概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析中易混淆問(wèn)題探析

呂福起

摘 要：在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的學(xué)習(xí)中，有一些知識(shí)點(diǎn)在以往的學(xué)習(xí)中接觸過(guò)，但往往有所區(qū)別，本文結(jié)合該課程特點(diǎn)，對(duì)課程中易混淆的這些知識(shí)點(diǎn)做了統(tǒng)計(jì)，并結(jié)合教學(xué)實(shí)例對(duì)相關(guān)問(wèn)題做了探析。首先，文章對(duì)課程的重要性和復(fù)雜性做了分析，然后，統(tǒng)計(jì)了在該課程中容易混淆的知識(shí)點(diǎn)，最后，結(jié)合教學(xué)中的事件的和與集合中的并的不同以及求分布函數(shù)中換元前后的區(qū)別兩個(gè)實(shí)例，對(duì)本文中提到的問(wèn)題加以探析，以希在今后教學(xué)中能對(duì)容易出現(xiàn)混淆的地方有所把握，更好的適應(yīng)課堂教學(xué)，讓學(xué)生能夠加深對(duì)知識(shí)理解的深度，為后繼課程的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：概率 隨機(jī)試驗(yàn) 分布函數(shù)

中圖分類號(hào)：O21：G64 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2015）05（a）-0214-02

該課題研究者從事大學(xué)數(shù)學(xué)課程教育多年，從實(shí)踐教學(xué)經(jīng)驗(yàn)中得出《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》這門課程有一些重要知識(shí)點(diǎn)很容易和以往學(xué)習(xí)過(guò)的相關(guān)知識(shí)發(fā)生混淆。在近幾年的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)這些容易混淆的知識(shí)點(diǎn)往往弄不清楚，從而很難學(xué)好該課程。針對(duì)這些問(wèn)題，該文對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)作了統(tǒng)計(jì)，并結(jié)合教學(xué)實(shí)例對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)加以辨析。根據(jù)這些實(shí)例方法指導(dǎo)教學(xué)，這樣在教學(xué)中能夠?qū)@些知識(shí)點(diǎn)的傳授做到重點(diǎn)突出，講解透徹，讓學(xué)生理解問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，從而把知識(shí)弄懂記牢，為后續(xù)相關(guān)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。對(duì)這些容易混淆的問(wèn)題，已有作者也做了相關(guān)統(tǒng)計(jì)分析[1]，并給出了很好的實(shí)例，問(wèn)題論述清晰，但該文看問(wèn)題的角度和實(shí)例不同，希望能夠和各位專業(yè)人士探討，共同做好該課程的教學(xué)工作。

1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程特點(diǎn)

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》這門課程是大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課中難度比較大的課程，比較抽象且枯燥缺乏趣味性[2]，主要學(xué)習(xí)的是隨機(jī)問(wèn)題，很難定量計(jì)算，計(jì)算結(jié)果很多問(wèn)題難以實(shí)際檢驗(yàn)。學(xué)習(xí)課程對(duì)學(xué)生的要求比較高，至少要學(xué)習(xí)完《微積分》課程才可以。學(xué)習(xí)該課程能夠很好地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和抽象思維能力，而且這門課程是學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)課程的基礎(chǔ)，是非常重要的一門課程[3]。由于這門課程的抽象性和復(fù)雜性和以往學(xué)習(xí)過(guò)課程相似的地方，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)這門課程中容易出現(xiàn)混淆，對(duì)學(xué)習(xí)知識(shí)掌握不夠清晰，容易在學(xué)習(xí)中出現(xiàn)問(wèn)題。

2 學(xué)生學(xué)習(xí)中容易出現(xiàn)混淆的地方

高中階段學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)集合的概念，在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》中與事件的和運(yùn)算容易混淆。兩者有相通的地方，但也有區(qū)別，比如集合中的“”，在該課程中體現(xiàn)為事件的和，用“”或“”來(lái)表示，很多同學(xué)把事件的和當(dāng)作加法來(lái)做，結(jié)果出現(xiàn)問(wèn)題。

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》中的頻率與概率的概念，互不相容事件與相互獨(dú)立事件，條件概率與無(wú)條件概率，多個(gè)事件兩兩獨(dú)立性與相互獨(dú)立，多維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布積分限的確定，分為換元前和換元后的不同之處等問(wèn)題都是在課程學(xué)習(xí)中容易混淆的地方。對(duì)以上問(wèn)題，學(xué)習(xí)中應(yīng)特別注意辨析，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)理解的準(zhǔn)確性和完善性，提高學(xué)習(xí)效果和職業(yè)能力[4]。

3 混淆解決實(shí)例

實(shí)例1 設(shè)為某隨機(jī)試驗(yàn)中的三個(gè)事件，則事件“至少有兩個(gè)發(fā)生”如何表示？

“至少發(fā)生兩個(gè)”可以分解為“恰有兩個(gè)發(fā)生”和“三個(gè)都發(fā)生”兩種情形之和：，利用分配律也可以表示為：。

很多同學(xué)無(wú)法利用事件的分配律把化簡(jiǎn)成

，其主要原因就是把式子中的“”真的看成相加了，而其實(shí)質(zhì)上是“”，就是把“”和“”混淆了。其推導(dǎo)過(guò)程：

實(shí)例2 設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立， ，在上服從均勻分布，試求的概率密度。

例題由條件知，

利用分布函數(shù)法：（如圖1）

令，則和的取值范圍為：，因此

這里由于積分變量為和，積分上下限均與和無(wú)關(guān)，因此上述換元后的積分變成一個(gè)矩形區(qū)域的積分，所以交換積分順序：

因?yàn)榕c相互獨(dú)立，所以，

由變上限積分求導(dǎo)方法得：

或根據(jù)獨(dú)立性和卷積公式[5]得：

該題有學(xué)生采用分布函數(shù)法不會(huì)做，或者基本會(huì)做，但是由于對(duì)定積分換元法的不熟悉，換元后交換積分順序不懂，結(jié)果做不下去。這些都是學(xué)生在學(xué)習(xí)中應(yīng)特別需要主要的地方。

4 結(jié)語(yǔ)

該文根據(jù)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》這門課程的特點(diǎn)分析了課程中易混淆的地方，并結(jié)合例題探析這些容易混淆的地方該如何學(xué)習(xí)。在教學(xué)中，教師要盡力去對(duì)容易出現(xiàn)混淆的地方多舉例說(shuō)明，培養(yǎng)學(xué)生的課程學(xué)習(xí)興趣和對(duì)易混淆問(wèn)題的辨析能力，以利于學(xué)生后繼課程的學(xué)習(xí)。

參考文獻(xiàn)

[1] 蔡鳴晶.巧選例題辨析概率統(tǒng)計(jì)中幾個(gè)容易混淆的概念[J].職業(yè)教育研究，2012（7）：95-96.

[2] 徐相建.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)研究[J].高師理科學(xué)刊，2015（1）：58-64.

[3] 李雙.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教材與實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012（5）：84-87.

[4] 李志軍.以職業(yè)素養(yǎng)訓(xùn)練為中心的概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)改革[J].教育與職業(yè)，2013（17）：140-141.

[5] 袁德美，安軍，陶寶.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) [M].高等教育出版社，2011，6（1）：88-91.