關(guān)于“對(duì)物理教材中兩個(gè)概念的討論”中“加減平衡力系”的商榷

陳奎孚 蔡 春

（1中國農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，北京 100083；2北京聯(lián)合大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院，北京 100191）

《物理與工程》2010年第20卷第1期發(fā)表了《對(duì)物理教材中兩個(gè)概念的討論》一文（以下簡稱《對(duì)》文）[1].《對(duì)》文談了兩個(gè)問題，對(duì)其中第二個(gè)問題“關(guān)于勢(shì)能的計(jì)算”的“加減平衡力系”的說法，筆者有不同觀點(diǎn).

問題的背景是關(guān)于圖1所示懸掛彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的勢(shì)能表達(dá)式.圖1中：m表示物塊的質(zhì)量；k和l分別為彈簧的勁度系數(shù)和彈簧原長；δst＝mg／k為靜平衡時(shí)的彈簧靜伸長（g為重力加速度）.選擇靜平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，并選定該點(diǎn)為系統(tǒng)的零勢(shì)能點(diǎn)后，則系統(tǒng)勢(shì)能為

考慮到靜平衡的kδst＝mg，上式就變成十分簡潔的形式

圖1 懸掛彈簧質(zhì)量系統(tǒng)示意圖

《對(duì)》文認(rèn)為從式（1）到式（2）的深層物理本質(zhì)是“重力和彈簧靜伸長的彈性力構(gòu)成了一個(gè)平衡力系，由力學(xué)中的加減平衡力系公理可知，對(duì)于任意一個(gè)剛體，對(duì)其加上或減去一個(gè)平衡力系不影響原力系對(duì)剛體的作用效果”.該文還指出使用加減平衡力系公理要“同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：一是在靜平衡時(shí)系統(tǒng)所受平衡力系中是否存在由彈簧靜變形而產(chǎn)生的彈性力；二是在靜平衡時(shí)彈簧的靜變形是否是由振動(dòng)物體的重力所引起”.

筆者認(rèn)為彈簧是變形體，而且對(duì)所感興趣的物理現(xiàn)象——振動(dòng)，也必須考慮彈簧的變形效應(yīng)（有彈性勢(shì)能），因而不能使用“加減平衡力系公理”.該公理適用的對(duì)象是剛體.筆者認(rèn)為能將式（1）變成式（2）是因?yàn)椋孩僮鴺?biāo)x軸的原點(diǎn)選得好——正好在靜平衡處；②系統(tǒng)零勢(shì)能點(diǎn)選得好——也正好在靜平衡處.力學(xué)規(guī)律應(yīng)該與坐標(biāo)無關(guān)，也就是說如果“加減平衡力系公理”能用，并且能夠得到式（2）的結(jié)果，則改變坐標(biāo)原點(diǎn)或系統(tǒng)零勢(shì)能點(diǎn)，也應(yīng)該得到同樣的結(jié)果.但事實(shí)顯然不是這樣.

下面再給一個(gè)反例，說明使用“加減平衡力系公理”的不合理性.

圖2也是一個(gè)單自由度系統(tǒng)，彈簧的一端懸掛在A點(diǎn)，另一端B系有質(zhì)量塊m，m在鉛直的光滑滑道內(nèi)運(yùn)動(dòng).彈簧原長為l，勁度系數(shù)為k，AO距離為d.假定圖中的實(shí)線對(duì)應(yīng)靜平衡位置（位置B處）.該系統(tǒng)顯然滿足《對(duì)》文所申明的兩個(gè)條件.

依《對(duì)》文的說法，使用“加減平衡力系公理”后，系統(tǒng)勢(shì)能為

圖2 單自由度彈簧系統(tǒng)示意圖

這里的Δ是質(zhì)量偏離平衡的位移x所造成的彈簧變形，也就是系統(tǒng)在圖2中點(diǎn)線狀態(tài)下（圖2中C處）的彈簧相對(duì)平靜位置（不是原長）的伸長量，它與重力無關(guān).由圖中幾何關(guān)系有

但對(duì)微幅的線性振動(dòng)，上式展開到x的泰勒級(jí)數(shù)一次項(xiàng)即可，記

將式（4）代入式（3）得到

從頭算起的算法為

這里的Δ為圖2中點(diǎn)線示意狀態(tài)的彈簧相對(duì)于彈簧原長的伸長量（不是平衡狀態(tài)）.根據(jù)圖2中的三角形關(guān)系有

將式（7）代入式（6），并近似到泰勒級(jí)數(shù)二次項(xiàng)有

根據(jù)圖2中幾何關(guān)系，知道上式第一項(xiàng)為零.在平衡位置，隔離質(zhì)量塊m作受力分析，可以得到靜平衡時(shí)有如下關(guān)系

這樣式（8）的第二式也為零（這是必然的，因?yàn)槲覀冞x擇了平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

綜上，式（8）變?yōu)?/p>

它顯然不同于式（5）的U1.前者也無法退化為后者（除非δst＝0）.而式（9）中的δst正是彈簧變形不能忽略的體現(xiàn).

教學(xué)實(shí)踐中，往往強(qiáng)調(diào)式（4）解題的方便性，但不得不遺憾地指出它的適用范圍非常有限，工程問題大多是像圖2那樣的模型.

目前的教學(xué)往往強(qiáng)調(diào)解題速度.為了提高速度，學(xué)生不得不針對(duì)特殊的題型，訓(xùn)練和記住不同解題方法.這不僅大量地占用學(xué)習(xí)資源，更導(dǎo)致學(xué)生無暇理解科學(xué)的本質(zhì)和科學(xué)的美.真正的科學(xué)教育應(yīng)該強(qiáng)調(diào)通用解法和基本思路，具體公式推導(dǎo)和計(jì)算細(xì)節(jié)交給計(jì)算機(jī)去完成.比如上述的泰勒級(jí)數(shù)展開，就是用Mathematica軟件完成的.

[1]樊麗儉，馮振宇.對(duì)物理教材中兩個(gè)概念的討論[J].物理與工程，2010，20（1）：49-52.