一類特殊冪零李代數的結構

胡建華, 趙衛萍

(上海理工大學理學院,上海 200093)

一類特殊冪零李代數的結構

胡建華, 趙衛萍

(上海理工大學理學院,上海 200093)

鑒于冪零李代數的結構和表示在李理論中有著重要的地位,主要討論復數域上一類特殊的6維帶參數ε的冪零李代數的代數結構.首先,在同構意義下,利用同構的定義及性質,通過大量的推導計算,確定了此類冪零李代數的自同構群同構于6階矩陣乘法群;其次,探討了這類冪零李代數的Centroid代數的基本性質,給出了Centroid代數的矩陣表示,同時得出這類冪零李代數的Centroid代數是一個6維冪零李代數;最后,給出了該類冪零李代數的δ-導子的矩陣表示.特別當δ為1時,探討了該類冪零李代數的導子代數的結構,得出導子代數是10維李代數,外導子代數是5維李代數.

李代數;冪零;自同構;δ-導子

冪零李代數是李理論中一類重要的李代數,其結構和表示在李理論中有著重要的地位.冪零李代數因其結構的復雜性還有很多問題尚未解決,受到許多學者的關注,低維冪零李代數成為學者們探索的對象.Schneider[1]通過確定基的方法給出了低維冪零李代數的分類;Graaf[2]利用中心擴張的方法給出了特征不為2的小于等于6維的冪零李代數的分類;楊恒云等[3]確定了二上同調群的結構.本文在此基礎上,研究復數域上一類6維帶參數的冪零李代數的代數結構.

1 概 念

定義1[4]設L是域F上的向量空間,在L中定義了一個李括號積(記為[·,·]),對?x,y∈L,有[x,y]∈L,且以下三個條件成立,稱L為域F上的一個李代數.

a.李括號積是雙線性的;

b.[x,x]=0,?x∈L;

c.[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]= 0,?x,y,z∈L(Jacobi等式).

由條件b易得,當Char F≠2時,有[x,y]= -[y,x],?x,y∈L.

例1[5]對結合代數A,?a,b∈A,定義運算[a,b]=ab-ba,則A構成一個李代數.

定義2[6]設L是域F上的李代數,{Li}(i≥ 0)為L的降中心列.若存在自然數n∈瓔,使得Ln={0},則稱L為冪零李代數.

采用文獻[2]的記號,L6,21(ε)表示復數域瓘上這樣一個6維李代數,其基為{x1,x2,…,x6},其李括號積為

其余的李括號積[xi,xj]=0.這是一個帶參數ε∈瓘的冪零李代數,且L5={0},x6是中心元,并且由文獻[2]知,對參數η∈瓘,L6,21(ε)?L6,21(η),當且僅當存在α∈瓘,使得η=α2ε.本文將刻畫復數域上李代數L6,21(ε)的自同構群、Centroid代數、導子代數以及δ-導子.

2 自同構群

定義3[4,7]設L是復數域瓘上的李代數,若線性變換φ:L→L滿足

則稱φ是L的同態映射,L的所有同態映射的集合記為End(L).若φ是可逆線性變換,則稱φ是L的自同構映射,L的所有自同構映射構成一個群,稱為L的自同構群,記作Aut L.

定理1 李代數L6,21(ε)的自同構群Aut L6,21(ε)同構于6階矩陣乘法群

3 Centroid代數

定義4[4,10]設L是復數域瓘上的李代數,若線性變換σ∈End(L)且

記E表示6階單位矩陣,Eij表示第i行第j列的元素為1,其余元素均為0的6階矩陣.

定理2 李代數Cent(L6,21(ε))同構于6階矩陣代數

推論1 李代數Cent(L6,21(ε))是冪零李代數,且其維數是6.

證明 由定理2可知,Cent(L6,21(ε))同構于矩陣代數M,而M由對角線元素全相等的下三角矩陣生成,從而M是冪零的,故Cent(L6,21(ε))是冪零的且維數等于M的維數,為6.

4 δ-導子

定義5[6]設L是域瓘上的李代數,若線性變換D:L→L,滿足D([x,y])=[D(x),y]+[x,D(y)],?x,y∈L則稱D為L的導子,L的所有導子所成的集合記為Der(L).

性質3[6]設L是域瓘上的李代數,Der(L)是一個李代數.

由文獻[4],對?x∈L,伴隨算子ad x∈Der(L),稱為L的內導子.L的所有內導子的集合記為Ad(L),構成L的內導子代數.商代數Der(L)/ Ad(L)稱為外導子代數.

定義6[13]設L是域瓘上的李代數,δ∈瓘為任意不為零的數,若線性變換D:L→L,滿足

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(編輯:董 偉)

Structure of a Certain Class of Nilpotent Lie Algebras

HUJianhua, ZHAOWeiping
(College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

The structure and representation of nilpotent Lie algebra play an important role in the Lie theory.The algebraic structure of a certain class of six-dimensional nilpotent Lie algebras with the parameterεover the complex field was discussed.It is determined that in the sense of isomorphism,the automorphism group of this class of six-dimensional nilpotent Lie algebra is isomorphic to a six-order matrix multiplication group by using the definition and properties of isomorphism and a large amount of calculation.Then the properties of Centroid algebras of this class of six-dimensional nilpotent Lie algebra were analysed and its matrix representation was given.It is shown that the Centroid algebra is a six-dimensional nilpotent Lie algebra.Finally,the δ-derivation of this class of six-dimensional nilpotent Lie algebras was determined.Especially in the case ofδ=1,the structure of derivation algebras was discussed and it is concluded that the derivation algebra is a ten-dimensional Lie algebra and outer derivation algebra is a fivedimensional Lie algebra.

Lie algebra;nilpotent;automorphism;δ-derivation

O 152

A

1007-6735(2015)03-0215-05

10.13255/j.cnki.jusst.2015.03.003

2014-04-15

國家自然科學基金資助項目(11201299)

胡建華(1978-),女,講師.研究方向:代數群及其表示理論.E-mail:smilydragon2011@163.com

??編號:1007-6735(2015)03-0220-05 DOI:10.13255/j.cnki.jusst.2015.03.004