不等式高考試題分析與教學策略分析

☉江蘇省啟東市匯龍中學 張健

不等式高考試題分析與教學策略分析

☉江蘇省啟東市匯龍中學 張健

高中數學由眾多內容組成，其中不等式是高中數學的重要組成部分.學生對不等式的學習從初中就開始了，掌握了不等式的基本性質和解法，為學生在高中進一步學習不等式知識打下了基礎.此外，現實生活中蘊含著豐富的不等式知識，隨處可見不等式在生活中的應用.如今，不等式在數學高考中更是占據了重要的位置，同時與函數、方程、三角等高中數學知識聯系緊密.分析研究不等式高考試題，不僅能把握不等式高考的新動向，提高學生的做題效率，提高學生的考試成績，同時也培養了學生分析問題的能力、解決問題的能力、空間想象能力，以及嚴謹的數學素養和數學思維能力.

一、不等式在高中數學中的重要位置

不等式是高中數學基礎理論知識的重要組成部分，是聯系現實、刻畫現實不等式關系的重要工具和重要數學模型，也是研究數量關系的必備知識，在高考數學中有著舉足輕重的位置.高中數學不等式內容與高中數學函數、方程、三角等內容有著密切的關系.如在函數中，對數的真數大于0、分數的分母不為0等都離不開不等式，此外，如函數的最值、函數的定義域、函數的單調性、數列的前n項的最值，空間線面距離、面面距離、夾角范圍等，也都需要用不等式來進行描述和表示.可以說，不等式是高中數學集合、數列、函數、方程、立體幾何內容的重要交匯點，在高中數學其他內容知識中有著廣泛的應用.不等式的求解會運用到分類討論、數形結合、轉化、函數與方程思想，對培訓高中生的數學思想和嚴謹的數學素養起到重要作用，更是培養高中生發散思維的關鍵.

例如在蘇教版高中數學教學中，平面區域與二元一次不等式的教學能夠讓學生直觀感性地明白不等式的幾何意義和深刻理解不等式的性質，以及培養學生數形結合的思想.又如通過線性規劃的教學能夠培養學生的觀察能力、分析能力、歸納總結能力和抽象思維能力.

二、不等式高考試題分析

不等式是解決數學問題的重要工具，是歷年高考的熱點.而每一年高考中不等式的考查點都是以函數和實際問題為背景，要求學生除了掌握高中數學基礎知識和技能外，還需要掌握正確的數學方法和科學的數學思想，還要有清晰、嚴謹的邏輯推理能力和測試運算能力，對問題進行分析和研究，并最終解決問題.如今，高考一般不會單獨對不等式進行命題，而是將其融合到其他題型中去，與其他數學知識緊密結合在一起，一般在數學高考中占據10分左右的分值.傳統的不等式高考側重對不等式的性質、推導以及證明進行考查，而如今側重點放在學生對不等式的感受上和進行運算和處理上.現在的不等式高考試題中更多的是一些綜合性試題，在填空題和選擇題中主要是求最值，在解答題當中主要考查不等式與函數或數列的綜合題型.

1.不等式的性質及其解法

解不等式是一個重要的運算解題能力，在高考試題中較為常見.

例1（2010年高考全國卷理科）設偶函數f（x）=x3-8（x≥0），則｛x|f（x-2）＞0｝=（）.

A.｛x|x＜-2或x＞4｝B.｛x|x＜0或x＞4｝

C.｛x|x＜0或x＞6｝D.｛x|x＜-2或x＞2｝

解法1：由f（x）是偶函數，得f（x-2）＞0?|x-2|3-8＞0，則|x-2|＞2，所以x＜0或x＞4，答案為B.

也可以利用分類討論求解，解答過程如下所示.

解法2：（1）當x≥0時，f（x-2）=（x-2）3-8＞0，即x3-6x2+ 12x-16＞0，即（x-4）（x2-2x+4）＞0.

由于x2-2x+4=（x-1）2+3＞0，所以x＞4.

（2）當x＜0時，-x＞0，則f（x）=f（-x）=-x3-8，則f（x-2）= -（x-2）3-8＞0，即x（x2-6x+12）＜0，故x＜0.

所以｛x|f（x-2）＞0｝=｛x|x＜0或x＞4｝，答案為B.

點評：本題主要通過不等式與偶函數的結合來考查，把握住不等式與偶函數的關系就可以解決好這類型的題目.實際上，因為f（x）是偶函數，只要把解析式表示為f（x）=|x|3-8就可以了，而且這樣更加簡潔.此外，運用分類討論思想，可以拓展學生的思路，培養學生的發散思維.

2.二元一次不等式組與線性規劃

解：題中不等式組表示的區域如圖1所示.

當目標函數z=abx+y運動到A（1，4）時，目標函數z取得最大值，即8=ab+4，所以ab=4，所以a+b≥2=4.

圖1

點評：本題型主要考查線性規劃知識及基本不等式知識，體現了知識的聯系.

三、高中數學不等式教學策略

隨著新課改的不斷推進，高中數學教學中更加注重學生對數學問題的分析能力和解決能力的培養，其中不等式內容的教學更加注重培養學生的空間想象能力、數學運算能力以及數學思維能力.

1.與初中不等式知識相銜接

數學是一門系統的學科，學生對不等式的學習是從初中就開始的.通過初中不等式的學習，高中生掌握了不等式的基礎知識和簡單實用的解法.在高中數學不等式教學中，教師適當地引導學生回顧初中不等式知識，加強高中不等式教學與初中不等式內容的銜接，有助于增加學生對高中不等式學習的親切感，提高學生學習不等式的興趣，同時也讓學生體會到溫故知新的學習樂趣.此外，教師在高中數學不等式的教學中，除了要加強與初中不等式內容的銜接，還要講解清楚不等式的概念，并指導學生合理利用不等式的性質去求解不等式問題.

2.結合實際問題，提升學生解題的積極性

不等式也是刻畫現實生活的重要數學模型和解決實際問題的有用工具.從實際問題出發，讓學生的思維從緊張的解題氣氛中回到熟悉的生活場景中，不僅能提升學生求解不等式的積極性，提高學生學習不等式知識的興趣，也能讓學生了解到不等式這個數學工具的實際功效.

3.注重不等式多種解法的探索，提升學生的數學思維能力

高中不等式的求解方式已告別了初中的單一簡單的求解方式，而是可以借助其他高中數學內容的運用，使得不等式的求解更加方便和易于理解.此外，在高中數學不等式問題一般也會存在多種解法.所以在高中數學不等式教學中，數學教師應該注重學生對不等式的多種解法的探索，正確引導學生探索各種實用的解法，提升學生的數學思維能力，培養學生的發散思維.不等式的求解能力是一種綜合性能力，教師在高中數學不等式教學中應該將不等式放置在大環境中，常與函數、方程等其他數學內容相結合，讓學生明白它們之間的關系.

4.注重推理論證過程的傳授，培養學生的思維能力

在高中數學不等式的教學中，教師還應該注重不等式推理論證過程的傳授，讓學生掌握不等式知識的論證推導過程，加深學生對不等式的理解，讓學生從感性學習不等式轉化為理性學習不等式.在不等式教學中，教師更應該注重科學的教學方式，讓蘊含在不等式中的數形結合思想被學生完全吸收，提升學生的抽象思維能力和創新思維能力.

在高中數學教學中，教師應該尊重學生的主體地位，發揮好教師的引導、輔助作用，讓學生學會在數學的汪洋大海中自如遨游.不等式是高中數學的重要組成部分，高中數學教師應該適當地結合實際問題，激發學生學習不等式的興趣，還應該正確引導學生掌握科學的不等式解題方法，讓學生運用已掌握的不等式知識和科學的解題方法求解各種高中不等式問題，提高學生的解題能力，為學生在高考的成功打下基礎.此外，在高中數學不等式的教學中，教師也應該不斷開拓學生的空間想象能力，培養學生的發散思維能力，以及抽象的邏輯思維能力，讓學生在求解不等式問題時創出創新型解法.

1.趙莉.高中數學不等式高考試題分析與教學策略研究［J］.語數外學習（數學教育），2013（1）.

2.張惠淑.高中數學不等式高考試題分析與教學策略研究［D］.天津：天津師范大學，2012.