計算光柵零級衍射場的模態層吸收法

鄧 浩，陳樹強，馬 磊

計算光柵零級衍射場的模態層吸收法

鄧 浩，陳樹強，馬 磊

(電子科技大學物理電子學院 成都 610054)

通過將嚴格耦合波分析的傅里葉展開過程與一種差分技術——層吸收法(SAM)的高斯消元迭代過程相結合，實現對任意復雜光柵零級衍射場的計算。在滿足精度要求條件下，如果SAM所需網格數小于RCWA所需階梯近似層數的兩倍左右，SAM更高效；對于示例結構，相對于RCWA，SAM最高可以減少40%的計算時間。因此該方法具有輔助應用于集成電路納米量級微結構分析/測試的價值。

衍射; 光柵; 測試; 嚴格耦合波分析; 層吸收法

光柵衍射場的模擬計算對于光柵、光子晶體等周期結構的設計與分析[1-3]都具有重要意義。同時，在半導體微電子制造產業的計量領域，尤其是集成電路結構的分析/測試中，零級衍射場的模擬計算同樣有著廣泛的應用[4]。對于集成電路中普遍周期性結構的實際測量，模擬計算的效率是一個十分關鍵的因素。光柵結構的模擬計算方法一般分為標量衍射模型與矢量衍射模型。標量衍射模型計算速度快，適用于大尺寸微米量級周期結構的分析測量。但是隨著半導體產業持續往更先進的技術節點邁進，工程實際中對模擬計算的精度要求也不斷提高，矢量衍射模型逐漸成為主流。其中，基于傅里葉空間展開實現的RCWA[5]是應用最成熟、廣泛的方法。RCWA非常適合于垂直側壁一維光柵結構的衍射模擬，對于任意形貌的復雜周期結構則往往需要通過階梯近似技術采用傳輸矩陣法計算[6]。階梯近似的多層劃分對于RCWA的效率影響較大，一些改進的方法有基于坐標變換的C-RCWA[7]、基于快速傅里葉分解(FFF)的微分算法[8]、基于微擾近似的P-RCWA[9]等。但是它們的應用往往具有局限性，坐標變換技術難以處理復雜邊界的多層周期結構，P-RCWA則僅能處理側壁變化微小的光柵結構。其中，FFF微分算法雖然是一種更嚴格的滿足3個傅里葉分解原則的通用方法[8]，但是其矩陣計算階次通常為RCWA的兩倍，同時對于復雜結構的垂直矢量場的構造(尤其是二維光柵)較為困難且耗時。

另一方面，上述微分方法不可避免地需要計算特征值這一耗時問題，一些非特征值求解方法如Rayleigh法則局限于深寬比在特定范圍的結構。因此，傅里葉空間的層吸收法(SAM)成為本文研究的出發點[10]。基于差分化的實空間或傅里葉空間麥克斯韋旋度方程，針對時諧電磁場問題，文獻[10]提出了一種高斯消元計算方法——SAM。其核心思想是通過引入差分矩陣算子，得到沿光柵側壁方向網格化后的二階差分方程組；該二階方程組的系數矩陣(又稱波動矩陣)是一個三對角元矩陣，從而可以采用高斯消元將網格方程逐個消去，最后結合邊界條件得到待求位置處電磁場問題的解。但是原始的SAM相對于RCWA過程繁瑣，矩陣階次也過大，而且目前只是少量應用于微米量級光子晶體分析中。本文結合RCWA與SAM的計算特點，實現納米量級任意光柵結構的模擬計算。

1 基本方法

圖1為任意角度入射光投射到一維光柵平面的示意圖。入射光源Einc從覆蓋層(通常為空氣)照射到光柵，其空間入射模型特性由3個角度限定：入射角θ(0°≤θ＜ 90°)、方位角φ(0°≤φ＜360°)、偏振角ψ(0°≤ψ＜360°)。當Einc垂直于入射平面，即ψ=90°或270°時為TE偏振；當Einc平行于入射平面，即ψ=0°或180°時為TM偏振。Λ為光柵周期，電磁衍射模擬問題區域被劃分為：覆蓋層(折射率為nc)、光柵區域(折射率為n)、襯底層(折射率為nsub)。

圖1 任意角度入射光入射一維光柵平面示意圖

如果光柵區域為任意復雜光柵結構，則可以采用階梯近似技術將光柵區域劃分為多個小層，如圖2所示，其中i為各小層的層標(i=1～I)。整個問題區域滿足弗洛奎特條件，其一維平面衍射為：

式中，m是x方向的衍射階次；k0=2π/λ0是自由空間中的波矢大小(λ0為自由空間中入射光波長)；kxm是沿x方向的第m階諧波波矢大小；,lzmk是覆蓋層與襯底層沿z方向的第m階諧波波矢大小。

圖2 任意光柵結構的階梯近似剖面示意圖

1.1 平面衍射：TE偏振入射

對于一維周期結構TE偏振入射的平面衍射情況，其入射場為：

根據RCWA的傅里葉空間展開原則[11]，覆蓋層與襯底層的衍射場可以表示為：

光柵區域的場量為：

因此，將式(5)～式(6)代入麥克斯韋旋度方程，可以得到光柵區域傅里葉空間的微分旋度方程。如果按照圖3的梯近似多層結構Yee式網格模型，對該旋度方程差分化，則可進一步得到光柵區域各網格的一階差分旋度方程：

式中，j為網格標號(1≤j＜≤Ji)；Di為對角元為1/Δzi′ =1/(k0Δzi)的對角矩陣；Δzi為第i層的空間步長；Kx為以kxm/k0為對角元的對角矩陣；為光柵區域第i層第j網格處電場/磁場的傅里葉系數向量；Ei為第i層的介電系數函數對應的托普利茲矩陣(其中)。雙介質周期結構(介質1折射率為n1，介質2折射率為n2)的介電系數函數εi(x)的傅里葉系數為：

式中，f為介質2的寬度在第i層占據單位周期長度的比值(占空比)；f1、f2為介質2的上下側占空比。

圖3 階梯近似多層結構各層的Yee式網格模型

此時，根據一階差分旋度方程式(7)～式(8)，可以給出第i?1層最后一個網格(j=Ji?1)的差分旋度方程與第i層第1個網格的旋度方程，并綜合此兩組方程可得到第i層的上邊界網格差分波動方程：

令ai=, ai,1=DiDi-1, bi,1=??DiDi-1?Ai，則第i層的上邊界網格波動方程可以改寫為：

并且，根據一階差分旋度方程式(7)～式(8)，可以得到第i層內非上邊界網格的重復網格差分波動方程：

式中，Ai=。且定義系數矩陣bi=?Ai，則第i層內的重復網格差分波動方程可以改寫為：

至此光柵區域非覆蓋層、襯底層邊界位置的各網格差分波動方程均已給出。

圖4 TE偏振平面衍射的全場/散射場模型

覆蓋層、襯底層邊界處的網格差分波動方程則通過全場/散射場模型[10]與傳輸邊界條件(全稱TBC)給出，如圖4所示。TE偏振入射時，電場源Einc,y設置在覆蓋層第0網格處。此時綜合覆蓋層第?1網格的旋度差分方程(散射場內)與覆蓋層第0網格的旋度差分方程(散射場內)，并加入TBC邊界條件，可以得到第0格的差分波動方程：

式中，b0=是TBC邊界條件定義下的對角矩陣；；f1sy,src是Einc,y的傅里葉系數組成的列向量[… 0 1 0 …]T。

綜合覆蓋層第0網格的旋度差分方程(散射場內)與階梯近似第1層第1網格的旋度差分方程(全場內)，可以得到階梯近似第1層第1網格的差分波動方程(包括兩個形式)：

或

式中，1,srcuxf為Einc,y對應磁場源的傅里葉系數的列向量[…0 ?jcosθ 0 …]T。式(16)的右側源比式(17)右側源包含了更多的近似。

襯底層與光柵區域邊界只需考慮TBC邊界條件，階梯近似第I層第JI格(最后一格)的波動方程為：

式中，bI,JI=bI+aIZtrn，Ztrn是TBC邊界條件定義下的對角矩陣。

最后，從覆蓋層到襯底層逐網格排列出一個線性方程組(依次包括：式(15)、式(16)、式(17)、式(12)、式(14)、式(18))，最終可以寫成一個形如式(22)的塊矩陣波動方程。其中，f1、f2根據式(15)、式(16)、式(17)可以表示為兩種形式：

塊矩陣波動方程的左側波動矩陣即為層吸收法所需建立3對角元矩陣，如式(22)所示。該塊矩陣波動方程由逐網格波動方程組成，各網格波動方程來源于鄰近兩個網格的一階差分旋度方程。這樣的構造過程避免了層吸收法所需的矩陣重排序(Reordering)步驟，同時能直接的應用RCWA算法中微分波動方程的矩陣形式：

對于TM偏振入射平面衍射與二維光柵的衍射問

題，直接應用收斂性改進研究方面的各類矩陣形式[9-10]，對改進層吸收法的收斂同樣有效。

1.2 平面衍射：TM偏振入射

對于TM偏振入射，其入射場可以表示為：類似TE偏振入射，可以最終寫成如下的磁變量的塊矩陣方程：

式(24)給出的波動方程對應的全場/散射場模型與TE偏振入射有所區別，它的源Hinc,y應設置在覆蓋層第?1網格處(U?′1)，如圖5所示，這樣才能保證f1、f2可以對類似式(19)與式(20)這兩種形式的源都適用。對于TM偏振入射，f1、f2為：

式中，f1uy,src的向量形式與TE偏振情況中f1sy,src一致，f1sx,src與TE偏振情況中f1ux,src一致。如果Hinc,y設置在覆蓋層第0網格處，則只有式(23)適用。

圖5 TM偏振平面衍射的全場/散射場模型

2 層吸收原理

對于連續的3個網格方程(k?1、k、k+1)，可以實現如下消元過程：

同時從式(22)、式(24)給出的矩陣方程形式，可以看出階梯近似層內，如果網格數很多，則會存在大量的重復網格方程，從而可以層內采用串聯倍速算法(cascading and doubling algorithm)[10]對其實現加速。反射場傅里葉系數向量R可以通過如下方程得到：

式中，0β、0α、Jα、Jβ是對塊矩陣波動方程完成所有層吸收消元后的系數矩陣。

3 數值示例

根據傅里葉空間的層吸收法，計算一個如圖1所示垂直側壁雙介質光柵。

示例 1 垂直側壁雙介質光柵(如圖1所示)的襯底材料為硅，光柵的雙介質材料為空氣/硅(介質2)，覆蓋層為空氣，周期為500 nm，光柵區域厚度為500 nm，介質2的占空比為0.5，入射角θ=10°，方位角為φ=0°，入射波長范圍為190～1 000 nm。圖6為TE/TM偏振入射兩種情況分別與RCWA結果比較的零級反射譜。本文的數值示例統一設以±12為計算的傅里葉展開截斷階次，數值收斂判定條件為均方差σ＜10?3。由圖中可以看出，當數值結果穩定收斂時，傅里葉空間層吸收法在TE/TM偏振入射下的零級反射譜與RCWA結果完全吻合。示例1采用了串聯倍速算法，網格數為194，計算時間幾乎為RCWA的兩倍。因此，對于垂直側壁RCWA比SAM的計算效率更高；只有考慮RCWA所需階梯近似層數與SAM所需光柵區域總網格數相差不大的結構，SAM才能實現衍射場的快速計算。

圖6 示例1在TE/TM偏振入射下，SAM與RCWA的零級反射譜曲線比較圖

示例 2 雙介質對稱梯形光柵結構(其階梯近似模型如圖2所示)，光柵區域厚度為800 nm，梯形光柵的上下側占空比分別為0.1、0.6，其余參數與示例1相同。在滿足收斂條件(σ＜10?3，且最大絕對誤差δ＜0.002)下，SAM與RCWA的TE偏振入射零級反射譜比較如圖7所示。對于示例2，SAM需要劃分157個網格，所需計算時間約為74.3 s；RCWA需要41個階梯近似層，所需時間約為47.5 s。因此對于層厚較厚的光柵SAM的計算效率并不占優勢。表1給出了改變示例2厚度、占空比的其他梯形光柵(其余參數相同)的計算時間比較，收斂條件均為σ＜10?3且δ＜0.002。可以看出，對于薄層且傾斜度(f2:f1)較大的結構SAM可能獲得潛在的效率優勢(陰影部分數據)。

圖7 示例2在TE偏振入射下，SAM與RCWA的零級反射譜曲線比較圖

示例3與示例2是相似的對稱梯形光柵結構，但是其襯底材料為鉻。圖8～圖10基于示例3給出了單獨改變厚度、占空比(1f、2f)、周期的3個幾何參數所對應的兩種算法計算時間曲線。可以看出厚度與占空比的改變對RCWA/SAM的相對計算效率影響較大。如圖8所示，對于傾斜度較大(f1=0.1, f2=0.8)的結構，厚度較小(小于380 nm)時，往往SAM更高效(d=140、160 nm時例外)，其效率最高提升約40%，絕對計算時間最多減少約17 s。如圖9所示，對于薄層(d=100 nm)結構，保持f1=0.1時，f2越大SAM效率越高，但是保持f2=0.1、f1增加時，SAM相對于RCWA不具效率優勢，因此傾斜度較大情況，RCWA/SAM的相對效率還需考慮光柵區域折射率分布的影響。特別的對于1f與2f接近的結構，RCWA效率極高，示例3在1f=2f=0.1時，不采用串聯倍速算法的SAM需要約21 s，采用串聯倍速算法的SAM需要約3 s，而RCWA僅需要約1.5 s，因此傾斜度較小結構，SAM不具效率優勢。如圖10所示，對于示例3薄層傾斜度較大(d=100 nm, f1=0.1, f2=0.8)情況，周期對RCWA/SAM的相對計算效率影響較小，SAM效率最高提升約42%，絕對計算時間最多減少約14 s。相同計算平臺上(本文數值結果均基于Inter E31280處理器/MKL代數庫/Matlab數值軟件)對于同等規模的問題(傅里葉展開截斷為±12)，RCWA/SAM的計算時間與階梯近似層數/網格數滿足如圖11所示的線性關系。因此相同收斂條件下對于該類光柵結構，如果SAM所需網格數小于RCWA所需階梯近似層數的2倍左右，SAM更高(圖11中，trcwa(40)約需45.2 s，而tsam(80)約僅需37.2 s)。

表1 改變示例2厚度、占空比的RCWA與SAM的計算時間比較

以上示例說明，傅里葉空間的SAM在所需網格數小于RCWA所需階梯近似層數的2倍左右的情況下，可以實現相對于RCWA的更高效計算，但其應用范圍受到光柵幾何參數、材料特性、入射光源綜合影響。實際工程應用中，可以通過前期模擬分析判斷特定結構下SAM與RCWA的相對效率，再選擇合適的計算方式，最后實現集成電路結構的在線檢測。此外，SAM避免了RCWA難以并行分解的特征值求解過程，因此相對于RCWA，它更適合應用于并行架構的高性能計算平臺以進一步提高效率，如CPU-GPU架構服務器[13]。

圖8 光柵厚度d對RCWA與SAM計算時間的影響(Λ=500 nm，f1=0.1，f2=0.8)

圖9 占空比(f1或f2)對RCWA與SAM計算時間的影響(d=100 nm，Λ=500 nm)

圖10 光柵周期Λ對RCWA與SAM計算時間的影響(d=100 nm，f1=0.1，f2=0.8)

圖11 RCWA/SAM的計算時間與階梯近似層數/網格數的線性關系

4 結 論

本文通過結合RCWA的傅里葉展開過程與層吸收法的差分迭代過程，可以實現對任意復雜形貌光柵零級衍射場的有效計算。對于在給定精度要求下，SAM所需網格數小于RCWA所需階梯近似層數兩倍左右的衍射模擬問題，SAM更高效。該方法完全適用于采用RCWA的各類波動矩陣形式(本文TM偏振平面衍射應用了)，以提高收斂性最終提高效率。本文的數值示例雖然只是典型結構的模擬計算，但是該方法對于任意復雜周期結構(包括二維結構)均具有實現相對于RCWA更高效計算的潛力。由于集成電路結構分析/測試應用中往往對實時性有較高要求，因此該方法具有一定的工程應用價值。傅里葉空間的SAM同樣適用于類似文獻[10]中的大規模的復雜光子晶體結構的分析設計。

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編 輯 黃 莘

Calculation of Zero-Order Diffraction by Using the Modal Slice Absorption Method for Gratings

DENG Hao, CHEN Shu-qiang, and MA Lei

(School of Physics Electronics, University of Electronic Science and Technology of China Chengdu 610054)

The rigorous couple wave analysis (RCWA) is widely used in structure analysis/testing of integrated circuit (IC), in particular, efficient for gratings with vertical sidewalls. But for a complex grating, its efficiency is reduced due to the staircase approximation. Here we present a rapid calculation method of 0’s order diffraction field for arbitrary grating, which combines RCWA with the slice absorption method (SAM). Under a given accuracy requirement, when the girds needed by SAM are less than double of the staircase approximation slices needed by RCWA, the SAM is more efficient. In the numerical examples, a calculation time up to 40% of RCWA is reduced by SAM. Therefore, SAM could be the auxiliary method to RCWA in the nanoscale IC application.

diffraction; grating; measurements; rigorous couple wave analysis; slice absorption method

O436.1

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2015.06.010

2014 ? 01 ? 03；

2015 ? 05 ? 26

國家自然科學基金(61501094)

鄧浩(1984 ? )，男，博士，主要從事微電子結構光學測試技術方面的研究.