變質量振動系統的求解與分析

杜妍辰, 高 雷, 周燕瑜, 秦 婧

(上海理工大學醫療器械與食品學院,上海 200093)

變質量振動系統的求解與分析

杜妍辰, 高 雷, 周燕瑜, 秦 婧

(上海理工大學醫療器械與食品學院,上海 200093)

對變質量碰撞振動系統進行求解分析,研究系統參振質量變化時對系統動力學的影響.采用漸近法對變質量振動方程進行近似解析求解,并運用龍哥庫塔法進行數值計算.結果表明,漸近解析法與數值法響應一致,漸近法對于解非線性系統動力行為是有效的;且由計算結果可知,變質量會使系統響應產生一定的突變.振動方程中的參振質量變化系數和質量變化頻率分別影響系統突變的振幅和周期.當參振質量變化系數為零時,系統響應平穩;該系數越大,系統響應的突變振幅也越大.激振頻率與質量變化頻率比值越大,響應突變的周期越大.

振動;變質量;漸近法;響應突變

日常生活中,大多數系統為多參數非線性系統.若在系統運動過程中,某些參數會隨時間變化而變化,該系統則被稱為時變系統[1].例如,飛機的整機質量會隨燃油的消耗而減小,起重機的吊繩會隨其升高而縮短,這些便是參數時變系統.碰撞振動是日常生活中常見的一種現象,其涉及的科學領域非常廣泛,如數學、物理、化學、機械工程,甚至生理學和醫學.通常,由于參振質量為多體組成,則碰撞振動過程中的參振質量會隨時間變化而變化.時變系統的振動問題在理論上和工程應用中都具有重要的研究價值,但國內對于變質量振動系統的研究甚少.

變質量碰撞振動系統多為強非線性動力系統,對于非線性系統周期解的傳統解析方法有:傳統小參數法、平均法、漸近法、多尺度法等.近似解析法雖然便于分析系統參數對振動系統的影響,但如果要獲得高精度解,一般結合解析法和數值法進行計算.常用的數值計算方法是基于Matlab的龍哥庫塔法.

對于變參數系統所能采用的近似解析方法有漸近法和平均法[2].平均法是將系統中的解的振幅和相位角看作隨時間緩慢變化,將振幅和相位展開成富氏級數,并在一個周期內取平均值進行求解.該方法簡單,但精確度不高.本文采用漸近法對方程進行近似求解.漸近法也稱三級數法或KBM法,是由前蘇聯學者包戈留包夫和米特羅波爾斯基提出的[3-4].該方法將方程的解、振幅和相位表示為參振質量變化系數ε的冪級數函數,然后用分離變量法求出這些冪級數函數的未知系數[5].

1 動力學方程及求解

1.1 動力學方程

描述變質量振動系統的動力學方程為

式中,m(t)為系統參振質量;c為阻尼系統;k為剛度系數;ω為激振頻率;F0為激振力幅值.

m(t)是一個時變函數,隨時間發生變化.對碰撞系統來說,碰撞質量引起的非線性力的變化是緩慢的,因此為了簡便計算,m(t)可以用其在一個振動周期中的平均值來代替[6],這里只計入常數項和亞諧波項,省略諧波項部分.可以認為質量圍繞某一數值上下波動,其頻率常常是系統激振頻率的整約數[7-8],并簡化得

式中,ε為參振質量變化系數,也稱之為小參數;ωa為質量變化頻率,ωa=ω/n,n為整數.

對式(2)求導得

1.2 方程的近似求解

對動力學方程采用漸近法求解,式(4)可簡化為以下形式

a.振幅A將隨著時間t變化;

b.相位角ψ是時間t的非線性函數;

c.方程的解中含有高次諧波成分,有時還含有次諧波.

考慮到非線性作用力的影響,假設式(5)的解為以下形式

其中,A和ψ是時間t的周期函數,u1(A,ψ,ωt), u2(A,ψ,ωt),…,un(A,ψ,ωt)是以振幅A、相位角ψ及激振頻率ω為參數的函數.

假設對非線性系統中的阻尼比δε和固有頻率ωε表示為小參數ε的冪級數的形式

此時,A和ψ對時間的導數不是常數,A和ψ滿足

可見,當δ1,δ2…,ω1,ω2…求得后,便可求出A和ψ.

方程的精確度是由求解過程的階次來決定的,一次近似解有如下形式,只須計算出δ1和ω1即可.

其中,fx′和fx′′是函數f關于位移x和速度x′的一階導數.令方程兩邊ε的同一階的系數相等,可得以下方程

非線性函數f(ωt,-Aω0sinψ)是關于兩個變量ψ和ωt且周期為2π的周期函數,將其展開為富氏級數的形式

按照三角函數形式展開的傅里葉級數為

δ1和ω1可由式(20)求出,然后代入式(22)求出A和ψ,把A和ψ的值代入式(11)的第一式,求出響應方程.

1.3 數值求解

采用龍哥庫塔法對系統進行數值求解.龍哥庫塔法是間接使用泰勒級數展開時的方法,在積分區間內多預設幾個點的斜率,然后進行加權平均,作為計算下一點的依據,從而構造了高精度數值計算方法.

記步長H=xk+1-xk,根據微分中值定理有

把式(6)帶入式(20),并取A的初始值為A0,則由式(21)可求出

按照以上各式,可以從初值(x0,y0)出發計算出y1,y2,…,yk的具體數值.

將變質量振動系統的運動微分方程(5)進行降階,得到以下等價的二維一階振動系統

其中,系統的參數值m0=0.1 kg;F0=1.91 N;c= 1.57 N/m;k=37.8 N/m;ω=110.6 rad/s;ωa=ω/ 4;φ=π/4.

2 計算結果

當小參數ε為0.1和0.2時的解析求解和數值求解結果如圖1—2所示.

圖1 解析計算結果Fig.1 Analytical calculation results

圖2 數值計算結果圖Fig.2 Numerical calculation results

可以看出,采用漸近法對變質量振動系統進行解析求解所得的振動響應與采用數值法計算的結果是一致的.因此,漸近法用于解決變質量振動問題是有效的.另外,圖3給出了ε=0,0.1,0.3時系統中質量變化幅值對系統的影響情況.

以上計算結果表明,變質量振動系統的響應具有一定的周期,參振質量變化系數ε只對系統的突變振幅有影響.ε越大,振動突變幅度越大;ε越小,振動越平穩;當ε為零時,突變振幅為零.所以,為了得到較為平穩的振動響應,應減小式(5)中ε的取值,這和文獻[9]得到的結論一致.如果ε過大,在實際運用中將會發生工程事故[10].因此,關于變質量振動的分析對工程實踐和理論研究具有重要意義.圖4給出了在不同的激振頻率與質量變化頻率比值下的振動系統響應情況.

圖3 振動系統的響應與ε的關系Fig.3 Relation between the system resopne andε

可見,變質量振動系統振動響應的周期隨系統激勵頻率與質量變化頻率比值(ω/ωa)的增大而增大,ωa只影響周期,不影響響應振幅的大小.當ωa= ω,周期為零;當質量變化幅值系統一定時,系統振動響應周期與n成正比,即等于參振質量變化的周期.

圖4 振動系統響應的時域波形圖Fig.4 Diagram of time domain waveform of vibration system response

3 結 論

采用漸近法對變質量振動系統進行解析求解,并與數值計算結果進行比較,所得振動響應一致,說明漸近法用于變質量振動系統是可行的.

變質量振動響應具有周期性,參振質量變化系數ε和質量變化頻率ωa分別對系統響應的振幅和周期產生影響.當質量時變方程中的頻率一定時,ε取值的不同只影響振動系統響應的幅值,不影響其周期.ε取值越大,振動系統響應的突變性越強;ε越小,系統響應越平穩.當ε一定時,ωa的不同將對振動系統的響應周期有影響.ω/ωa越大,響應周期越大.

[1] 胡海巖.應用非線性動力學[M].北京:航空工業出版社,2000.

[2] Nayfeh A H,Mook D T.Nonlinear oscillations[M]. New York:Wiley,1979.

[3] 包戈留包夫H H,米特羅波爾斯基ЮA.非線性振動理論中的漸近方法[M].金福臨,譯.上海:上海科學技術出版社,1963.

[4] Minorsky N.Nonlinear oscillations[M].Princeton, New Jersey:Van Nostrand Co.Inc,1962.

[5] 聞邦椿,李以農,韓清凱.非線性振動理論中的解析方法及工程應用[M].沈陽:東北大學,2000.

[6] 王樹林,劉美清,胡沂清,等.振動棒磨機非線性振動試驗研究[J].機械工程學報,1997,33(4):19-25.

[7] 王樹林,李巨光,胡沂清,等.振動棒磨機非線性碰撞振動的建模與分析[J].青島海洋大學學報,1998,28 (3):157-164.

[8] 盧壽慈.粉體技術手冊[M].北京:化學工業出版社, 2004.

[9] Wang S L.Impact chaos control and stress release——a key for development of ultra fine vibration milling[J]. Progress in Natural Science,2002,12(5):336-341.

[10] Huang M H,Thambiratnam D P.Dynamic response of plates on elastic foundation to moving loads[J]. Journal of Engineering Mechanics,2002,128(9): 1016-1022.

(編輯:董 偉)

Solution and Analysis of Vibration System with Variable Mass

DU Yanchen, GAOLei, ZHOUYanyu, QIN Jing
(School of Medical Instrument and Food Engineering,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

The solution and analysis of a collision vibration system with variable mass were focused and the influence of vibration mass varying with time on the dynamic behaviors of the collision vibration system was discussed.The asymptotic method was used to solve the vibration equations with variable mass,and the method of Runge Kutta was used for numerical calculation.The results show that the responses calculated by the analytical method and the numerical method are in consistency and the asymptotic method is effective for the solution of the dynamic behaviors of nonlinear systems.The calculation also shows that variable mass will make the system response produce a certain mutation.The variation coefficient and the changing frequency of vibration mass will affect the mutation’s period and the amplitude of system respectively.When the variation coefficient is zero,the system response is stationary.The greater the variation coefficient is,the greater the mutation is.The greater the ratio of vibration frequency to mass varying frequency is, the longer the cycle of response mutation is.

vibration;variable mass;asymptotic method;response mutation

O 328;TB 53

A

1007-6735(2015)05-0462-05

10.13255/j.cnki.jusst.2015.05.009

2014-06-17

國家自然科學基金資助項目(51475308)

杜妍辰(1976-),女,副教授.研究方向:振動控制與應用.E-mail:duyanchen@hotmail.com