有關(guān)電磁波橫向多普勒效應(yīng)的辨析

曹春梅

（華北電力大學(xué)數(shù)理系，河北 保定 071003）

當(dāng)波源和探測(cè)器相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，探測(cè)器探測(cè)到的波頻率與源本身頻率不等的現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng).對(duì)電磁波，多普勒效應(yīng)通常分為縱向多普勒效應(yīng)和橫向多普勒效應(yīng).當(dāng)電磁波源和探測(cè)器沿二者連線方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，探測(cè)器探測(cè)到的源輻射頻率與靜止源的輻射頻率不等的現(xiàn)象稱為縱向多普勒效應(yīng)；當(dāng)電磁波源或探測(cè)器垂直于電磁波矢方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，探測(cè)器探測(cè)到的源輻射頻率與靜止源的輻射頻率不等的現(xiàn)象稱為橫向多普勒效應(yīng)[1].對(duì)電磁波的縱向多普勒效應(yīng)，電動(dòng)力學(xué)教科書中多有討論，易于理解且無爭(zhēng)議，但對(duì)于電磁波的橫向多普勒效應(yīng)，多數(shù)文獻(xiàn)只是泛泛一提，并未針對(duì)具體情況進(jìn)行相應(yīng)的分析和討論，也有文獻(xiàn)雖然進(jìn)行了較具體的討論，但給出橫向多普勒效應(yīng)的頻移既有紅移，又有藍(lán)移的結(jié)論[2，3].本文基于光行差公式，對(duì)電磁波的多普勒效應(yīng)紅移和藍(lán)移進(jìn)行了全面的辨析，并針對(duì)橫向多普勒效應(yīng)的兩種具體情況進(jìn)行了討論，指出電磁波的橫向多普勒效應(yīng)僅有紅移，不應(yīng)存在藍(lán)移，分析了文獻(xiàn)[2]、[3]給出的橫向多普勒效應(yīng)藍(lán)移錯(cuò)誤結(jié)論的原因.

1 電磁波的多普勒效應(yīng)

當(dāng)電磁波源和探測(cè)器都相對(duì)于介質(zhì)系運(yùn)動(dòng)時(shí)，探測(cè)器測(cè)得的波的頻率ωd與波源的頻率ωs之間的關(guān)系稱為普遍的多普勒效應(yīng)公式[2]，如下式所示

式中，us和ud分別為波源和探測(cè)器相對(duì)于介質(zhì)系的運(yùn)動(dòng)速率，θs為在介質(zhì)系中波源速度us與波矢k之間的夾角，θd為在介質(zhì)系中探測(cè)器速度ud與波矢k之間的夾角.

當(dāng)探測(cè)器相對(duì)于介質(zhì)系靜止時(shí)，ud等于零，式（1）的結(jié)果為

與文獻(xiàn)[1]、[4]給出的光波多普勒效應(yīng)數(shù)學(xué)表達(dá)式相同.

2 電磁波的縱向多普勒效應(yīng)

（1）如果波源和探測(cè)器均相對(duì)于介質(zhì)系運(yùn)動(dòng)，且沿二者連線相互接近，則θs＝0，θd＝π，代入式（1）中有

此時(shí)若波源運(yùn)動(dòng)，探測(cè)器靜止，即us≠0，ud＝0，則；若波源靜止，探測(cè)器運(yùn)動(dòng)，即us＝0，ud≠0，則

（2）如果波源和探測(cè)器均相對(duì)于介質(zhì)系運(yùn)動(dòng)，且沿二者連線相互遠(yuǎn)離，則θs＝π，θd＝0，代入式（1）中有

此時(shí)若波源運(yùn)動(dòng)，探測(cè)器靜止，即us≠0，ud＝0，則若波源靜止，探測(cè)器運(yùn)動(dòng)，即us＝0，ud≠0，則

由（3）、（4）兩式可知，當(dāng)源的運(yùn)動(dòng)或探測(cè)器的運(yùn)動(dòng)與波矢方向平行時(shí)，若二者相互接近，探測(cè)器探測(cè)到的頻率大于源的頻率，為多普勒效應(yīng)藍(lán)移[4]；若二者相互遠(yuǎn)離，探測(cè)器探測(cè)到的頻率小于源的頻率為多普勒效應(yīng)紅移[5].此即電磁波的縱向多普勒效應(yīng)，縱向多普勒效應(yīng)既有紅移也有藍(lán)移，且波源的運(yùn)動(dòng)與探測(cè)器的運(yùn)動(dòng)總是等價(jià)的.

3 橫向多普勒效應(yīng)紅移

眾所周知，光的方向就是注視物體時(shí)看到物體的方向，因此橫向多普勒效應(yīng)應(yīng)當(dāng)是從探測(cè)器觀察波矢時(shí)，波源沿與波矢垂直的方向運(yùn)動(dòng)，或探測(cè)器沿與波矢垂直的方向運(yùn)動(dòng)，即以探測(cè)器為參照系時(shí)給出波源速度與波矢之間或探測(cè)器速度與波矢之間夾角的取值總為時(shí)所得出的結(jié)論.據(jù)此進(jìn)行以下兩種情況下的分析：

（1）若探測(cè)器相對(duì)于介質(zhì)系靜止，即探測(cè)器與介質(zhì)系合二為一，則ud＝0，若探測(cè)器觀測(cè)到波源沿與波矢垂直的方向運(yùn)動(dòng)，則代入式（1），從而有

式中，ωd為探測(cè)器探測(cè)的結(jié)果，說明此時(shí)發(fā)生了橫向多普勒效應(yīng)，且探測(cè)到的頻率小于源本身的頻率，即發(fā)生了橫向多普勒效應(yīng)紅移.

（2）若波源相對(duì)于介質(zhì)系靜止，即波源與介質(zhì)系合二為一，則us＝0.若探測(cè)器探測(cè)到其運(yùn)動(dòng)方向與波矢的運(yùn)動(dòng)方向垂直，意味著以探測(cè)器為參考系時(shí)探測(cè)器速度與波矢之間夾角的取值為但這并不代表介質(zhì)系中探測(cè)器運(yùn)動(dòng)方向與波矢方向之間的夾角也為二者之間存在光行差（即運(yùn)動(dòng)中的觀測(cè)者所觀測(cè)到的波源視方向與靜止的觀測(cè)者所觀測(cè)到波源的真方向之差）.根據(jù)光行差公式[6]，兩個(gè)慣性系S和S′對(duì)兩個(gè)方向之間夾角的測(cè)量結(jié)果并不相同，二者之間有如下關(guān)系

式中，θ為S系測(cè)得的兩個(gè)方向之間的夾角，θ′為相對(duì)于S系運(yùn)動(dòng)的S′系測(cè)得的兩個(gè)方向之間的夾角，u為S′系相對(duì)于S系的運(yùn)動(dòng)速度.顯然若探測(cè)器參考系中探測(cè)器速度與波矢之間夾角θ′＝根據(jù)式（6），則介質(zhì)參考系中必有

探測(cè)器相對(duì)于介質(zhì)系的速率為，則代入式（1），有

式中，ωd為探測(cè)器探測(cè)的結(jié)果，說明此時(shí)發(fā)生了橫向多普勒效應(yīng)，且探測(cè)到的頻率小于源本身的頻率，即亦發(fā)生了橫向多普勒效應(yīng)紅移.

由以上分析可知，無論是探測(cè)器相對(duì)于介質(zhì)系靜止、波源相對(duì)于介質(zhì)系運(yùn)動(dòng)，還是波源相對(duì)于介質(zhì)系靜止、探測(cè)器相對(duì)于介質(zhì)系運(yùn)動(dòng)，電磁波的橫向多普勒效應(yīng)總是紅移，由此也說明對(duì)于電磁波的橫向多普勒效應(yīng)，波源的運(yùn)動(dòng)與探測(cè)器的運(yùn)動(dòng)是等價(jià)的.

4 橫向多普勒效應(yīng)藍(lán)移錯(cuò)誤結(jié)論的原因分析

對(duì)橫向多普勒效應(yīng)，文獻(xiàn)[2]中給出了探測(cè)器相對(duì)于介質(zhì)系靜止，波源沿與波矢垂直的方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，探測(cè)器接收到的光波的頻率ωd與光源的頻率ωs之間的關(guān)系為（紅移），而當(dāng)光源相對(duì)于介質(zhì)系靜止，探測(cè)器沿與波矢垂直的方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，探測(cè)器接收到的光波的頻率ωd與光源的頻率ωs之間的關(guān)系為（藍(lán)移）.文獻(xiàn)[3]中給出了接收器靜止，波源作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)接收器上的鐘所測(cè)得的周期與光源上的鐘所測(cè)得的周期之間的關(guān)系為（紅移），而當(dāng)波源靜止，接收器作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)接收器上的鐘所測(cè)得的周期與光源上的鐘所測(cè)得的周期之間的關(guān)系為（藍(lán)移）.由此可見，在文獻(xiàn)[2]、[3]中，接收器靜止、波源運(yùn)動(dòng)和接收器運(yùn)動(dòng)、波源靜止的橫向多普勒效應(yīng)分別出現(xiàn)了紅移、藍(lán)移兩種不同的結(jié)果，顯然與狹義相對(duì)論中波源的運(yùn)動(dòng)與探測(cè)器的運(yùn)動(dòng)等價(jià)相矛盾，其根本原因在于電磁波橫向多普勒效應(yīng)中藍(lán)移的結(jié)論是錯(cuò)誤的.下面以文獻(xiàn)[2]為例分析其橫向多普勒效應(yīng)藍(lán)移錯(cuò)誤結(jié)論的原因.

文獻(xiàn)[2]認(rèn)為當(dāng)光源相對(duì)于介質(zhì)系靜止，即光源與介質(zhì)系合二為一，則us＝0，若觀測(cè)到探測(cè)器沿與波矢垂直的方向運(yùn)動(dòng)，則將其值代入式（1）中，即為文獻(xiàn)[2]給出的結(jié)論，但這一結(jié)論是錯(cuò)誤的，錯(cuò)在沒有分析“探測(cè)器沿與波矢垂直的方向運(yùn)動(dòng)”這句話的物理含義，沒有正確理解式（1）中θd所在參照系，而是將θd簡(jiǎn)單地取為直接代入式（1）中，因而得出了“橫向多普勒效應(yīng)藍(lán)移”的錯(cuò)誤結(jié)論.實(shí)際上無論是“波源沿與波矢垂直的方向運(yùn)動(dòng)”還是“探測(cè)器沿與波矢垂直的方向運(yùn)動(dòng)”總是指探測(cè)器測(cè)得的結(jié)果，即以探測(cè)器為參照系時(shí)，波源速度us與波矢之間夾角為或探測(cè)器速度ud與波矢之間夾角為而式（1）中的θs、θd分別為在“介質(zhì)系”中觀測(cè)到的光源速度us與波矢k之間的夾角和探測(cè)器速度ud與波矢k之間的夾角.如果探測(cè)器相對(duì)于介質(zhì)系靜止，波源相對(duì)于介質(zhì)系運(yùn)動(dòng)，探測(cè)器探測(cè)到“波源沿與波矢垂直的方向運(yùn)動(dòng)”，等同于介質(zhì)系中“波源沿與波矢垂直的方向運(yùn)動(dòng)”，所以代入公式（1）中得到了橫向多普勒效應(yīng)紅移的正確結(jié)果.但如果探測(cè)器相對(duì)于介質(zhì)系運(yùn)動(dòng)，波源相對(duì)于介質(zhì)系靜止，“探測(cè)器沿與波矢垂直的方向運(yùn)動(dòng)”是指探測(cè)器認(rèn)為自己的運(yùn)動(dòng)方向與波矢垂直，根據(jù)光行差公式，介質(zhì)系則認(rèn)為“探測(cè)器的運(yùn)動(dòng)方向與波矢方向并不垂直，其夾角θd應(yīng)滿足cosθd＝將代入式 （1）中，有ωd＝，即仍然是橫向多普勒效應(yīng)紅移.

文獻(xiàn)[3]提出的在實(shí)驗(yàn)室參照系中，源靜止、接收器作圓周運(yùn)動(dòng)得出的橫向多普勒效應(yīng)藍(lán)移結(jié)果的錯(cuò)誤原因及其分析同上.

由以上分析可見，將探測(cè)器探測(cè)到的波源運(yùn)動(dòng)方向與波矢方向的夾角按照光行差公式，轉(zhuǎn)換到介質(zhì)系中二者之間的夾角θd是正確解決問題的關(guān)鍵，實(shí)際上這一點(diǎn)同樣適用于縱向多普勒效應(yīng)，只不過在縱向多普勒效應(yīng)情況下，探測(cè)器探測(cè)的角度與介質(zhì)系測(cè)出的角度總相等而已.如當(dāng)波源和探測(cè)器均相對(duì)于介質(zhì)系運(yùn)動(dòng)，且沿二者連線相互接近時(shí)，如探測(cè)器探測(cè)到波源運(yùn)動(dòng)方向與波矢方向的夾角和探測(cè)器運(yùn)動(dòng)方向與波矢方向的夾角分別為θ′s＝0，＝π，根據(jù)光行差公式，不難得出介質(zhì)系中波源運(yùn)動(dòng)方向與波矢方向的夾角和探測(cè)器運(yùn)動(dòng)方向與波矢方向的夾角分別為θ′s＝0，＝π；而當(dāng)波源和探測(cè)器均相對(duì)于介質(zhì)系運(yùn)動(dòng)，且沿二者連線相互遠(yuǎn)離時(shí)，如探測(cè)器探測(cè)到波源運(yùn)動(dòng)方向與波矢方向的夾角和探測(cè)器運(yùn)動(dòng)方向與波矢方向的夾角分別為θ′s＝π，＝0，根據(jù)光行差公式，不難得出介質(zhì)系中波源運(yùn)動(dòng)方向與波矢方向的夾角和探測(cè)器運(yùn)動(dòng)方向與波矢方向的夾角為θ′s＝π，＝0.顯然與前述縱向多普勒效應(yīng)的結(jié)果相同.

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