importance of each evaluation index in the evaluation process.

C2R model;BC2model;index weighted DEA model

O 223

A

0438-0479(2015)03-0372-06

10.6043/j.issn.0438-0479.2015.03.015

2014-06-26 錄用日期:2015-01-14

國家自然科學基金(10671082)

*通信作者:jlzj2005@163.com

張杰,李晗.指標加權數據包絡分析模型的研究及應用[J].廈門大學學報:自然科學版,2015,54(3):372-377.

:Zhang Jie,Li Han.Research and application of the index weighted DEA model[J].Journal of Xiamen University:Natu

ral Science,2015,54(3):372-377.(in Chinese)