一道幾何命題射影解法的啟示

趙臨龍

（安康學院數學與應用數學研究所，陜西安康 725000）

一道幾何命題射影解法的啟示

趙臨龍

（安康學院數學與應用數學研究所，陜西安康 725000）

利用射影幾何的極點與極線關系，給出一道幾何命題的射影解法，揭示命題的內在聯系，從中獲得射影幾何學習的兩點啟示：注重《高等幾何》的學習研究及其作用的發揮.

歐氏幾何；射影幾何；極點；極線

2008年2期的《中等數學》在“本期問題”中，給出高220題[1]：

如圖1．從⊙O外一點P引⊙O的兩條切線PA、PB，切點為A、B，再從點P引⊙O的兩條割線PCD、PEF，與⊙O交于點C、D、E、F，弦CF、DE交于點G.求證：A、G、B三點共線．

本題有著深刻的射影幾何背景．現利用射影幾何作以探討.

1 射影幾何解法

2.1 極點與極線的概念

如圖2．過點M引二次曲線Γ的直線MAB交Γ于A、B兩點，若直線MAB上一點N滿足：NA/NB = MA / MB，則點N軌跡（直線l）為點M關于Γ的極線，點M為Γ關于極線l的極點．

特例：當點M在Γ上，則過M與Γ相切的直線為點M關于Γ的極線l.

圖1

圖2

2.2 極點與極線的性質

定理1[2]若點M關于二次曲線Γ的極線為l，則l上一點N關于二次曲線Γ的極線'l必過點M.

推論1 極線l的點列N與過極點M的線束'l構成一一對應.

推論2 兩極點M、N對應極線分別是l和'l，則l和'l的交點R的極線為直線MN.

定理2[2]如圖1．二次曲線內的完全四邊形CDEF的三雙對邊分別交于：CF × DE = G，CE ×DF = Q，CD × EF = P，則ΔPQG為自極三角形（Δ的每一個頂點關于對邊構成二次曲線的極點和極線的關系）.

2.3 命題的證明

如圖1. 由于ΔPQG是二次曲線內接完全四邊形CDEF的自極三角形，則極點G的極線是PQ，極點Q的極線是PG.

又直線PA、PB分別切二次曲線于點為A、B，則極點A、B的極線分別是PA切線和PB切線．

此時，由于4條極線PQ、PG；PA、PB都交于點P，則它們分別對應的4個極點G、Q；A、B共線．

即命題獲得證明.

推論3 如圖1．從二次曲線外一點P引它的兩條切線PA、PB，切點為A、B，再從點P引它的兩條割線PCD、PEF，與二次曲線交于點C、D、E、F，弦CF、DE交于點G，弦CD、EF交于點Q．則Q、A、G、B四點共線.

顯然，在推論中，再過點Q作二次曲線外一點Q引它的兩條切線QA1、QB1，切點為A1、B1，則P、A1、G、B1四點也共線．

由此，給出一個幾何命題的作圖問題．

問題 如何利用直尺作出過二次曲線外一點P作它的切線？

作法：過點P引二次曲線的兩條割線PCD、PEF，與二次曲線交于點C、D、E、F，連接弦CF、DE交于點G，連接CE、DF交于點Q，再連接QG分別交二次曲線于點T、T1．于是PT、PT1為所求的切線．

2 射影幾何解法的啟示

2.1 注重《高等幾何》的學習和研究

射影幾何解法不僅給出了問題的求解，更重要的是揭示了問題的本質，自然能給出“新”的結論．因此，教師應該注重《高等幾何》的學習和研究，從更深層次把握問題的實質．如在《高等幾何》中，數學神童帕斯卡于1964年給出的結論：

帕斯卡定理[3]對于任意一個內接于非退化的二次曲線的六邊形，則它的三雙對邊的交點共線．

我們利用射影幾何的“對偶原理”（將一個幾何命題中的“線”換成“點”，并將“點”換成“線”，所得命題與原命題成對偶命題），則得結論：

布里安桑定理[3]對于任意一個外切于非退化的二次曲線的六邊形，則它的三對對頂的連線交于一點．

該定理于1806年由布里安桑給出（當時還沒有“對偶原理”理論）．今天，我們就可直接給出統一的結論.

如文[4]給出的數學奧林匹克問題.

命題1[4]圓內接四邊形ABCD的兩組對邊AD和BC分別交于點E和F，過點B、D分別作AB和CD的切線交于點P，則E、P、F三點共線.

此命題是帕斯卡定理的特殊情況，當二次曲線的內接六邊形退化為四邊形時，其中六邊形的一雙對邊退化為二次曲線的一對切線，則這一對切線的交點與另兩雙對邊的交點共線.

2.2 注重《高等幾何》作用的發揮

高等幾何的豐富內容，對于歐氏幾何學習和研究有著重要的指導作用.

2.2.1 避免低層次問題的重復“發現”

當前，在初等數學研究中，也出現了一種不良的現象：就是將《高等幾何》中的一些特殊問題，作為“新”發現命題，而用解析幾何方法進行繁雜的證明，這對數學的發展是沒有好處的．因此，教師應該注重用《高等幾何》研究歐氏幾何問題，并加強《高等幾何》的學習.關于這一點，在文[5～6]給出的“新”結論，其實都重復了前人的研究成果.

命題2[5]若一條直線被雙曲線及兩條漸線所截，則夾在雙曲線與兩條漸線間的線段長相等.

命題3[6]過雙曲線上一點P作雙曲線的切線交漸線與點A、B，則

1）PA=PB；

2）ΔOAB（O為雙曲線的中心）的面積為定值.

顯然命題3第一結論為命題1的特例．命題2和命題3是朱德祥《高等幾何》教材中例題和習題[3]．

2.2.2 揭示命題的內涵

射影解法研究幾何命題的優越性在于，不僅可以給出命題的解法，更重要可以揭示命題的內涵.

如對于廣義的蝴蝶定理，有以下結論.

命題4 如圖3．過二次曲線Γ弦AB外一點M引Γ的兩弦CD，EF分別交弦AB于G、H，CF、ED分別交AB于P、Q；，記AG ＝ a，BH = b，GH = r，PG = X，QH = y，則

圖3

顯然，當r = 0，即G、H、M三點合于AB上一點，為Candy蝴蝶形式

再當a = b時，為蝴蝶形式

此時，如圖3．若當ED//AB時，則在射影幾何中，直線ED與直線AB相交于無窮遠點Q∞，即QH = y→∞．于是，（1）為：

推論4 二次曲線Γ弦AB外一點M引Γ的兩弦CD，EF分別交弦AB于G、H，CF、ED分別交AB于P、Q，記AG ＝ a，BH = b，GH = r，PG = X，QH = y，則

（2）當ED//AB//CF時，ab=．

如圖3．若再當直線CF與直線AB相交于無窮遠點P∞，即PG=X→∞．于是，有結論推論4的（2）成立．

射影幾何將文[7]的定理1～4統一起來，并且給出新結論，對于蝴蝶定理的認識，增添新的氣息．

2.2.3 給出古老問題的新“結論”

在射影幾何中，由于線束的交比可以用線束的夾角表示．因此，又可得到廣義蝴蝶定理的新結論．

命題5[8]如圖4．過二次曲線Γ弦AB上一點M引Γ的兩弦CD，EF，CF、ED分別交AB于P、Q，記∠PCM = α，∠QCM = β，∠ACM = γ，∠BCM = θ，則

此時，若以CD為x軸，建立直角坐標系，則線束C（PQAB）斜率分別為：KCP=－tanα，則

圖4

推論5 過二次曲線Γ弦AB上一點M引Γ的兩弦CD，EF，CF、ED分別交AB于P、Q，若線束C（PQAB）斜率分別為：KCP，KCQ，KCA，KCB，則（4）成立.

顯然，將蝴蝶定理的線段關系（1），轉換為斜率關系（4），極大地豐富了蝴蝶定理的內涵.

[1]呂建恒.數學奧林匹克問題[J].中等數學，2008（2）：47-49.

[2]周振榮，趙臨龍.高等幾何[M].武漢：華中師范大學出版社，2013.

[3]朱德祥.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，1998.

[4]呂建恒.數學奧林匹克問題[J].中等數學，2008（7）：48-49.

[5]呂中偉.雙曲線一個幾何性質的應用研究[J].中學數學教學參考（高中），2006（5）：32-33.

[6]姚光偉.雙曲線切線的一條性質[J].中學數學教學參考（高中），2006（7）：54.

[7]張殿書.和圓中內接碟形相關的系列有趣性質[J].數學通報，2011（9）：58-60.

[8]趙臨龍.蝴蝶定理線束夾角表達形式的研究[J].河南科學，2012（4）：404-406.

（責任編輯：張新玲）

The Implications of the Prospective Method of a Geometric Proposition

ZHAO Linlong
(Institute of Mathematics and Applied Mathematics, Ankang University, 725000, China)

This paper uses the relationship between pole and polar line of prospective geometry and a prospective method to solve a geometric proposition. It reveals the inner relation of propositions. Two implications are noticeable in this study: Higher Geometry shall be learned and researched; Higher Geometry’s function shall be given full play.

Euclidean geometry; prospective geometry; poles; epipolar line

O18

A

1009-8135（2015）03-0011-03

2015-01-11

趙臨龍（1960-），男，陜西西安人，安康學院教授，主要研究幾何學．

陜西特色專業建設項目（2011-59）；安康學院重點學科建設項目（ZDXKZX201318）階段性成果