基于Mumford-Shah模型的圖像處理

李浩，畢翔，豆澤陽

(中國傳媒大學 理學院，北京 100024)

基于Mumford-Shah模型的圖像處理

李浩，畢翔，豆澤陽

(中國傳媒大學 理學院，北京 100024)

講述了偏微分方程的基礎數學理論，諸如：梯度、散度、變分定理、歐拉-拉格朗日方程等知識；然后重點介紹了Mumford-Shah模型及Ambrosio-Tortorelli的近似求解，最后進行了數值試驗并展開分析。

數字圖像；偏微分方程方法；變分定理；Mumford-Shah模型

1 數字圖像

我們處在圖像的世界里，圖像是客觀事物在人眼中的表現，可以幫助人們理解外部事物的變化。由于圖像的重要性日益凸顯，數字圖像處理應運而生。數字圖像處理是指通過計算機對圖像的處理和加工，使人們得到重要的信息。在最初，圖像處理主要在天文、軍事、醫學等實際方面應用，這也是數字圖像處理發展的源頭。隨著社會的發展，尤其是人們邁入了信息社會，圖像的產生來源成爆炸式增長，數字圖像處理更得到了飛速的發展。隨處可見的智能手機、平板電腦、數碼相機等設備都應用了數字圖像處理技術。隨著圖像處理和其他科學研究的不斷發展并由此產生出更加吸引人的領域，如人工智能、機器視覺、機器學習等。

數字圖像處理主要包括圖像去噪、圖像增強、圖像壓縮、圖像恢復、圖像分割等，這些圖像處理技術又稱為低層的圖像處理技術。但正是這些低層的處理技術制約著計算機視覺等領域的發展，所以對于低層處理技術的研究得到國際上的廣泛關注。圖像處理發展至今已經產生了很多的分支，主要為三種：隨機過程建模、小波理論、偏微分方程方法(簡稱PDE方法)[1]。近年來，PDE方法處理圖像問題得到了飛速的發展，諸如熟知的P-M模型、ROF模型、C-V模型以及本文討論的Mumford-Shah模型等。PDE作為一門基礎的數學學科，理論較為復雜，對于非數學背景的研究人員來說理解較為困難。但不可否認的是，PDE處理圖像問題的一個優勢在于：有嚴謹的數學理論做基礎。我們可以把具體的圖像處理問題抽象為數學模型，用穩定的、成熟的數值計算方法求解。在講述模型之前，先了解一些PDE處理圖像問題的數學理論基礎。

2 數學理論基礎

PDE圖像處理涉及到的知識有平面微分幾何、變分學、數學物理方程、計算方法等，由于變分學、偏微分方程數值解等知識都可以分別的當做獨立的數學知識，所以在這里都不會進行詳盡的討論，重點放在了之后的圖像處理模型上面，這里只是簡要闡述這些知識。

2.1 梯度與散度

原圖像F 梯度分量Fx 梯度分量Fy 梯度模|▽F|圖1 原圖像及其梯度分量和梯度模圖像

2.2 變分問題

對泛函求極值的問題稱為變分問題，得到的解即為變分問題的解，也稱為極值點，這里就與一般空間上的函數求極值問題所對應上了，所不同的就是求解方法問題，這也是變分學所研究的內容，下面引入變分定理。

定理1變分定理

有泛函：

F(u)=∫Cφ(x，y，u(x，y)，ux(x，y)，uy(x，y))dC

(1)

它的極值必滿足以下的方程：

(2)

稱為泛函F(u)的歐拉-拉格朗日方程。

2.3 梯度下降法求解變分問題

直接求解歐拉-拉格朗日方程十分困難，我們求得的解很多時候也不是解析解，最常用的方法就是梯度下降迭代法。梯度下降法的基本原則簡要說是：某函數從初始位置u0出發，沿著其負梯度方向進行搜索，最終達到函數的局部極小值點。上述變分定理中，(2)式可以看做是(1)式的求梯度，故由梯度下降法，求解歐拉-拉格朗日方程極值點的方法可以寫為：

(3)

3 Mumford-Shah模型及其求解

3.1Mumford-Shah模型

在圖像分割的任務中，我們要求分割出圖像中的同性質的區域，劃分出圖像的組成部分，提取信息。而圖像恢復中，我們要求得光滑圖像，更好的復原圖像的原本面貌。在1985，Mumford-Shah提出了以他們名字命名的模型Mumford-Shah模型[3]，即M-S模型，此模型能同時完成圖像分割和圖像恢復的任務。

M-S模型是一種能量極小化泛函，函數u：→R，是有界開區域，不連續邊界集K?。

minF(u，K)=∫(u-g)2dx+p∫|▽u|2dx+τ∮Kds

(4)

F(u，K)中u表示要求得的圖像，K表示求得的邊界集，g是初始的圖像，一般為帶噪聲的圖像，p與τ為正整數參數。在M-S極小化泛函中，第一積分項為保真項，這使得求得的新圖像與初始圖像最接近；第二積分項使得解到的新圖像在不連續的集合外盡可能的光滑；第三積分項使得不連續的邊界集合的長度最小。在這三個積分項的約束下，就可以得到原圖像的光滑圖像和分割圖像。

3.2 Ambrosio-Tortorelli近似模型

在(4)式中的第三積分項是不連續的點集K的Hausdroff測度的幾何項，而K的離散化非常復雜，由于該項的存在，使得M-S模型求解非常麻煩[1]。一般的求解方法是在sobloev空間尋找正則泛函序列Fδ來逼近F(u，K)，這里討論的就是Ambrosio-Tortorelli提出的橢圓逼近方法。所謂的橢圓逼近方法就是不去直接離散化M-S模型，而是通過求取它的橢圓逼近來近似求解M-S模型的解。Ambrosio-Tortorelli提出的方法為[4]：

minF(u，v)=∫(u-g)2dx+p∫|▽u|2dx+τ∫(ε|▽

(5)

下面開始對(5)式進行求解，我們需要用到歐拉-拉格朗日方程式(2)，得：

即：

(8)

在上式中，為了使梯度下降格式更加穩定我們分別加入了系數θu、θv。現在需要用有限差分方法來離散求解(8)式，并應用的是高斯-賽德爾迭代[5]。我們規定區域是一個(0，m)×(0，n)的矩形區域，讓xi=ih，yj=jh是區域里步長為h的離散格式。

規定：

ui，j→u(xi，yj)，vi，j→v(xi，yj)，gi，j→g(xi，yj)

△u→(ui+1，j+ui-1，j+ui，j+1+ui，j-1)/(h2)；

對于vi，j也是同樣的離散方法。

(8)式可變為：

在開始迭代之前，ui，j是給定的初始圖像gi，j，vi，j中的值全部為1。

3.3 數值試驗

通過調節ρ，τ，ε這些系數，可以達到對大多數圖像的分割和去噪，SNR曲線和分割效果如下所示，SNR曲線中第一步是初始圖像的信噪比，第二步是第一次迭代的信噪比，如此類推。

下面令ρ=0.008，τ=1，ε=0.015，分別對lena圖像和man圖像處理。

初始圖像 去噪圖像 嗓聲圖像 分割圖像圖2 lena圖像處理結果

圖3 去噪的lena圖像snr曲線

初始圖像 去噪圖像 嗓聲圖像 分割圖像圖4 man圖像處理結果

圖5 去噪的man圖像snr曲線

圖2和圖4表明：對不同的圖像進行試驗得到的結果，匯總了分割效果圖和去噪效果圖，圖3和圖4是關于這兩幅圖像的去噪的SNR曲線示意圖，橫軸表示了迭代次數，縱軸表示了SNR大小。由以上4幅圖像可以看出，在上述的系數確定的情況下，迭代次數在6次之后，圖像的結構趨于平穩，得到了這兩個解：分割圖像和去噪圖像。同樣也試了一些其他的灰度圖像，如：pepper圖像和grid圖像，圖6、圖7為實驗結果。

初始圖像 去噪圖像 嗓聲圖像 分割圖像圖6 pepper圖像處理結果

初始圖像 去噪圖像 嗓聲圖像 分割圖像圖7 grid圖像處理結果

4 總結

本文在對數學基礎理論討論的基礎上，對PDE圖像處理的模型Mumford-Shah泛函進行闡述，讓讀者有了大致的了解，并知道了在M-S模型中不連續邊界點集在離散化方面十分困難，所以接著討論了Ambrosio-Tortorelli提出用橢圓型方程近似代替M-S模型的方法，利用歐拉-朗格朗日方程和梯度下降流來實現方程的求解，并用有限差分法來離散，最后用Matlab進行了數值實驗。由以上實驗可見，本文討論的方法可以說是雙變量系統，在變分引理的條件下進行求解，得到了兩個“最優解”，即：去噪圖像和分割圖像，在這個情況下，調節各個系數的取值可以得到更優的結果。由此可見，PDE圖像處理的方法是十分清晰的，理論的證明也是十分的嚴謹，在實現上也比較簡單，并且對許多的圖像都有很好的處理效果。

[1]朱才志.基于偏微分方程的數字圖象處理的研究[D].合肥：中國科學技術大學論文集，2007.

[2]Alfonso Vitti.The Mumford-Shah variational model for image segmentation：An overview of the theory，implementation and use[J].Journal of Photogrammetry and Remote Sensing(ISPRS)，2012，69(3)：50-64.

[3]Mumford D，Shah J.Optimal approximation by piecewise smooth functions and associated variational problem[J].Comm Pure Appl Math，1989，42(5)：577-685.

[4]Ambrosio L，Tortorelli V.Approximation of functionals depending on jumps by elliptic functionals via C-convergence[J].Communications on Pure and Applied Mathematics，1990，43 (8)：999-1036.

[5]Antonin Chambollet.Image segmentation by variational methods：mumford and shah functional and the discrete approximations[J].Society for Industrial and Applied Mathematics，1995，55(3)：827-863.

(責任編輯：王謙)

The Image Processing Based on Mumford-Shah Model

LI Hao，BI Xiang，DOU Ze-yang

(School of Science，Communication University of China，Beijing 100024，China)

this paper introduces some mathematic theories，such as gradient，divergence，variational theorem，the Euler-Lagrange equation and so on.Then we discuss the Mumford-Shah model and its approximation，named Ambrosio-Tortorelli model.At last we implement the model and analysis the result.

digital image；partial differential equation；variational theorem；Mumford-Shah model

2015-04-12

李浩(1990-)，男(漢族)，山東濟寧人，中國傳媒大學碩士研究生.E-mail：imagelihao@163.com

O24

A

1673-4793(2015)06-0056-07