邁克爾遜干涉實驗的仿真研究

喬 亮

（福建江夏學院數理教研部，福建福州 350108）

邁克爾遜干涉實驗的仿真研究

喬 亮

（福建江夏學院數理教研部，福建福州 350108）

利用Matlab軟件，根據光的干涉理論，模擬邁克爾遜干涉實驗的等傾干涉和白光干涉圖樣，便于直接觀察到改變參數對實驗現象的影響.用直觀的圖像將抽象的相干性理論形象化，希望能夠改進和豐富物理實驗教學的手段．

邁克爾遜干涉儀；光的干涉；Matlab模擬

在高等教育的普通物理教學中，光學作為獨立的章節，教學內容中主要體現了光波動性的特質．光的干涉現象是當兩個或多個光束在空間疊加時，在疊加區域內出現的各點強度穩定的強弱分布現象．光的干涉、衍射和偏振都是波動光學的主要研究對象．光的干涉和干涉儀應用較為廣泛，例如用干涉方法研究光譜線的超精細結構，精密計量長度；檢驗光學零件的各種偏差，在光學器件表面鍍膜以減少或增加反射光能等．干涉儀從方法上來說大致可分為兩類：分波前裝置和分振幅裝置．前者只容許使用足夠小的光源，而后者可使用擴展光源，可獲得強度較大的干涉效應[1-3]．邁克爾遜干涉儀就屬于這類．本文針對邁克爾遜干涉儀實驗，根據光強分布的理論公式，利用Matlab編程得到數值曲線，模擬光的干涉現象，并與實驗效果相對比，可以加深對光干涉現象的認識和理解．本文應用Matlab仿真單色光干涉和白光干涉，并與實驗結果類比．

1 基本原理

美國物理學家邁克爾遜（A. A. Michelson, 1852—1931）在1881年，利用光的干涉原理，發明了光學干涉儀器——邁克爾遜干涉儀[4]．一束光經過一塊分光板（玻璃上鍍有半透明的銀膜，使入射其上的光一半被折射，一半被反射），分成A、B兩束，再分別經兩個反射鏡反射回來，相會后形成干涉條紋，如圖1所示．兩個反射鏡中，其一可以移動，它的移動將導致干涉條紋發生變化，并且移動的距離與條紋的變化數相關．M2′是M2參考半透膜表面G1所成的虛象．所以在光學上，這里的干涉就相當于M2′和M1之間的空氣板干涉．邁克爾遜干涉儀的作用就在于制造這樣一個假想空氣層．設置補償板G2是為了當使用白光光源時，補償G1的色散．

2 干涉圖樣仿真與實驗

2.1 等傾干涉

當M1和M2準確地相互垂直，則空氣層的二平面M1、M2′相當于平行，空氣層厚度為d．A、B兩條光線間的程差為：

上式中Δ為兩列光波的相位差，亮暗條件取決于下列條件：

所以我們將得到一組亮暗相間的條紋．如果G1和G2是絕對均勻且平行的，那么光程差只決定于入射光在平板G1上的入射角γ．因此，在平板G1上，具有相同入射角γ的光束經平板兩表面反射后形成的反射光在其相遇點有相同的光程差，也就是說，凡入射角γ相同的光束就形成同一干涉條紋，由于這樣的原因，通常把這種干涉條紋成為等傾干涉．可見，在d一定時，光程差只決定于入射角．相干光合成后的強度表達式為：

I1和I2是A、B兩支反射光的強度.

利用相干光光強合成原理，設計matlab仿真程序，主要程序段如下：

clear;clc;clf;

f=0.2;

lambda=632.8*10^(-9);

d=2.5*10^(-4);

theta=0.2;

rMax=f*tan(theta/2);

N=501;

for i=1:N

x(i)=(i-1)*2*rMax/(N-1)-rMax;

for j=1:N

y(j)=(j-1)*2*rMax/(N-1)-rMax;

r(i,j)=sqrt(x(i)^2+y(j)^2);

delta(i,j)=2*d/sqrt(1+r(i,j)^2/f^2);

Phi(i,j)=2*pi*delta(i,j)/lambda;

B(i,j)=4*cos(Phi(i,j)/2)^2;?

end

end

NCLevels=255;Br=(B/4.0)*NCLevels;

figure(1);image(x,y,Br);

colormap(gray(NCLevels));

axis square;

圖2是我們通過仿真程序，改變不同的入射角條件γ和虛擬空氣層厚度d，得到的干涉圖樣．當M1移向M2′，即虛擬空氣層厚度減小，條紋向中心收縮，并在中心一一消失．每當M1移動λ/2的距離，在中心消失一個條紋；同時條紋的角間距增大，條紋將疏松起來．從圖2中（b）和（c）可以看出，當γ=0.2時，d越小，干涉條紋分布越疏松，這比較利于觀察．當M1和M2′完全重合時，對于各個方向的入射光光程差均相等．繼續移動M1，使M1逐漸離開M2′，條紋不斷由中心冒出，并且隨著虛空氣層厚度的增大，條紋又逐漸地密集起來．同樣，d保持不變，若γ做了改動，對干涉條紋的影響是較大的．如圖2中的（a）和（b）、（c）和（d）都是此種情況，入射角γ越小，條紋越疏松清晰，便于觀察．

圖1 邁爾遜干涉儀原理圖

圖2 不同入射角條件干涉圖樣

2.2 等厚干涉

當M1、M2不十分垂直，則二平面形成一楔形的空氣層，空氣層的厚度d可移動M1的位置來改變．由擴展光源發射出的光束經M1、M2′反射后的兩束光A、B相交于定域面上某點P，兩束光的光程差可以近似地用Δ=2d來計算．即在同一厚度d的地方，光程差相等，干涉條紋僅取決于厚度，故稱為等厚干涉條紋．在實驗操作中，為了能夠下一步較順利獲得白光干涉，我們通常會將調節d適當加寬，會獲得如圖3的干涉圖樣．

干涉儀中的G2是為了消除分光板分出的兩束光A和B的不對稱性而設置的．不加G2時，光束B經過玻璃板G1三次，而光束A只經過一次，加入G2后光束A也經過玻璃板三次，故將G2設置為是與G1同樣厚度的平玻璃板，因而得到補償．這種補償在單色光照明時并非必要，光束B經過玻璃板所增加的光程可以用空氣中的行程補償．但是用白光作光源時，玻璃對不同波長的光有不同的折射率，因而必須加入G2才能同時補償各種波長的程差，在觀察白光條紋時補償板G2不可缺少[5]112-113．

在等厚條紋的基礎上，換上白光的光源，慢慢移動M1鏡，就會在視場中觀察到彩色條紋．白光條紋只在楔形虛平板極薄時才能觀察到．在可見光譜范圍內，不同波長的光能引起人的不同顏色感覺[6]．利用七色光合成白光的仿真方法，給出白光干涉主要程序段：

lambda=[650,610,570,550,460,440,410]*1e-9; RGB=[1,0,0;1,0.5,0;1,1,0;0,1,0;0,1,1;0,0,1;0.67,0,1]; xs=[-0.075:1.5e-4:0.075];

[x,y]=meshgrid(xs);

Irgb=zeros(1001,1001,3);

Iw=Irgb;

Br=1;r=1e-3;f=1; d=1e-5;D=0.25;

for i=1:1:7.

k=2*pi/lambda(i);

r1=sqrt((x-d/2).^2+y.^2+D^2);

r2=sqrt((x+d/2).^2+y.^2+D^2);

II=(cos(r1.*k)./r1+cos(r2.*k)./r2).^2+(sin(r1.* k)./r1+sin(r2.*k)./r2).^2;

Iw(:,:,1)=II*RGB(i,1);

Iw(:,:,2)=II*RGB(i,2);

Iw(:,:,3)=II*RGB(i,3);

Irgb=Irgb+Iw;

end

B=1/max(max(max(Irgb)));

I=Irgb*B;

imshow(I*Br)

圖3 等厚干涉實驗圖樣

圖4 白光干涉條紋仿真圖和實驗圖

3 結 論

利用Matlab模擬干涉實驗，可以直觀顯示干涉條紋圖像，在程序中可以較為方便的改變空氣薄膜厚度，入射角等參數，觀察不同參數條件下干涉圖樣的變化．與邁克爾遜干涉儀實驗緊密聯系，對實驗操作起到形象化的指導作用，也積極擴展了實驗教學手段．

[1]段曉勇，單永明.光的干涉和衍射的Matlab數值模擬[J].大學物理實驗，2012（3）：95-97.

[2]蔣禮，等.用邁克爾遜干涉儀測量全息干板膜厚度[J].應用光學，2006，27（3）：250-253.

[3]譚毅.邁克爾遜干涉實驗的仿真研究[J].實驗室科學，2011（2）：121-124.

[4]施大寧.文化物理[D].呼和浩特：內蒙古大學，2013：109-110.

[5]梁銓廷.物理光學[M].北京：電子工業出版社，2008.

[6]藍海江.白光干涉、衍射實驗的計算機仿真[J].實驗室研究與探索，2009（12）：16-19.

（責任編輯：于開紅）

A Simulation Study of Michelson Interference Experiment

QIAO Liang
(Fujian Jiangxia University, Fuzhou Fujian 350108, China)

According to the theory of light interference, a simulation by Matlab program has been obtained on the equal inclination and white-light interference patterns of Michelson’s interferometer. It is easy to observe the effect by parameter changes. Coherence theory has been visualized. It is hoped to improve and enrich teaching methods with it.

Michelson’s interferometer; light interference; simulation by Matla

G812.78

A

1009-8135（2015）03-0050-03

2015-02-01

喬 亮（1981-），女，吉林長春人，福建江夏學院講師，博士，主要研究激光遙感與激光技術．

福建江夏學院校級教育教學改革項目（大學物理實驗開放共享教學內容體系的構建）；福建省公共基礎課實驗教學平臺項目（物理綜合創新實驗中心）階段性成果