基于切比雪夫最佳逼近意義下的CPI指數變化通道的原理與方法＊

顧樂民

（同濟大學 材料科學與工程學院，上海 200092）

1 引 言

居民消費價格指數（Consumer Price Index，簡稱CPI指數），是普通消費者所購買的物品與勞務的總費用的衡量標準，反映了一定時期內價格變動程度和趨勢的相對數．CPI指數不僅受商品價格的影響，比如糧價［1］、房價［2］等，也有對其權重經常進行調整的一個動態過程，這使得CPI指數變化具有隨機性大、難以找到一般變化規律、難以進行預測等特征．對CPI預測理論及方法成為許多學者關注的問題，目前主要有，基于小波分解自回歸模型分析法［3］、VAR 模型法［4］、ARIMA 模型法［5］、神經網絡法［6］、灰色 GM（1，1）模型法［7］等．

2000年以來的CPI指數積累了186組數據，數據是離散的，孤立的，數據之間的關系是不明確的，數據的來源是有一定統計誤差的．這些看似雜亂無章的數據背后，仿佛總有一只無形的手在操縱著CPI數據的變化，稱這只無形的手為“隱函數”．或許這只無形的手根本就不存在，因為CPI指數的波動含有大量的“人類因素”，或許存在但目前難以找到，但這不影響探討的本質．任何一個運動、變化、發展的事物，都存在其本質的內在規律，都是可以從變化的過程中找到．

構建隱函數的目的，是要用數學的方法來探索CPI變化的某些規律．CPI指數屬于一種“近程有序，遠程無序”的數據變化形式，在較短的局部范圍內，其變化具有一定的規律可循．從長期全局范圍看，其變化呈大波動狀失去規律．這也就是說，用具有軌跡特征的曲線是難以描述這種變化的，必須用其它的方法，一種既包含著曲線又不局限于曲線的方法去描述．

切比雪夫（P．L．Chebyshev，1821～1894）創立的最佳一致逼近原理，最早源于19世紀對機器的機械運動按理想設計運動的研究．將該原理運用于CPI指數變化，可以構建一條切比雪夫最佳逼近意義下的CPI指數變化通道．CPI指數變化是有限的變化，可以用2條曲線，1條稱為上界限，另1條稱為下界限，將所有的數據都囊括其中，并形成一條延伸的通道．通道將雜亂無章的數據加以規范和約束，而隱函數必定在通道之內，通過數學的方法可以找到最佳逼近意義下的隱函數，使CPI的變化成為可知與可控．由于通道具有連續性，變化具有慣性，所以通道的外延具有一定的預測效應，可以推斷出未來可能的變化趨勢，為決策提供有價值的參考．

切比雪夫最佳逼近意義下的數據通道的建立與應用，文獻［8］有較為詳細的描述．由于CPI指數具有變化莫測的特殊性，從最簡單的“直線通道”入手，通過建立通道而闡述其基本的原理與方法，并用186組數據按序做30個數據處理的實例，以檢驗預測的效果．

2 原理與方法

切比雪夫最佳逼近的核心是最大絕對值誤差極小化，由此構成了極小極大曲線擬合法，適用于一個封閉系統內的描述，具有廣泛的應用［9］．由于最大誤差一般都是在端點處出現，在定義區間外是發散的，這從切比雪夫多項式的所有圖形中可以看出，所以不適合用于預測．對預測而言，預測的誤差越小越好，而不是最大甚至發散．零誤差型極小極大逼近是切比雪夫最佳逼近原理的一個推廣，是通過若干零誤差點限制端點誤差為最大，達到端點外誤差不發散的目的，其理論基礎是零誤差型切比雪夫多項式［10］，以及相應的預測理論［11］．對于 CPI指數的預測，只需提供1個零誤差點，在坐標系上是指最右端（簡稱端點，下同）的數據點，這使復雜的問題可以簡化敘述．

2．1 零誤差型極小極大法（Z－Minimax method）

數據 （xi，yi）i＝1，2，…，m是隱函數y（x）在有定義的區間內給出的m個離散點組，為找到隱函數y（x），設擬合函數f（x）＝f（x，a），其中參數a＝（a1，a2，…，an），n≤m，而a1，a2，…，an為n個不全為零的實數．為使f（x）盡可能接近y（x），設誤差函數r（x）＝y（x）－f（x），而誤差值ri是誤差函數r（x）上的具體數值：

零誤差型極小極大法，是將端點數據誤差設定為零誤差rm＝0條件下，依據最大絕對值誤差極小化的準則來選擇參數a，即依據而構成的一種方法，是切比雪夫最大絕對值誤差極小化基本準則的一個推廣．

2．2 解的實現

如果零誤差型極小極大解存在，即存在a＝a＊使

則至少存在1個零誤差點和n個切比雪夫交錯點x1，x2，…，xn使

稱參數a＊為極小極大最佳擬合參數，稱f（xj，a＊）為極小極大最佳擬合方程，稱E＊為最佳逼近值，它們構成了零誤差型極小極大逼近的一般解．

2．3 零誤差

所謂零誤差就是沒有誤差或誤差為零．當將端點數據的誤差設定為零時，可使短期的預測得到保證．從曲線變化的一般規律來看，零誤差的兩端是以“－，0，＋”或“＋，0，－”形式出現，越接近零點，誤差絕對值就越小．這就給出一個提示，將端點誤差設定為零誤差即ym－f（xm）＝0，則對于端點外臨近的數據，其預測誤差rm＋1＝ym＋1－f（xm＋1）的絕對值也必定不會大，這為預測的準確性提供了理論依據，僅在出現大隨機誤差的特例下才會無法成立［11］．

2．4 CPI通道

某個變化的過程和狀態可用“通道”來描述，例如，處于下降（或上升）的通道之中等．通道，來往暢通的道路，與交通圖中的道路相似，是擬人化的表達．零誤差型極小極大逼近意義下的CPI指數變化通道，簡稱CPI通道（下同）有以下幾個特征：

1）通道的構成．通道由1條中心線，2條邊界線共同構建；中心線是CPI函數轉化的曲線，也稱為路線是前行的指導線；邊界線是距中心線兩旁±E的曲線．通道用Channel（x）表示：

2）通道的作用．通道將離散的、有隨機誤差的數據加以分類和規范，它依據最佳逼近值±E將全部的數據規范在通道內，指出了位于邊界線上的數據，由于偏離中心線最遠，屬于波動最大的大誤差數據；通道將端點數據的誤差設定為零誤差，廢除了所有數據是權重相等的慣例，使權重往端點數據傾斜，并使對未來的預測建立在零誤差的基礎上；通道包含了所有的數據，所以隱函數必定在通道內，通過數學方法可以找到最佳逼近意義下的隱函數，或近似隱函數．

3）通道的意義．將理論的指導路線與實際行走的軌跡聯系在一起，數據沿著中心線前行，但實際是在偏離和糾正偏離中前行的；通道指出了數據變化的最大范圍，限定了安全的最大界線；在最大安全范圍內去探尋隱函數，從而找到CPI變化的某些規律，用于解釋過于、指導現在、預測未來．

3 具體算法

由于CPI數據的隨機性，波動性，難預測性，用通道的原理和方法尋找數據之間的關系有較好的效果．下面用圖示法加以介紹，用的是直線型通道．圖1橫坐標x是月，縱坐標y是CPI指數值（無量綱）．圖中參與計算的CPI數據yi是12個，均在虛線之內，虛線外的數據有1個，不參與計算．

3．1 通道的構成

通道的中心線是擬合函數描述f（x）＝f（x，a），與2條邊界線共同構建成通道f（x）±E．通道內包含了12個數據．由式（4）產生的最大正負誤差點位于邊界線上，如圖1中的點A和點B．通道內有1個零誤差點，位于數據的端點，如圖1中的點C．

3．2 零誤差點

零誤差點是人為設置的點，目的有3個：首先是將相等權重的數據變為不等權重，一般而言，距離現在最近的數據應該有較大的權重，而較遠的權重可以較小，這對于預測而言是合理的，所以端點數據是權重最大的數據．其次是使未來的預測建立在誤差為零的基礎上，這對于未來的預測誤差，難以判斷是正還是負而言，是合理的．再次是一般在零點附近的數據其誤差絕對值一般都是較小的，這使短期預測準確性有了理論上的依據．

3．3 邊界線

大誤差數據的出現，會使邊界線外移，使通道變寬．為使通道收窄，必須將最大（正負）誤差極小化．圖中由點A和點B的這2個最大誤差又都是極小化的，所以邊界線也是極小化的，使通道收窄．從安全意義上說，切比雪夫最佳逼近意義下的通道，是最窄的通道，也是數據變化的最大安全范圍，超出這個范圍就有可能是不安全或欠安全的．

3．4 預測假設條件

若未來短期CPI指數的變化不存在突變，或存在突變但其最大絕對誤差不大于通道內的最大絕對值誤差，則通道的外推延伸能較好的給出未來CPI指數變化的趨勢．預測是建立在預測值f（xm＋1）與最大正負誤差±E基礎上的，描述了CPI指數未來可能的數值與最大的波動范圍：f（xm＋1）±E．從統計概率角度出發，大部分變化不會超出f（xm＋1）±E，這樣就使得CPI指數未來的變化成為可知與可控．

圖1 CPI指數變化通道示意圖

3．5 判斷法則與具體算法

判斷法則主要是判斷異常解是否存在，以及如何處理的問題．

最大絕對值誤差與最小絕對值誤差（即零誤差）之間在本質上是不相容的，強制將原本是最大誤差的端點改為零誤差點，會導致方程結構大的改變，甚至會使方程出現一種病態狀，結果是預測準確性變差．異常解出現的原因一般在于數據的隨機性偏大，數學模型選擇的不當所致．具體算法包含判斷法則，主要步驟如下．

1）判斷：先用最小二乘法對數據進行預處理，進行判斷．若用最小二乘法的數據處理，其最大絕對值誤差出現在端點，且該誤差值較其他誤差值明顯放大，則該點就是異常數據點，其解將可能會出現異常．最小二乘法是個簡單方便的數據處理法，它所獲得的最大絕對值誤差一般也是極小極大法的最大絕對值誤差，所以用最小二乘法進行預處理，用的是其方便與有效．

2）處理：對于異常數據，可以通過增加或減少數據數目，或轉移零誤差點，或改變數學模型等方式進行處理；若異常數據雖然存在，但誤差在允許的范圍內，可不作處理．

3）求解：取直線方程為f（xi）＝a＋bxi，對于式（4）設1≤j，k≤m－1，j≠k，可以通過

獲得參數a，b及逼近值E．取不同的j，k，使最大的E為極小minmaxE＝E＊，從而獲得最佳逼近值E＊，此時獲得的參數即為最佳參數a＊，b＊．

4 數值分析

2000年1月－2015年6月我國CPI指數來自國家統計局，共186個，每年的數據是12個，歸為1組（2015年除外），共有15組數據，先以2003年的數據處理為例．

4．1 實例一

2003年1月到12月的CPI數據有12個，由判斷法則進行預處理，用最小二乘法得到的方程用P2003（xi）表示：P2003（xi）＝99．41＋0．26xi，經判斷，端點i＝12不是最大誤差點，可以運用零誤差型極小極大逼近，得到的方程用f2003（xi）表示，其中xi＝1，2，…，12：

極小化的最大絕對值誤差出現在i＝1，9處，為max｜r｜＝1．05，由此構建的2003年CPI通道為：

Channel2003（x）＝f2003（）x±1．05，其中f2003（）x是f2003（xi）在去掉下標“i”后的函數表達，定義區間為［1，12］．將x13＝13代入，得2004年1月CPI指數預測值及波動值：103．55±1．05．已知2014年1月CPI指數是103．2，在預測的范圍之內．將預測值與實際值進行比較，預測的誤差為0．34%．

文中的圖1就是2003年1月至12月的CPI變化，以及CPI通道，在虛線外的點就是2014年1月的CPI指數，圖中有關說明可參見前文．

4．2 實例二

如法炮制，按序將2000，2001，…，2014年1月至12月的數據處理結果列于表1．

表1 我國2000～2014年，每年1月至12月CPI指數的數據處理及預測

從表1結果看，CPI實際值都落在預測值及波動范圍之內，所以預測的結果是有效的．其中2012年帶＊的數據屬于異常的數據處理，該年11月的CPI指數為102．0，但12月增至104．6，而次年1月又回落到102．0，計算表明12月份的數據屬于異常數據，通過零誤差點遷移，取絕對值誤差最小的點為零誤差點，獲得表中的方程式．

4．3 實例三

表2是按序2000，2001，…，2014年，當年6月至次年5月的12個CPI數據處理以及對次年6月預測情況，共15組．其中帶＊的2013／06－2014／05因出現3個零誤差點，故斜率為0，屬于特殊方程．為了與表1區別，方程用符號g（xi）表示．

表2 我國2000～2014年，當年6月至次年5月CPI指數的數據處理及預測

5 結 論

提供的通道原理與方法，具有簡單易懂、直觀性強、計算方便、適用范圍廣、符合性較好等特點，是曲線擬合的一種推廣，目的是使預測及預測誤差成為可知與可控．由于直線通道是一個簡單的通道，在進一步的探討中還需要逐步加以完善．

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