向量空間分解理論探究

張鑫浩

（鎮江高等專科學校；丹陽師范學院，江蘇丹陽 212300）

向量空間分解理論探究

張鑫浩

（鎮江高等專科學校；丹陽師范學院，江蘇丹陽 212300）

文章首先在復數域下，引出了簡化版的Cayley-Hamilton定理，在此基礎上根據根子空間的概念，先討論了根子空間的循環分解理論；再討論根子空間的直和，即空間的準素分解理論；最后介紹了如何用復數域上的空間分解理論來處理實數域上的空間分解．

向量空間；根子空間；空間分解理論

目前向量空間上的空間分解理論大多是從特征值到方陣的對角化，然后從Cayley-Hamilton定理得到空間的準素分解理論（初步的空間分解理論），再引入λ矩陣，講了不變因子、初等因子//Jordan標準型等概念，最后再講精細的空間分解理論．本文沒有在一般的數域上討論空間分解，而是先在復數域上討論根子空間分解理論，再討論準素分解理論，最后在實數域上討論空間的分解理論．這對于其他數域也有一定的借鑒作用．

1 在復數域上的空間分解理論

1.1 復數域下的Cayley-Hamilton定理

由于在復數域上任一線性變換（算子）A，在某組基e1，e2，…，en下有上三角矩陣[1]68

為了表述的方便，我們記Vi=（e1,e2,…,ei）i=1,2,…,n

1.2 空間分解的初步探究

1.2.1 在上述矩陣中，若a11，a22，…，ann均不相同，易見矩陣A有n個不同的特征根，則線性變換A可對角化．即線性變換（算子）A，在某組基下對應與如下形狀的矩陣

1.2.2 我們考慮重根的情況，將與a11相同的特征值均記為λ1（t重根）．

我們將1λV稱為1λ的根子空間[2]．

1.3 對根子空間Vλ1的空間分解

對應于第一種類型的向量構成的空間，我們稱之為屬于特征值λ1的特征子空間．

對于第二種類型的向量，我們討論

1.3.2 循環子空間的擴充與極小變換

在上述過程中，我們是對屬于1λV的向量不斷的施加線性變換（A-λ1E）來作出循環子空間的，現在反過來，對于屬于1λV中的向量ε1i的，考慮方程組（A-λ1E）X=ε1i在1λV中是否有解．若存在β∈1λV，使得（A-λ1E）β=ε1i，則L（ε11，ε12，…，ε1i，β）是有向量β生成的循環子空間，且L（ε11，ε12，…，ε1i）繼續這樣的過程，直至找不到更大的循環子空間為止．

若由向量ε1i生成的循環子空間已經不能再擴充時，我們將重點放在這樣的向量上．為了敘述方便引入新的名稱，稱（A-λ1E）i是向量ε1i在線性變換（A-λ1E）下的極小變換（算子），此時有：（1）在中無解，（2）

1.3.3 由相同極小變換的向量生成的循環空間

用（A-λ1E）i-1分別作用在等式兩邊，得到

若η1與ε11線性無關，則ki=k1i=0，并由此推出k1=k11=…=ki=k1i=0，因此

注意到η1與ε11經過一次線性變換（A-λ1E）均為零向量，η1與ε11均為線性變換A的特征向量，所以有：兩個特征向量線性無關，則分別含此特征向量的具有相同極小變換的向量生成的循環子空間交空．

1.3.4 由不同極小變換的向量生成的循環空間

將（A-λ1E）s-1分別作用在等式兩邊，得到若η11與ε11線性無關，則并由此推出

即兩個特征向量線性無關，則分別含此特征向量的具有不同極小變換的循環子空間交空．

1.3.5 由特征向量作出循環子空間

設屬于特征值λ1的線性無關的特征向量有m個，分別用表示．首先我們找出含ε11的循環子空間．解線性方程（A-λ1E）a=ε11，得到ε12，再由（A-λ1E）a=ε12，得到ε13依此類推就得到含有ε11的循環子空間，記為Vλ1（ε11）．但在此過程中，解并不唯一．例如解（A-λ1E）a=ε11時，不僅（A-λ1E）ε12=ε11，

我們希望解得的12ε具有唯一性，于是限定因此，這樣的是唯一的．若存在112W∈′ε，使得可得此時這與1W是子空間相矛盾．所以必有依次類推可得該循環子空間的唯一性．

1.3.6 根子空間的循環分解

我們將包含上述特征向量的循環子空間用Vλ1表示．

下證：Vλ1=Vλ1（ε11）⊕Vλ1（ε21）⊕…⊕Vλ1（εm1）

證明：由上述討論知，Vλ1（ε11），Vλ1（ε21），…，Vλ1（εm1）兩兩交空．

下面用數學歸納法證明：

對任意一向量α∈Vλ1，α∈Vλ1（ε11）⊕Vλ1（ε21）⊕…⊕Vλ1（εm1）．

（1）當n=1時，因為（A-λ1E）a=O，結論顯然成立．

另一方面，存在

兩式相減得（A-λ1E）k（a-η1）=0，記a-η1=ξ1，因為（A-λ1E）kξ=0，所以所以證畢．

11=t有

1.4 根子空間1λV的維數

由于1λV的維數就是齊次線性方程組解空間的維數，取某組特定的基，使得線性變換在這組基下對應于上三角矩陣，對應于分塊矩陣其中11A是t行t列的主對角線元素為0的上三角行列式，22A是上三角行列式，則對應于矩陣易知該矩陣的秩為n-t，所以解空間的秩為t，1λV的維數也是t．

1.5 不同的根子空間交空

為了表述方便，下面的論述令t=l1，同理若λ2是A的l2重根，記同樣具有Vλ1的形式，且兩者交空．否則令α=Vλ1∩Vλ2，因互素，所以存在u（x），v（x）使得

1.6 空間的準素分解理論

存在u1（x），u2（x），…，us（x）使得

所以，命題得證．

于是我們仿照1λV中的做法，分別取中的一組基，合在一起．得到

2 在實數域上的空間分解

特征多項式f（x）為一次或二次因式的乘積，寫成標準分解式為

對于一次因式，A在某組基下對應的矩陣同上所述為J（λ）型．

若（A2+p1A+q1E）α11≠O，則依次類推，最終必為

用這個方法就可以作出線性變換A在向量空間V在實數域上的一個分解．

[1][俄羅斯]柯斯特利金.代數學引論[M].牛鳳文，譯.北京：高等教育出版社，2008.

[2]張賢科，許甫華.高等代數學[M]北京：清華大學出版社，2004.

[3]丘維聲.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2010.

（責任編輯：于開紅）

An Exploration of the Theory of Vector Space Decomposition

ZHNAG Xinhao (Zhenjiang College, Danyang Normal College, Danyang Jiangsu 212300)

Under the complex domain, this article first introduces the simplified version of the Cayley-Hamilton theorem, and on this basis, according to the concept of root space, it discusses the cyclic decomposition theory of the root space, and the inner direct sum of root space, or the primary decomposition theory of space. Finally it explores how to use space on complex domain decomposition theory to deal with real space on domain decomposition.

vector space; root space; space decomposition theory

G642

A

1009-8135（2015）03-0025-05

2015-01-30

張鑫浩（1975-），男，江蘇丹陽人，講師，主要研究數學教育．