對2009年上海高考試卷一道試題的商榷

龔勁濤 馮文林

（1綿陽師范學院物理與電子工程學院，四川 綿陽 621000；2重慶理工大學光電信息學院，重慶 巴南 400054）

恒定功率的啟動方式因其達到最大速度用時短位移小，而被方程式賽車所普遍采用，同時與之相關的習題和試題也廣泛出現在各種輔導材料和考試中，是考核機車啟動類問題的常見形式之一.但這類問題的題設有時卻因出題者的疏忽或想當然，造成與實際的錯位，甚至引發錯誤.首先請看2009年上海高考試卷的一道試題.

例1（2009年上海高考試卷20題）質量為5×103kg的汽車在t＝0時刻的速度v0＝10m／s，隨后以P＝6×104W的額定功率沿平直公路繼續前進，經72s達到最大速度，設汽車受到恒定阻力，其大小為2.5×103N.問（1）汽車的最大速度vm；（2）汽車72s內經過的路程s[1].

解：（1）功率一定，速度增大牽引力減小，汽車作加速度越來越小的變加速運動，當牽引力（F）等于阻力（f）時，速度達到最大值，即：P＝Fv＝fvm，得

該試題的求解過程顯然正確，并沒有不合理之處.但題設“經72s達到最大速度”這一條件卻與實際不符，下面就對此進行討論.首先通過微積分運算推導出運動時間與運動速度之間的關系.

式（1）就是該汽車以額定功率啟動時其時間、速度、阻力和功率之間的定量關系，而當v＝P／f或fv＝P時，t→∞，說明當汽車以額定功率啟動并保持額定功率運行時，在理論上最大速度永遠不可能達到.那么是不是這類問題就應該無解，沒有討論的價值呢？顯然不是，雖然理論上最大速度值不可能達到，但從模型法分析問題的角度我們可認為：在實際速度足夠接近最大速度時可視為達到最大速度，就如在摩擦力足夠小時可以視為光滑面處理一樣是同一個道理.那么如何認定足夠接近最大速度的大小呢？按照處理問題時常采取的標準，取v＝99%vm＝23.76m·s-1，代入式（1）可知所需時間約為112s.而代入t＝72s，利用Excel的單變量解方程功能求解上述方程，得到的速度約為22.1m·s-1，只有最大速度24m·s-1的92.1%，由此可見題設給出的“經72s達到最大速度”顯然與實際還有一定差距，與實際情形不太相符.

接下來我們分析另外一道習題：

例2質量為2×103kg的汽車，發動機的額定功率為60kW.假設汽車在平直公路上從靜止開始以額定功率加速運動，汽車受到的阻力恒定，經過150m后達到最大速度，其大小為30m·s-1.求：

（1）汽車所受阻力的大小；

（2）汽車做加速運動的時間[2-4].

常見解法如下：

解：

（2）根據動能定理：

圖1 速度時間圖

上述解法同樣沒有不當之處，但若利用速度時間（v-t）圖像分析，如圖1所示，經過20s汽車位移顯然應當在：300m＜s＜600m之間，而不可能是題干中給出的150m，現對此進行分析：

將式（2）代入式（1），得

從式（4）看出當汽車以額定功率從靜止開始啟動并在行駛中保持功率不變，在阻力恒定時，汽車運動的時間、速度、位移三者之間的關系唯一確定，不能任意假設.那么題設中 “經過150m后達到最大速度”這一條件是否符合式（3）給出的運動關系？如果不符合，那么汽車經過多少米才能達到最大速度？同理取v＝0.99vm＝29.7m·s-1時，我們近似認為達到最大速度，代入式（2）得相應位移應為2813m；代入（3）式時間t＝108s；若取v＝0.999vm＝29.97m·s-1為最大速度，相應的位移和時間應為4869m和177s.而即使取v＝0.90vm＝27m·s-1，得到的位移和時間也應是898m和42s，由此可見題設中的經過150m達到最大速度的假設是與實際完全不符的錯誤假設.

從以上兩個典型問題的分析不難看出對于機車額定功率啟動問題的設置應符合：運動的時間、速度、位移三者之間的運動關系，不能隨意假設，同時應在設定最大速度時注意與實際盡可能保持一致，希望出題者在涉及此類問題時引起重視.

[1]趙曰峰，趙林明，等.談汽車以額定功率啟動達到最大速度的時間[J].物理教師，2014（4）：58.

[2]蔡志東.功率一定，力和速度成反比的現象能發生嗎[J].物理教學，2008（12）：9-11.

[3]蔡志東.不可能出現“功率一定，力和速度成反比”的現象：由一道經典習題引發的思考[J].物理教師（高中版），2008（12）：30-32.

[4]趙燦冬.對一道汽車加速典型習題的質疑[J].物理教師，2007（2）：29-30；31-32.