向量在代數中的應用

廖紅艷

(重慶市萬州第二高級中學，重慶萬州 404100)

向量在代數中的應用

廖紅艷

(重慶市萬州第二高級中學，重慶萬州 404100)

向量融數、形于一體，是中學數學知識的一個交匯點．它以幾何的形式出現，在幾何中應用非常廣泛，其實利用向量的有關知識和運算方法解決代數和三角問題，就能劃繁為簡、劃難為易，起到事半功倍的效果．向量作為一種工具，為解決中學數學問題提供了新的思路，進一步拓寬了思維渠道．

向量；代數；三角

向量知識已經進入高中教材中，其應用價值已被廣大師生認可．熟練掌握向量性質、特征及運算規律，為解決代數、三角問題提供了新穎、簡潔、精妙的思想和方法．用向量的方法解決問題的一般程序：

第一步：構造必要、足夠的基本向量；

第二步：搞清問題中待解決的目標所相應的向量表示形式；

第三步：根據已知條件和所求進行必要的向量運算直至問題解決[1]．

1 利用向量證明有關不等式

不等式的證明在高中數學中是一個重點，同時也是一個難點．應用常規的方法證明不等式往往繁雜冗長，而利用向量的方法簡潔、明了．

證明不等式主要依據下列向量不等式[2]：

結合向量的運算規律和不等式的特征，利用向量解決問題的一般程序證明不等式．

例1 已知a、b、x、∈yR，且a2+ b2= 1，x2+ y2= 1；求證：|ax + by| ≤ 1．

分析：觀察a2+ b2= 1，x2+ y2= 1方程的左邊與向量的模的計算公式相似．ax + by又符合向量數量積的坐標運算公式，所以利用向量的方法解決此題更容易，更簡單．

例2 證明柯西不等式

分析：觀察柯西不等式的結構特征，結合向量的模的公式、向量數量積的坐標運算公式及向量不等式，構造經過運算得到證明．

分析：f（x）=（1+x2）1/2的形式與向量模的公式相同，則f（a），f（b）分別等于的模，而根據則得證．

2 利用向量求解無理函數最值問題

按常規的方法求解無理函數最值問題具有一定的難度，若能用向量的知識解答將會變得簡單，其中主要是利用向量的幾個性質：

當且僅當pn=qm時等號成立．

無理函數的最值問題種類繁多，不過也可以歸納為以下四大類型：

的最大值．

求解這種類型的無理函數的最值時，首先，將根號下的式子配方，調節根號外未知數次數為一的項，然后構造向量使得模為常數，最后利用向量的性質及運算規律求解．

在求解此種類型的無理函數的最值時，首先將根號下的式子配方，然后構造兩個向量，使得向量的模的平方分別等于根號下的式子，最后利用向量的性質及其運算規律求得最值．

（4）其它類型

觀察待解決的無理函數的特征，構造必要、足夠的向量，結合向量的性質及其運算規律，求出函數的最值．

例7 設ix)2007,,3,2,1(······=i為正實數，且試求的最小值．

例8 已知a，b，c，d∈R，求的最小值．

解：構造向量

由性質3，得

3 利用向量解決三角問題

平面向量的數量積的定義，將平面向量與三角函數融為一體，體現了向量的長度和三角函數之間的關系，為運用平面向量解決三角問題創造了有利的條件．若能構造恰當的平面向量，通過平面向量的運算來處理，往往可以收到事半功倍的效果[3]．

利用向量的方法解決三角問題，仔細觀察三角問題的結構特征，構造必要、足夠的基本向量，最典型的就是兩角和與差的余弦公式證明，余弦定理的證明；然后利用向量的性質、向量不等式及其運算規律解決問題．

分析：觀察兩角差的余弦公式的右邊，是兩個向量的數量積，可以構造

結合向量的數量積公式，容易得到證明．

（2）當θ=（β- α）時，cosαcosβ+sinα sinβ

解：如圖3.1，在單位圓O上取七個等分點A、B、C、D、E、F、G，則

作為一種數學工具的向量，它不僅為幾何代數化、代數幾何化帶來了極大的方便，而且使它成為聯系多項內容的媒介．如能靈活使用向量的有關知識和運算方法，可以使一些數學問題避免繁雜的運算，降低計算量，不僅新穎，而且簡單明了，做到解題有規可循、有法可用、化難為易[4]．讓學生掌握好向量的知識和運算方法，增強學生應用向量的意識，提高學生應用向量的能力，有利于激發學生學習數學的興趣，有利于學生的思維能力、創新意識的培養，有利于學生分析和解決數學問題的能力的培養．

圖1

[1]薛金星.高考總復習全解：數學B版[M].西安：陜西人民教育出版社，2005.

[2]薛金星.高中數學：必修5[M].北京：人民教育出版社，2012.

[3]過大維，錢軍先.挖掘向量的應用功能，發揮向量的工具作用[J].數學教學通訊，2004（4）.

[4]於增輝.淺談平面向量的應用[J].高中數學教與學，2003（12）.

（責任編輯：于開紅）

Application of Vector in Algebra

LIAO Hongyan
(Chongqing Wanzhou Second Senior High School, Wanzhou, Chongqing 404100)

Vector, integrating number and shape, is a meeting point of middle school mathematics knowledge. It takes a geometric form and is widely used in geometry. In fact, it can simplify the complex and make the difficult easy by using the relevant knowledge, the operation method of vector can be used to solve algebra and trigonometry problems, and better results are obtained with less effort. As a tool, Vector provides a new way to solve the middle school mathematics problems and further broadens the thinking channel.

vector; algebra; trigonometry

G812.78

A 文章編號：1009-8135（2015）03-0020-05

2015-03-22

廖紅艷（1982-），女，重慶萬州人，重慶市萬州第二高級中學教師，主要研究數學教學．