基于LMI的一類混沌系統同步控制及仿真

高子林 熊 江 羅衛敏 鄢 沛

（重慶三峽學院計算機科學與工程學院，重慶萬州 404100）

基于LMI的一類混沌系統同步控制及仿真

高子林 熊 江 羅衛敏 鄢 沛

（重慶三峽學院計算機科學與工程學院，重慶萬州 404100）

針對一類混沌系統，進行了基于線性矩陣不等式(LMI)的同步控制器的設計，使混沌系統的各個狀態均能較快地達到同步狀態．該方法只需求解矩陣K，運算量非常小，滿足了工業中實時性的要求，具有一定的有效性和可行性．

混沌系統；同步控制器；LMI

1 引 言

混沌系統控制分為混沌系統同步控制和混沌系統穩定控制．1990年，Pecora和Carrol[1]提出了驅動響應同步控制方法并用電路實現，同年，Ott，Grebogy和Yorke提出參數微擾動方法OGY方法[2]，完成了混沌系統的穩定控制，此后，混沌系統理論和應用研究滲入到各個領域，如物理、生物系統和保密通信系統等[3-5]．在過去的二十年里，混沌系統控制得到了迅猛發展，研究人員提出各種控制方法，如模糊自適應方法，滑模變結構控制方法，反饋方法及神經網絡方法等[6-9]．這些控制算法為了解決混沌系統中存在的未知非線性，算法比較復雜，導致運算量特別大，從而產生較大的時滯，這有悖于實際應用中實時性的要求．

由于混沌系統在實際應用時通常其動態方程是給定的[10-11]，為了減小運算量，實現在保密通信等實際應用中實時性的要求，本文提出基于LMI的一類混沌系統同步控制設計，并利用Lyapunov穩定性理論證明了該方法的正確性．該方法設計簡單，運算量小，在混沌系統同步控制的應用中具有實際的工程意義．

2 模型描述及基本假設

考慮如下標準的混沌動態驅動系統[12]

其中，未知參數α∈[0，1]．當α∈[0，0.8）時，系統（1）為Lorenz混沌系統；當α=0.8時，系統（1）為Lü混沌系統；當α∈（0.8，1]時，系統(1)為Chen混沌系統．

為了控制設計的方便，可以將系統（1）改寫為如下形式：

系統（1）的響應系統如下[12]:

同樣地，可以將系統（3）改寫成如下形式：

其中，控制輸入u=（u2u3）T∈Rm；g是一個未知的常數增益系數，且g≠0．

設狀態誤差為e=y-x，由（2）和（4）式可得如下誤差動態方程

假設1．當給定未知參數α某一確定值時，矩陣對（A，B）是完全可控的，即對于一個給定的正定矩陣Q，存在一個m×n的矩陣K使如下Lyapunov方程有且只有一個正定對稱矩陣解P

注1．在Lyapunov方程（6）中，矩陣K可以通過求解線性矩陣不等式XAT+AX+BY+YTBT＜0獲得，其中X＞0，且X=P-1，Y=KX．

3 同步控制器設計及分析

控制目標：設計控制器（7）和矩陣K，使狀態向量eT有界并且使驅動系統（1）和響應系統（2）漸近同步，即

針對上述控制目標，對響應系統（4）提出如下控制方案：其中K是根據（6）式求得的．

定理1．考慮驅動系統（1）和響應系統（2），如果假設1成立，那么通過控制器（7）的作用，可以達到控制目標的要求．

證明：考慮正定函數V（t）=eTPe．如果假設1成立，那么正定函數V（t）關于時間t的導數如下：

不等式（8）表明誤差動態方程（5）的狀態向量是有界的；根據Barbalat[13]引理可知從而完成了定理1的證明．

4 仿真算例

假設2：在系統仿真的過程中，給定的正定矩

y1（0）=y2（0）=y3（0）=10．

（1）當α=1時，系統（1）為Chen混沌系統，

由（2）式知根

應用于響應系統（3）中，仿真結果如圖1所示：

圖1 三維同步相位圖及同步誤差圖

（2）當α=0.8時，系統（1）為Lü混沌系統，

應用于響應系統（3）中，仿真結果如圖2所示：

圖2 三維同步相位圖及同步誤差圖

（3）當α=0.25時，系統（1）為Lorenz混沌系統，由（2）式知根據（6）式可求解得將控制器（7）

應用于響應系統（3）中，仿真結果如圖3所示：

圖3 三維同步相位圖及同步誤差圖

從圖1、圖2和圖3的仿真結果可以看出，本文提出的同步控制方法均可在較短的時間內使驅動-響應混沌系統達到同步狀態，驗證了該控制算法的有效性．

5 結 論

本文通過求解線性矩陣不等式，將求解得到的矩陣K應用于同步控制器中，利用Lyapunov穩定性理論證明了該方法的正確性，最后的數值仿真證明了該方法的有效性．該方法與其他的同步控制算法相比，設計的控制器簡單易于操作，運算量小，可以滿足實時性的需求，特別在保密通信中具有一定的使用價值．同時，該方法也適用于任何可以被改寫成矩陣形式的混沌系統同步，具有較好的應用前景．

[1]Pecora L M, Carrol T L, Synchronization in chaotic systems[J]. Physical Review Letters, 1990. 821–824.

[2]Ott E, Grebogi C, Yorke J. A.. Controlling chaos[J]. Physic Review Letter, 1990. 1196-1199.

[3]Tanaka K, Ikeda T, Wang H O. A unified approach to controlling chaos via an LMI-based fuzzy control systems[J]. IEEE Trans. On Circuits and Systems, 1998. 1021-1040.

[4]Laoye J A, Vincent U E, Kareem S O. Chaos control of 4D chaotic systems using recursive backstepping nonlinear controller[J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2009. 356-362.

[5]Aghababa M P. Robust stabilization and synchronization of a class of fractional-order chaotic systems via a novel fractional sliding mode controller[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2012. 2670-2681.

[6]王銀河，等.基于自適應模糊邏輯系統的一類混沌系統同步控制[J].控制與決策，2013（9）.

[7]劉超，王俊年，唐婷婷.Chen混沌系統的滑模同步控制方法[J].計算機工程，2011（22）.

[8]Alasty A, Salarieh H. Nonlinear feedback control of chaotic pendulum in presence of saturation effect[J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2007. 292-304.

[9]Qi D, Liu M, Qiu M, Zhang S. Exponential H(infinity) synchronization of general discrete-time chaotic neural networks with or without time delays[J]. IEEE Trans on Neural Networks, 2010. 1358-1365.

[10]張付臣，楊洪亮.線性反饋控制在保密通信中的應用[J].計算機工程，2011（14）.

[11]李國華.基于混沌導頻信號同步控制的混沌保密通信[J].計算機應用研究，2011（1）.

[12]Chen B, Liu X P, Tong S C. Adaptive fuzzy approach to control unified chaotic systems[J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2007. 1180-1187.

[13]Slotine J E. Applied Nonlinear Control[M]. Englewood Cliffs, America New Jersey: Prentice Hall, 1991.

（責任編輯：于開紅）

Synchronization Control and Simulation for a Type of Chaotic System Based on LMI Technique

GAO Zilin XIONG Jiang LUO Weimin YAN Pei
(School of Computer Science and Engineering, Chongqing Three Gorges University, Wanzhou Chongqing 404100)

For a type of chaotic system, synchronous controller is designed based on linear matrix inequality (LMI), and can make each state of chaotic systems to reach synchronization status quickly. With this method, only matrix K needs to be solved, so computation amount is very small, and can meet the requirements of real-time property in industry, and has some feasibility and validity.

chaotic systems; synchronous controller; LMI

G812.78

A

1009-8135（2015）03-0053-03

收·稿日期：2015-03-02

高子林（1986-），男，重慶萬州人，助教，碩士，主要研究領域為復雜系統控制．熊 江（1969-），男，重慶萬州人，教授，碩士研究生導師，主要研究領域為信息安全．羅衛敏（1977-），男，重慶萬州人，高級實驗師，碩士，主要研究領域為網絡與信息安全．鄢 沛（1976-），男，四川營山人，高級實驗師，碩士，主要研究領域為網絡設計．

重慶市教委科學技術研究項目（KJ131108）；重慶三峽學院科學研究項目資助（14QN30）階段性成果