簡諧波勢(shì)能的一種簡明推導(dǎo)

周 越 張國鋒

（1北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京 100083；2北京航空航天大學(xué)物理科學(xué)與核能工程學(xué)院，北京 100191）

簡諧波的能量可分為介質(zhì)各質(zhì)元的振動(dòng)動(dòng)能和介質(zhì)因發(fā)生彈性形變而具有的勢(shì)能兩部分.其中質(zhì)元的振動(dòng)動(dòng)能易于從波動(dòng)方程導(dǎo)出；而彈性勢(shì)能的計(jì)算則相對(duì)復(fù)雜，較完整的討論需利用楊氏模量、切變模量等連續(xù)介質(zhì)力學(xué)方面的背景知識(shí)[1]，這些內(nèi)容在少學(xué)時(shí)的普通物理課程中一般很少涉及.故在論證介質(zhì)中動(dòng)能密度和勢(shì)能密度相等時(shí)，很多教材只是用示意圖來定性說明振動(dòng)速度大的質(zhì)元同時(shí)亦具有較大的形變，或者直接用“可以證明”略過[2].如能用基本的力學(xué)知識(shí)說明兩者定量相等，有助于加深學(xué)生對(duì)問題的理解.文獻(xiàn)[3]利用動(dòng)能和勢(shì)能密度在一個(gè)周期內(nèi)平均值相等結(jié)合兩者同步調(diào)增減進(jìn)行論證，但由此斷言兩者的瞬時(shí)值亦相同略嫌證據(jù)不足.文獻(xiàn)[4]以在繩中傳播的橫波為例給出了一種定量的證明，但在證明過程中需使用波形在任何一點(diǎn)斜率極小的近似條件，相當(dāng)于在繩上傳播的橫波振幅必須遠(yuǎn)小于其波長，這樣引入了不必要的附加條件，且容易給學(xué)生留下簡諧波的動(dòng)能和勢(shì)能密度只在小振幅下才近似相等的印象.本文同樣基于在細(xì)繩中傳播的簡諧波，給出一種只需較少背景知識(shí)的推導(dǎo)方法，在彈性限度內(nèi)無需對(duì)振幅的大小作特別限制，且可以同時(shí)得到波速和繩兩端張力的關(guān)系.

1 質(zhì)元的動(dòng)能

首先考慮一列在細(xì)繩中傳播的簡諧橫波，如果細(xì)繩在起振之前與x軸相重合，波動(dòng)方程可以一般地表示為[2]

則在細(xì)繩上振動(dòng)速度的分布為

考慮細(xì)繩上在x軸投影長度為dx的一段質(zhì)元，如細(xì)繩的線密度為ρ（未起振時(shí)的線密度），則該質(zhì)元的振動(dòng)動(dòng)能為

將式（1）代入式（3）可得

這說明位移大的質(zhì)元具有較小的振動(dòng)動(dòng)能.

2 質(zhì)元的勢(shì)能

下面討論簡諧波的勢(shì)能，因細(xì)繩的彈性勢(shì)能源于質(zhì)元的形變，與參照系無關(guān)，為簡便起見，可以在相對(duì)波形靜止的參照系中討論.不失一般性，設(shè)在此參照系中與波動(dòng)方程（1）對(duì)應(yīng)的波形方程為

細(xì)繩上每個(gè)質(zhì)量為ρdx的質(zhì)元均在y軸方向作角頻率為ω的簡諧振動(dòng)，由簡諧振動(dòng)的性質(zhì)可知質(zhì)元所受的線性回復(fù)力為[5]

如圖1，在細(xì)繩上取兩點(diǎn)M，N.N在x＝0的正向最大位移處，如M的橫坐標(biāo)為-x，則介于M，N兩點(diǎn)間的細(xì)繩所受的回復(fù)力之和為

圖1 MN段的受力分析

圖2 M點(diǎn)拉力的分解

在細(xì)繩內(nèi)不存在法向應(yīng)力，而N點(diǎn)的切線平行于x軸，因此f來源于M點(diǎn)的拉力F在y方向的分量，故有

由圖2可知F在x方向的分量Fx＝Fycotθ，其中θ滿足

故有

其中，u＝ω／k為簡諧波的波速.這說明要在細(xì)繩上傳輸彈性橫波，細(xì)繩的兩端必須被用力拉緊，且波速（速率）與繩內(nèi)張力在波傳播方向上分量的關(guān)系為

由式（8）和式（10）可得，M處的質(zhì)元對(duì)右側(cè)細(xì)繩拉力大小為

F來源于M點(diǎn)質(zhì)元拉伸所產(chǎn)生的張力.在細(xì)繩的彈性范圍內(nèi)，根據(jù)胡克定律T＝k0δl以及彈性勢(shì)能表達(dá)式Eps＝k0δl2／2，質(zhì)元的彈性勢(shì)能可以表示為

即質(zhì)元的彈性勢(shì)能正比于張力的平方，由式（12）可得

式（14）中右邊第一項(xiàng)來源于細(xì)繩在x方向上的拉伸，不隨時(shí)間和位置改變，為質(zhì)元起振前已具有的勢(shì)能；第二項(xiàng)來源于質(zhì)元在平衡位置附近振動(dòng)所產(chǎn)生的彈性形變.因此，簡諧波的勢(shì)能僅包含第二項(xiàng).利用式（5）消去x，可得

與式（4）比較可以看到質(zhì)元的動(dòng)能與勢(shì)能關(guān)于位移y具有類似的函數(shù)關(guān)系，僅系數(shù)的形式有所差別，下面證明兩者的系數(shù)也是相等的.

原長為dx的質(zhì)元，在簡諧橫波通過時(shí)被拉長為將式（5）代入可得質(zhì)元長度的增量為

相應(yīng)地，其張力大小由｜Fx｜增大到F.則根據(jù)胡克定律，該質(zhì)元的勁度系數(shù)為

代入式（15）可得

與式（4）給出的質(zhì)元振動(dòng)動(dòng)能完全相同.相應(yīng)地，細(xì)繩上同一位置的動(dòng)能密度與勢(shì)能密度亦相同.

3 縱波的情況

以上基于細(xì)繩上傳播的簡諧橫波證明了同一質(zhì)元具有等值的振動(dòng)動(dòng)能與彈性勢(shì)能，對(duì)于縱波亦可作類似論證，簡述如下.如用y表示質(zhì)元偏離平衡位置的位移（此時(shí)位移沿x軸方向），各質(zhì)元的動(dòng)能及M，N段所受的合力仍可由式（4）和式（7）表示.因N點(diǎn)的質(zhì)元無形變，故M點(diǎn)的質(zhì)元張力大小為

對(duì)于縱波，原長為dx的質(zhì)元形變量取決于質(zhì)元兩側(cè)的位移之差，故有

則質(zhì)元的彈性勢(shì)能為

與橫波的表達(dá)式相同，故勢(shì)能密度與動(dòng)能密度相等的結(jié)論對(duì)簡諧縱波同樣適用.

[1]葉帆.關(guān)于連續(xù)介質(zhì)中橫波的能量探討 [J].大學(xué)物理，2008，27（9）：19-21.

[2]張文杰，曹陽.大學(xué)物理教程 [M].北京：中國農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社，2009.

[3]汪新文，唐世清，許成科，等.平面簡諧波勢(shì)能的簡易分析方法 [J].湖南科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，33（8）：22-23.

[4]郭芳英，閆夷平，李愛玲.用橫波推導(dǎo)簡諧波的能量 [J].物理與工程，2003，12（2）：16-17.

[5]程守洙，江之永.普通物理學(xué) 第三冊(cè)[M].5版.北京：高等教育出版社，1998.