基于多元氣溫概率模型的氣溫期權(quán)定價方法研究

金哲植, 魏連鑫, 崔基哲

(1.延邊大學理學院,延吉 133002;2.上海理工大學理學院,上海 200093; 3.延邊大學經(jīng)濟管理學院,延吉 133002)

基于多元氣溫概率模型的氣溫期權(quán)定價方法研究

金哲植1, 魏連鑫2, 崔基哲3

(1.延邊大學理學院,延吉 133002;2.上海理工大學理學院,上海 200093; 3.延邊大學經(jīng)濟管理學院,延吉 133002)

針對日常天氣風險管理中的氣溫期權(quán)定價問題,Cao-Wei模型不能充分反映氣候變暖趨勢和各地域之間的相關關系.為解決這一問題,提出了反映氣候變暖趨勢以及各地域間關聯(lián)的新的多元氣溫概率模型,并基于該模型,利用燃燒分析法及蒙特卡洛模擬法對制冷日/制熱日(CDD/ HDD)指數(shù)期權(quán)進行了精確的定價.結(jié)果表明,采用蒙特卡洛模擬法對CDD/HDD指數(shù)期權(quán)定價更為合理,分析得出的結(jié)論對天氣衍生品市場提供了有效的理論依據(jù),對期權(quán)定價有較高實用價值,為今后利用CDD/HDD指數(shù)期權(quán)對氣象保險進行合理的風險對沖,起到很好的風險管理效果.

多元氣溫概率模型;燃燒分析法;蒙特卡洛模擬法;CDD/HDD

近年來,涂春麗等[1-3]在天氣風險管理以及衍生品定價方面開展了研究.Cao等[4-5]為了表示氣溫變化的不確定性,提出了Cao-Wei氣溫概率模型,但該模型不能很好地反映氣候變暖趨勢和各地域之間的相關關系.為此,金哲植[6]在2012年提出了能夠較好地反映氣候變暖趨勢和各地域間相關關系的多元氣溫概率模型,但針對天氣衍生品相關的諸多問題沒有進行進一步的探討.

為了多元氣候概率模型的有效推廣及金融衍生品定價方面的具體應用,本文對天氣衍生品進行了進一步的模型分析.在改善原有模型的基礎上,利用燃燒分析法[7]以及蒙特卡洛模擬法[8],對制冷日/制熱日(CDD/HDD)指數(shù)期權(quán)進行精確的定價.

1 多元氣溫概率模型

Cao-Wei模型一次只能對一個地域進行模型化分析,需要對多個不同地域構(gòu)造氣溫模型,該模型有它的局限性.很多現(xiàn)實中碰到的氣溫期權(quán)問題需要對多個地域的數(shù)據(jù)進行分析,進而建立一個能準確地反映地域間關聯(lián)的概率模型.Cao等[4-5]提出的氣溫概率模型如下:

為此,筆者在2012年提出了一個多元時間序列模型[6].此模型在單元模型的基礎上,添加每地域虛擬變量作為分析因素建立的模型,使用了表示不同地域的虛擬變量和交互變量,其中的虛擬變量可以同時反映地域和日值效果,體現(xiàn)出不同地域的氣溫效果.

單元模型與多元模型公式如下:

單元模型

式中,Y′,X′,T′分別為標準化后的平均氣溫、虛擬變量和總趨勢;R為地域;r∈{0,1,2,3,4,5}分別代表地域北京、武漢、重慶、天津、上海、廣州.

上述多元模型不能明確表示各地域之間的相關關系.現(xiàn)利用多元時間序列模型,VAR1(vector autoregressive 1 models)對殘差進行建模,估計不同地域間的相關關系和自相關性,建立一個能夠表現(xiàn)出殘差結(jié)構(gòu)的模型

2 CDD/HDD期權(quán)的定價

本文研究的期權(quán)主要是企業(yè)為了對沖氣溫風險所利用的場外期權(quán).這樣的場外期權(quán)大部分是對夏季(5月—9月)和冬季(11月—3月)的氣溫而言,是到期時間為6個月以上的長期期權(quán).期權(quán)價值不僅與到期時的溫度有關,又是受一定時間內(nèi)溫度變化影響的路徑依賴型(path-dependent)期權(quán).在這里對未來由時刻T1到時刻T2的CDD/HDD指數(shù)期權(quán)進行定價.

首先,對未來時刻T1到時刻T2的計算HDD和CDD指數(shù)公式為

利用上述定義的HDD指數(shù),計算期權(quán)價格的公式為式中,t是時間;K是期權(quán)的執(zhí)行價;r是無風險利率.通過上式可以得到利率r下任一時刻t的期權(quán)價格,在風險中性概率的情況下,可以用無風險利率近似.同樣,對于CDD的看漲期權(quán)和看跌期權(quán),價格計算公式

根據(jù)期權(quán)定價的公式求出解析解是非常困難的.相比對于解釋影響期權(quán)價格的參數(shù),鑒于路徑依賴型期權(quán)的特征,決定通過模擬氣溫期權(quán)的價格作出評價.本文采用了兩種模擬方法:一種是用燃燒分析法,用過去的氣溫預測未來的氣溫,這時假定氣溫按照過往歷史作規(guī)律性變化;另一種是采用蒙特卡洛模擬實驗方法,用已估計的參數(shù)和生成的隨機數(shù)計算和預測所需時期內(nèi)的期權(quán)價格.

3 CDD/HDD指數(shù)期權(quán)定價方法

選取北京等6個城市1980年1月1日到2009年12月31日,共30年日值平均氣溫數(shù)據(jù)進行實證分析,考慮到中國氣象的復雜性分為內(nèi)陸和海岸,從中各選取3個主要城市作了數(shù)據(jù)分析.具體考慮到閏年的情況,每年2月份的數(shù)據(jù)設為共29天.每年數(shù)據(jù)個數(shù)為366個,共30×366=10 980個,本文提出的多元氣溫概率模型中總的參數(shù)個數(shù)為373個,利用以上數(shù)據(jù)進行具體的實證分析.

3.1 常用天氣衍生品期權(quán)定價方法

a.基于燃燒分析法的期權(quán)定價

Black-Scholes定價模型廣泛應用于金融衍生品的定價,但該模型需要一系列假設條件基礎,加上天氣衍生品并不符合該模型的前提假設條件,天氣衍生品中無法使用.很多文獻使用燃燒分析法來定價天氣衍生品[2,6-8],它是基于歷史數(shù)據(jù)進行模擬來解決天氣衍生品定價的一種近似方法.以基于溫度的天氣衍生品(CDD/HDD指數(shù)期權(quán))為例,使用燃燒分析法進行定價時,基本可按以下三個步驟進行:首先,收集和整理某一特定時間段的溫度數(shù)據(jù),將剔除時間趨勢等因素影響后的溫度數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為對應的溫度指數(shù);其次,通過對溫度指數(shù)進行歷史模擬,計算此特定時期內(nèi)的每期收益,進而得出平均收益;最后,對平均收益進行貼現(xiàn),所得基于溫度的天氣衍生品的公平價格即為所得歷史收益的平均值.圖1是基于燃燒分析法計算的CDD指數(shù),圖2是基于該方法計算的HDD指數(shù),分別以北京地區(qū)為例,30年(1980年—2009年)的CDD/HDD指數(shù)歷史年份數(shù)據(jù)(來源于中國氣象科學數(shù)據(jù)共享服務網(wǎng))畫出時序圖及其擬合曲線.

圖1 基于燃燒分析法計算的CDD指數(shù)Fig.1 CDD index based on burn-analysis method

圖2 基于燃燒分析法計算的HDD指數(shù)Fig.2 HDD index based on burn-analysis method

利用燃燒分析法對CDD/HDD指數(shù)期權(quán)定價計算結(jié)果如表1所示,其中CDD指數(shù)期權(quán)執(zhí)行價格設計為930,HDD指數(shù)期權(quán)執(zhí)行價格設計為2 500,執(zhí)行價≈平均+0.5×標準差[9].可以看出,由于選擇數(shù)據(jù)資料期間的不同,所計算出的CDD/HDD指數(shù)期權(quán)價格沒有統(tǒng)一性.Lee[9]和Dischel[10]在天氣衍生品定價研究中采用燃燒分析法,也得出數(shù)據(jù)選擇周期對天氣衍生品的價值影響很大.權(quán)元太[7]也用燃燒分析法得出同樣的結(jié)論.國內(nèi)的袁國軍等[11]和郝靜文等[12]也提出了不同的期權(quán)定價方法及統(tǒng)計分析方法.本文是按1980年到2009年共30年氣溫數(shù)據(jù),用燃燒法進行模擬,也得出同樣的結(jié)論,無法判斷其衍生品價值.

采用燃燒分析法定價主要面臨兩個問題:一是采用多少年歷史數(shù)據(jù),這主要與時間窗選擇有關,對計算結(jié)果產(chǎn)生不可忽略的誤差;二是燃燒法是對歷史數(shù)據(jù)進行分析,所以不需要溫度的預測,不能針對歷史溫度資料賦予權(quán)重,模型顯得較為粗糙.

表1 利用燃燒分析法對CDD/HDD指數(shù)期權(quán)定價Tab.1 CDD/HDD index option pricing by burn-analysis method

b.蒙特卡洛模擬實驗期權(quán)定價

蒙特卡洛法是隨機運動路徑得到價值期望的數(shù)值方法.針對金融分析時,它通過模擬標的資產(chǎn)價格來實現(xiàn).針對傳統(tǒng)金融衍生品定價時,它是通過模擬標的資產(chǎn)價格來實現(xiàn).如果要用在天氣衍生品定價上,需模擬出天氣衍生品標的指數(shù)隨機路徑來實現(xiàn).本文模擬氣溫變化時,考慮氣溫的季節(jié)性變化、氣溫均值回復過程、地理位置氣溫變化等因素.本方法要用氣溫的統(tǒng)計特征模擬出大量隨機數(shù)和各種天氣情況,靈活對不同地區(qū)的各種天氣衍生品進行定價.

3.2 本文天氣衍生品期權(quán)定價方法

在多元氣溫概率模型和Cao-Wei模型的基礎上,使用蒙特卡洛模擬法計算了占據(jù)氣溫期權(quán)商品交易95%以上的CDD/HDD指數(shù)期權(quán)價格作比較.

基于多元氣溫概率模型的蒙特卡洛模擬法實施步驟如下:

步驟1 利用多元氣溫概率模型和Cao-Wei模型生成2010年平均氣溫的預測值.

基于上面提到的Cao-Wei模型中的式(1)—(3)及多元氣溫概率模型中的式(6)—(10),利用30年(1980年—2009年)平均氣溫數(shù)據(jù)計算生成2010年的平均氣溫預測值.在具體分析中為了減少誤差,應盡可能多地生成平均氣溫預測值數(shù)據(jù).

步驟2 計算對應預測值的CDD/HDD指數(shù).

基于式(3)以及步驟1所計算出的平均氣溫預測值的CDD/HDD指數(shù)[9],其中CDD指數(shù)的計算是從2010年5月到2010年9月的平均氣溫數(shù)據(jù), HDD指數(shù)的計算是從2010年11月到2011年3月,各使用了共5個月的氣溫數(shù)據(jù).

步驟3 計算CDD/HDD指數(shù)的期望值,再利用貼現(xiàn)的方法,計算相應期權(quán)價格.

基于式(3)—(6),以CDD/HDD指數(shù)為標的資產(chǎn)的CDD/HDD指數(shù)期權(quán)的價格為期望值,再進行貼現(xiàn)的方法計算出相應期權(quán)價格,計算上述特定時期(5個月)內(nèi)CDD/HDD指數(shù)期權(quán)的每期收益,得出平均收益;最后,對平均收益利用無風險利率進行貼現(xiàn),計算出最終的CDD/HDD指數(shù)期權(quán)的價格.

該多元氣溫概率模型與Cao-Wei模型相比,描述氣候變暖趨勢更明顯,充分反映了各地域間的相關性,并克服了燃燒分析法期權(quán)定價中存在的問題.本文模擬氣溫的變化時,考慮氣溫的季節(jié)性變化、氣溫的均值回復過程、不同地理位置的氣溫變化等基本因素,并將這些基本因素反映到多元氣溫概率模型中,提高了計算精度,從而提升了蒙特卡洛模擬實驗法在期權(quán)定價問題中的實用性.

多元氣溫概率模型與Cao-Wei模型的計算結(jié)果比較如表2所示,主要以平均、標準差為基礎計算CDD/HDD指數(shù).表3和表4分別是根據(jù)多元氣溫概率模型計算出的CDD和HDD指數(shù)期權(quán)價格.

表2 基于蒙特卡洛模擬法的CDD/HDD指數(shù)基礎統(tǒng)計量Tab.2 Basic statistics of CDD/HDD index based on Monte-Carlo simulation

表3 CDD指數(shù)期權(quán)定價Tab.3 CDD index option pricing

表4 HDD指數(shù)期權(quán)定價Tab.4 HDD index option pricing

式中,n=年度數(shù)×t,其中年度數(shù)為30年,t為366;k為自由度,由式(6)的373個參數(shù)組成.均方

均方根誤差統(tǒng)計量RMSE的計算方法為根誤差越小,對數(shù)據(jù)模型的擬合度越高.表5是RMSE為基準的模型擬合度比較,圖3是根據(jù)RMSE為基礎的模型擬合度輸出的比較結(jié)果.

表5 模型擬合度比較Tab.5 Comparison of the models’fitting

可以看出,本文提出的模型與Cao-Wei模型、單元模型相比較,現(xiàn)有模型更接近實際,得出的結(jié)果在精確定價氣溫期權(quán)以及開發(fā)相應天氣衍生品方面將起到良好的效果.

圖3 多元模型與其它模型的RMSE比較Fig.3 RMSE comparison between the multivariate model and other models

4 結(jié) 論

提出了適用于日值氣溫變化、反應氣候變暖趨勢、不同地域相關關系的多元氣溫概率模型,并基于該模型利用燃燒分析法及蒙特卡洛模擬法對CDD/ HDD指數(shù)期權(quán)進行精確的定價.計算結(jié)果表明,該模型與Cao-Wei模型相比,平均值基本相同但偏差小,CDD/HDD指數(shù)期權(quán)的定價有效且合理.在氣溫期權(quán)定價方面,本文提出的天氣風險管理中的多元化新模型,氣候變化趨勢比Cao-Wei模型更明顯,解決了Cao-Wei模型不能充分反映氣候變化趨勢的問題.此外,在分析方法上也有理論性突破:其一是解決了傳統(tǒng)的燃燒分析法定價中的歷史數(shù)據(jù)長度度量問題,減少了燃燒分析法產(chǎn)生的誤差;其二是攻克了燃燒分析法不能對數(shù)據(jù)賦予權(quán)重的問題,這對地區(qū)間溫度關聯(lián)度分析具有更好的使用效果;其三是充分反映了各地域間的相關關系.該新模型反映了季節(jié)性變化、氣溫均值回復、不同地區(qū)氣溫變化等因素,提高了計算精度,提升了蒙特卡洛模擬法在期權(quán)定價問題中的實用性.

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(編輯:董 偉)

Pricing Method for Weather Options Based on Multivariate Temperature Model

JINZhezhi1, WEILianxin2, CUIJizhe3
(1.College of Science,Yanbian University,Yanji 133002,China;2.College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China;3.College of Economic and Management,Yanbian University,Yanji 133002,China)

Regarding the pricing problem of temperature option in everyday weather risks management,the Cao-Wei model is insufficient to reflect the global warming trend and correlation among geographical regions.In order to resolve this problem,a new multivariate temperature model was proposed.Based on the model,the cooling design day/heating design day(CDD/HDD) index options were priced accurately by using the burn-analysis method and Monte-Carlo simulations.The simulation results indicate that using Monte-Carlo simulations to price CDD/HDD index options is not only effective but also reasonable.In addition,the result provides for the weather derivatives market an effective theoretical evidence and also has practical value for option pricing.The necessary theoretical basis for the future development of domestic insurance and weather derivatives was supplied,and the future use of the CDD index option can be more reasonable to hedge weather insurance and will play an effective role in risk management.

multivariate temperature model;burn-analysis method;Monte-Karlo simulation; CDD/HDD

F 830

A

2014-03-24

國家自然科學基金資助項目(11361064);延邊大學科技發(fā)展計劃項目(2012700-602014066)

金哲植(1977-),男,講師,博士.研究方向:信息統(tǒng)計與保險精算.E-mail:jinzhezhi@sina.com

崔基哲(1972-),男,副教授.研究方向:信息管理、技術經(jīng)濟及管理.E-mail:cuijizhe@foxmail.com