基于相關度的蟻群優化算法對內熱源位置的識別

李博漢, 盧 玫

(上海理工大學能源與動力工程學院,上海 200093)

基于相關度的蟻群優化算法對內熱源位置的識別

李博漢, 盧 玫

(上海理工大學能源與動力工程學院,上海 200093)

為了提高尋源導熱反問題的求解精度和求解速度,針對導熱問題中熱源位置對邊界溫度分布影響的特點,提出了適用于尋源導熱反問題的基于相關度的蟻群優化算法.該方法分別針對熱源位置的每一個坐標,運用能反映計算測點溫度曲線與真實測點溫度曲線相似程度的量即相關度的方法來構造其相對應的啟發信息值;并對蟻群優化算法中路徑選擇機制、目標函數的構造進行了改進.以數值計算代替實際試驗得到測點溫度,并對反問題進行計算機編程試驗.計算結果表明,此種啟發信息值的標定方法和目標函數的構建方法能夠很好地區分出路徑的質量,從而提高了蟻群收斂到最好路徑的速度.計算效率較不考慮相關度的蟻群算法提高了18%～60%.

蟻群優化;尋源導熱反問題;路徑構造;目標函數

Key words:ant colony optimization;inverse heat source problem;path construction;objective function

工程上的熱力設備設計、金屬無損探傷,醫學上的腫瘤診斷和治療等問題都能抽象為對有內熱源物體熱源位置識別的問題,即尋源導熱反問題[1].運用導熱反問題的領域十分廣泛,例如,金屬的切割與焊接、新材料的開發與應用、瞬態熱量計的研制、精密溫度測量等.由于該問題有非線性或不適定性的特點,求解較為困難.又因其具有廣泛的應用背景,長期以來吸引著大量學者對其不斷地進行探索研究.求解此類問題的方法主要分為兩大類:一類是基于概率的求解方法(stochastic ones),另一類是基于梯度的求解方法(gradient-based ones)[2].具體的解決方法有共軛梯度法、快速下降法以及近年來較多采用的仿生優化算法,如遺傳算法、神經網絡法、粒子群算法等.Geng等[3]采用變分迭代算法來求解尋源導熱反問題.Xiong等[4]則采用了提克洛夫規則化對無限大邊界物體中的熱源進行識別.近年來,隨著一些仿生優化算法的出現和成熟,運用這些方法來優化求解導熱反問題也是十分普遍的.例如,Liu[5]運用遺傳算法來尋找平面熱源.Deng等[6]則運用神經網絡算法來確定未知的邊界條件.張濤等[7]采用粒子群優化算法對尋源導熱反問題進行了求解.

1992年意大利學者Dorigo等[8]提出了一種新的仿生優化算法——蟻群優化算法(ACO).此算法在求解復雜優化問題時具有很大的優勢,已成為國內外學者研究的熱點.而針對蟻群算法的應用對象,近年來主要集中在旅行商問題、順序排序問題、廣義分配問題、多重背包問題、網絡路由問題及動態旅行商問題等.

對于尋源導熱反問題而言,其計算求解過程中包含有對導熱正問題的數值求解計算.數值計算的特點是對計算域劃分網格.而對熱源的處理是將其布置在其中的一個網格當中,即熱源可能的位置選取是離散在這些網格中的.顯然這是一個典型的離散問題,而蟻群優化算法的一大特點就是解決離散優化問題[9].Hetmaniok等[10]比較系統地研究了蟻群優化算法,并運用此算法來確定導熱系數.黃少君等[11]則改進了蟻群算法,并引入了優化排序機制,提高了算法的收斂速度.

蟻群優化算法有兩大特點:一是螞蟻的行為主要取決于路徑上的信息素濃度與啟發式信息值,而啟發式信息值的大小直接與路徑的長短有關[12].路徑越短,啟發式信息越大,螞蟻選擇此路徑的概率就越大.蟻群算法正是利用這種信息的正反饋機制,在一定程度上提高了算法的求解性能,但同時也使得算法容易陷入局部最優.二是其目標函數不只是確定最終結果的正確性,其值還用于路徑上信息素的積累.而信息素的累計值直接影響到螞蟻的行為[13].所以,基于以上兩個特點,本文試圖從路徑構造、啟發信息值的選取和目標函數的構造入手,找到一種合理的適用于尋源導熱問題的路徑構造方法和目標函數的形式,從而加快螞蟻的搜索速度和提高算法的求解精度,并避免局部最優的發生.

1 尋源導熱反問題數學模型

1.1 物理模型

選取計算域為0.1 m×0.1 m的帶有內熱源的二維穩態導熱問題為算例來驗證蟻群優化算法中路徑構造方法和目標函數選取的有效性,如圖1所示,具體物理參數如表1所示.計算域被劃分成100× 100的結構化網格.點熱源布置在(0.040 5, 0.030 5)位置的一個網格內,測點布置在y=0和x=0.1邊界上,測點布置如圖1中邊界上的點所示,測點的具體位置如表2和表3所示.通過對正問題的計算代替物理試驗,得到布置在邊界上的測點溫度值,再將測點溫度代入反問題中進行計算,驗證是否能夠找到點熱源的位置.通過反問題中正問題的計算次數來比較此種路徑構造方法和目標函數的選取方法是否能夠提高計算效率和計算精度.

圖1 二維導熱問題物理模型Fig.1 Physical model of the 2 D heat conduction problem

表1 基本參數Tab.1 Fundamental coefficients

表2 y=0邊界測點位置及其真實溫度(由數值計算得到)Tab.2 Measurement point position and its temperature at the boundary of y=0

表3 x=0.1邊界測點位置及其真實溫度(由數值計算而得)Tab.3 Measurement point position and its temperature at the boundary of x=0.1

1.2 數學模型

描述上述二維穩態導熱問題的微分方程為

式中,λ為導熱系數;T為溫度;S為源項.邊界條件為

2 基于尋源導熱反問題的蟻群優化算法改進

由于熱源的可能位置是離散地分布在所劃分的某個網格當中的,最簡單的方法就是將熱源一次置于這些網格當中,計算測點的溫度值,再與真實測點溫度值進行比較,從而確定熱源的真實位置.但是,由于網格劃分眾多,且每次數值計算花費的時間相當長,依次將熱源帶入所有可能的位置進行計算將變得不切實際.所以,要應用優化算法對問題進行優化計算求解.由于蟻群優化算法適用于離散問題,所以,本文選取蟻群優化算法,并針對導熱問題自身特點對其改進,進行優化求解.

2.1 路徑的構造方式

蟻群算法通常用于實際的路徑搜索問題,例如,旅行商問題(TSP),其路徑就是指真實的路徑.而對尋源導熱反問題而言,其路徑的定義就變得十分抽象.

由于計算域被劃分成100×100的網格,而點熱源的位置又分布在其中某個網格的中央,所以,在反問題的計算中點熱源的位置選取有100×100種可能性,即螞蟻必須在x軸上的100個可能的坐標中選取熱源的xi(i=0,1,…,99)坐標,同樣,在y軸上的100個可能坐標中選取熱源的yj(j=0,1,…, 99)坐標,從而確定點熱源的位置.本文稱某一坐標軸上可能選取的坐標值為一條路徑.就本例而言,在x軸上有100條路徑,在y軸上也有100條路徑.每一條x軸上的路徑和y軸上的路徑構成了螞蟻找到熱源的完整的路徑.

2.2 啟發信息值的改進

對于導熱反問題而言,能夠找到一個能夠準確反映路徑質量的評定標準十分重要,即要找到某種計算方法能夠準確而有效地標定每條路徑上的啟發式信息值,從而引導螞蟻快速準確地找到最佳路徑.就蟻群算法解決的傳統問題(如TSP問題[13])而言,其路徑的長度是一個已知量.通常將路徑長度的倒數值作為此路徑的啟發信息值,螞蟻會通過這一啟發值依照概率來選擇路徑.很顯然,較短的路徑對應著較大的啟發值,即被螞蟻選中的概率較大.但就導熱問題而言,路經的質量并不是事先知道的,即螞蟻必須先隨機地選擇一條完整的路徑,得到一個點熱源的坐標值(xi,yj),再代入正問題中進行計算,將計算得到的測點溫度值與真實的測點溫度值進行比較后才能確定路徑的質量.這使得尋找到一種合適的路徑啟發信息值的標定方法變得尤為重要.

通常的處理方法是用計算測點溫度與真實測點溫度的差平方和的倒數1∑(Tt-Tr)2作為路徑啟發信息值來反映路徑質量.其中,Tt和Tr分別為計算得出的測點溫度與測點的真實溫度.如果在某次隨機選擇中選擇到的熱源位置十分接近真實的熱源位置,此時計算出來的測點溫度值與真實值將會相差很小,則其差平方和的倒數值會很大,這的確能從某種程度上反映出路徑質量的好壞,但這種方法存在著一個很大的問題,就是xi路徑與yj路徑是相互影響的,即在選擇相同的xi路徑后,路徑y的變化會影響邊界溫度的變化,從而導致1∑(Tt-Tr)2的值發生很大變化.如果再以此值作為xi路徑的啟發信息值,就會造成標定在某一路徑上的啟發信息值的不確定性和不真實性.這種影響從圖2能夠清楚地看出.圖2所示曲線中實線為點熱源布置在真實位置(0.040 5,0.030 5)處計算得到的x=0.1邊界上的溫度分布曲線,其它3條曲線則是保持點熱源的y坐標值不變,僅改變x坐標值的情況下計算得出的x=0.1邊界上的溫度分布曲線.從圖2中的曲線可以看到,如果采用1∑(Tt-Tr)2來標定路徑的質量,那么,當只改變x坐標時,計算出的溫度曲線與真實溫度曲線的間距相差很大,如果用此值來標定真實熱源所在路徑y=0.030 5上的啟發信息值就勢必會造成此條路徑被選中的概率減小,從而不利于螞蟻找到真實的熱源位置.

圖2 y坐標不變只更換x坐標所計算出的x=0.1邊界溫度分布曲線Fig.2 Temperature profiles at the boundary of x=0.1 with different point source positions

基于以上的原因,必須找到一個相互影響較小、并且能區分出路徑質量好壞的啟發信息值計算方法來標定路徑的質量,讓螞蟻更好地識別出路徑的質量,從而更快地找到最優路徑.

本文采用了能夠反映計算測點溫度值與真實測點溫度值走勢的相似程度即相關度的方法來構造路徑的啟發信息值,其計算式為

式中,ρ為真實測點溫度與計算測點溫度的相關度.下標r表明此溫度為真實的測點溫度,下標t代表此溫度值是螞蟻隨機地選擇了某個熱源位置后代入正問題中計算得來的測點溫度值.下標x與y分別表示此溫度值是與x軸平行的邊界上測點的溫度值和與y軸平行的邊界上測點的溫度值.就本例而言, Tx,r,Tx,t分別表示y=0邊界測點的真實溫度值和計算溫度值;Ty,r,Ty,t分別表示x=0.1邊界測點的真實溫度值和計算溫度值.

式(3)和式(4)分別計算了與兩坐標軸平行的兩邊界上的計算測點溫度與真實測點溫度的相關性,即溫度分布曲線的相似程度,ρ∈[-1,1].如果ρ的值越接近1,說明兩條曲線的相似程度越高,那么,表明該路徑越好.

采用相關度的好處可以從圖2觀察到,雖然這兩條溫度分布曲線與真實溫度分布曲線溫度值相差很大,它們卻是十分的相似,即走勢一致.這說明當某條路徑不變,只改變另一條路徑時,所得到的溫度曲線都是相似的.所以,如果能用反映計算測點溫度曲線與真實測點溫度曲線走勢相似程度的相關度的方法來計算路徑的啟發值,就可以減小另一坐標的變化而造成的影響.

但是,即便采用了相關性原理來構造路徑,也不能完全消除另一坐標的影響.為此,本文在采用相關度的同時計算了其加權平均值,來反映該路徑的啟發式信息值,從而進一步減小路徑兩坐標的影響,保證了路徑啟發信息值的穩定性.路徑啟發信息值ηp的計算方法如式(5)所示.

式中,p為一條路徑,在本文中為熱源的某一坐標xi或者yj;kp為p路徑被螞蟻選擇的次數.

基于以上原因,選擇溫度測點時必須遵守兩點:一是選擇測點時,應盡量使測點的溫度能夠真實地反映此邊界的溫度曲線的走勢,這一點是十分重要的,利用紅外熱像儀檢測就能輕松解決此問題;二是對于二維問題,對應于笛卡爾坐標系,必須在物體的左邊界或右邊界以及物體的上邊界或下邊界分別布置測點溫度,只有這樣才能夠分別計算出x軸各條路徑和y軸各條路徑的相關度.但是,由于在實際工程應用中往往受到周圍環境的限制,有時無法分別測量兩個邊上的溫度,因此,針對只能測量一個邊界上的溫度的情況,本文也給出了計算路徑啟發信息值的方法.

從圖2可以看到,當熱源的y坐標不變,x坐標發生變化時,計算溫度曲線與真實溫度曲線的接近程度恰能反映熱源的x坐標與真實熱源x坐標的接近程度.如果y=0邊界上無法布置測點而只能在x=0.1邊界上布置測點,那么,在y=0邊界上的路徑啟發信息值

式中,kxi表示路徑xi被螞蟻選擇的次數;ny表示在平行于y軸邊界上的測點數目,本文中ny表示y=0邊界上的測點數目.

同理,當x=0.1邊界無法布置測點時,計算x=0.1邊界的路徑啟發信息值

式中,kyj表示路徑yj被螞蟻選擇的次數;nx表示在平行于x軸邊界上的測點數目,本文中nx表示x=1邊界上的測點數目.

式(6)和式(7)的分子反映了計算測點溫度與真實測點溫度的接近程度.由圖2可以看到,如果x的位置越接近真實的溫度曲線,那么,計算溫度就會越接近真實溫度,因此,式(6)和式(7)能夠反映出無測點溫度邊界上路徑的質量.

2.3 目標函數的改進

由于在蟻群優化算法中螞蟻是根據目標函數的計算值來更新路徑上的信息素的,所以,一個有指向性的目標函數不僅能夠保證計算的準確性,還能使路徑上的信息素值具有更強的導向性,指引螞蟻快速找到最優路徑.本文中目標函數的計算值公式引入了相關度ρ.目標函數

式中,n為測點的總數目.

當只有一個邊界上有測點時,目標函數

這種目標函數的構造方法不僅考慮了計算測點溫度曲線與真實測點溫度曲線的接近程度,而且更能反映其相似程度,從而能夠更好地指示路徑的質量,加快螞蟻收斂到最好路徑的速度.

2.4 變概率的偽隨機比率路徑選擇機制

根據尋源導熱反問題的特點,如果螞蟻選擇了一條較好的路徑,那么,在這條好的路徑周圍可能會存在更好的路徑,即離熱源位置越近,路徑質量就越好.根據此特點,本文提出了變概率的偽隨機比率路徑選擇機制,即螞蟻選擇當前最優路徑的概率q0是隨搜索過程的進行程度而變化的.具體路徑選擇機制如式(10)～(12)所示.

式中,p為路徑;pP表示依據式(11)按照概率選擇出來的路徑;pbest為目前最好的路徑或其周圍的路徑;A為目前最好的路徑;B為目前最好路徑周圍的路徑;q0為目前蟻群進行路徑選擇的次數占總選擇次數的百分率;q為0～1的隨機數;Ppj為pj路徑被選中的概率;τ為路徑上信息素濃度;α和β為能見度指數,決定路徑上啟發式信息值與信息素濃度的相對重要性,本文中α和β均取1,說明路徑啟發信息值與信息素濃度同等重要;q0,b為目前蟻群進行路徑選擇的次數占總選擇次數的百分率,且q0,b的最大值不超過0.6;qb為0～1的隨機數.

式(10)—(12)的路徑選擇規則有兩種:一種是根據路徑上信息素濃度和路徑的啟發信息值依照概率來選擇,如式(11)所示;另一種是直接選擇目前最好的路徑或者目前最好路徑周圍的幾條路徑,如式(12)所示.式(10)則控制兩種選擇方式使用的概率.本文中螞蟻共進行1 500次路徑搜索過程.在路徑搜索過程的前期,螞蟻進行路徑搜索的次數還不是很多,所以,q0的值比較小,根據式(10),螞蟻選擇基于概率的選擇方式(式(11))的幾率比較大,這樣能增大螞蟻探索新路徑的可能性,避免局部最優的發生;而隨著路徑搜索過程的進行,q0的值逐漸增大,螞蟻選擇第二種搜索方式(式(12))的概率增大.這樣能使螞蟻在搜索過程的后期快速地收斂到最好路徑上,提高計算效率.根據多次計算,本文中設置q0的最大值為0.8,這表明在搜索過程后期依然能保證20%的概率讓螞蟻使用基于概率的搜索方式,從而進一步防止局部最優的發生.式(12)中q0,b的作用與式(9)中q0的作用相似,即當選擇了式(12)的選擇方式后,在前期使螞蟻盡量選擇目前最好路徑周圍的路徑,以提高螞蟻探索新路徑的可能性,防止局部最優的發生;而在后期則提高蟻群的收斂速度和計算效率.根據大量計算得出q0,b的最大值取0.6為佳.

2.5 基于相關度的局部信息素更新策略

在每一只螞蟻完成路徑搜索之后都要進行局部信息素更新,其更新方式為

式中,τ為信息素濃度;下標p為某條路徑;ξ為信息素的局部揮發系數,0＜ξ＜1;k為螞蟻選擇的次數.

本文中的局部信息素更新式與文獻[11-12]的有所不同.在本文中直接選用目標函數的值來進行局部信息素的更新.由于目標函數中包含了相關度的概念,使得在信息素更新時能夠更好地綜合考慮兩條路徑的質量優劣,進一步增強了路徑之間的區分度.當配合適當大小的信息素初始值后,此更新式不僅能夠減小低質量路徑上的信息素濃度,使得這些路徑不容易被螞蟻找到,而且還能增加高質量路徑上的信息素濃度,從而提高此路徑被螞蟻選中的概率,使得蟻群更容易收斂到最優路徑上.此種更新方法既能提高螞蟻的收斂速度,又能有效避免局部最優的發生.大量計算表明,路徑信息素的初始值設置在400～500之間為宜.

2.6 全局信息素更新策略

當蟻群中所有螞蟻都完成一遍搜索之后,在目前最好的路徑上將進行信息素的全局更新.更新方式為

本文并沒有使用目標函數的值來進行信息素的全局更新,而是采用所有測點的計算測點溫度與真實測點溫度的差平方和的倒數值來進行信息素更新,因為這能夠反映螞蟻找到的最終結果的質量,有利于在算法后期避免局部最優的發生.

3 算法基本流程

上述改進算法的計算流程如圖3所示.計算中蟻群總共有100只螞蟻,蟻群共進行15次循環搜索,即總共進行1 500次的路徑搜索,并把最終的最優路徑作為計算結果.經過計算,1 500次路徑搜索已經足夠多,螞蟻基本會在第600次左右的搜索后集中于同一路徑上.

圖3 算法流程圖Fig.3 Flow chart

4 計算驗證

針對以上所提出的路徑啟發信息值的標定方法、目標函數的構建方法、路徑選擇機制以及信息素更新機制,運用C語言進行計算機編程計算.在計算結果優劣的判定方面,由于程序的編譯及運行環境不同,所以,并不將程序運行時間作為判定標準,而是選取每次反問題計算過程中正問題的計算次數為判斷標準.在一次反問題計算過程中,收斂性好的算法對應著相對較少的正問題計算次數.由于蟻群優化算法是一種基于概率的求解方法,所以,一次反問題的計算結果(反問題中正問題的計算次數)并不能說明問題.所以,本文分別針對在y=0和x=0. 1邊界上布置測點、只在x=0.1邊界上布置測點以及只在y=0邊界上布置測點這3種情況進行了200次的反問題計算,并將200次計算的平均結果與文獻[11]的計算結果進行對比.y=0邊界以及x =0.1邊界測點位置與對應的測點溫度分別如表2和表3所示.

圖4給出了在x=0.1以及y=0邊界上均布置測點時的計算結果.橫坐標a為每一次的反問題試驗計算.縱坐標d表示每次反問題計算中正問題的計算次數.曲線c表示目前為止正問題計算的平均次數.從圖4中可以看到,當進行多次反問題的計算后,平均每次反問題中所計算的正問題的次數會穩定在60次.

圖4 測點布置在x=0.1以及y=0邊界的計算結果Fig.4 Computational results when placing the measurement points at the boundary of x=0.1 and y=0

圖5與圖6分別為測點只布置在y=0邊界或者x=0.1邊界上時的計算結果.每次反問題中正問題的計算次數分別穩定在137次和135次.計算結果顯然要次于兩邊界均布置測點的情況.這是由于少了一個邊界上的測點溫度,無法通過相關度的方法來標定此邊界路徑啟發信息值,從而影響到螞蟻對路徑質量的識別,不利于蟻群收斂到最佳路徑上來.

圖5 測點布置在y=0邊界的計算結果Fig.5 Computational results when placing the measurement points at the boundary of y=0

圖6 測點布置在x=0.1邊界的計算結果Fig.6 Computational results when placing the measurement points at the boundary of x=0.1

表4將采用本文方法的計算結果與文獻[11]的結果進行了對比,可見在兩邊界均布置測點的情況下,本文所述改進方法能將計算效率提高60%左右;而對于只有一個邊界布置測點的情況,本文的方法也能將計算效率提高將近20%.由此可見,采用以相關度的方法來標定路徑啟發信息值并以此來構建目標函數的確能夠有效地減少計算量,提高計算效率和計算精度.

表4 計算結果匯總Tab.4 Summary of computational results

5 結 論

針對導熱問題的特點改進了蟻群優化算法,使其適用于尋源導熱反問題.建立了以計算測點溫度與真實測點溫度的相關度值作為路徑啟發信息值的標定方法,引入了相關度的概念構造目標函數,采用了偽隨機比率路徑選擇機制和基于相關度的局部信息素更新策略.通過計算機編程計算,驗證了改進蟻群算法的有效性.計算結果表明,在兩邊均布置測點的情況下采用相關度的蟻群優化算法較沒有采用相關度的蟻群優化算法的計算效率提高了60%左右;在只有一邊布置測點的情況下,計算效率也有將近20%的提升.說明采用相關度的蟻群優化算法在尋源導熱反問題的計算中能夠明顯加快螞蟻算法的收斂速度,從而提高了計算效率和計算精度.

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(編輯:石 瑛)

Identification of Internal Heat Source Position by Using Coalition-Based Ant Colony Optimization Algorithm

LIBohan, LUMei
(School of Energy and Power Engineering,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

In order to improve the accuracy and efficiency in solving the inverse heat source problem,a coalition-based ant colony optimization method was introduced based on the features of the influence of heat source position on boundary temperature profiles.In the method,the coalition coefficient that reflects the similarity between the real temperature profile and the measured ones was selected as the heuristic information value for each coordinate of the position of heat source. The route construction rule and the building of objective in the ant colony optimization were also modified.Instead of the actual experiments,the temperature measurements at the measurement points were obtained from numerical simulations.With the help of computer programming,several times of computation were carried out to test the modified algorithm.The results show that the definition of the heuristic information value and the method of building objective functions can help the ants to identify the quality of the path,so that the ants can converge on the real route quickly. The computational efficiency is improved by 18%～60%compared with that of the algorithm that does not consider the coalition coefficient.

TK 124

A

1007-6735(2015)03-0225-08

10.13255/j.cnki.jusst.2015.03.005

2014-01-05

國家自然科學基金資助項目(51176126)

李博漢(1987-),男,碩士研究生.研究方向:導熱反問題.E-mail:523215842@qq.com

盧 玫(1957-),女,教授.研究方向:強化傳熱和能量有效利用.E-mail:rose_luu@usst.edu.cn