數學教學中培養學生推廣能力的探討

丁黎明,趙 冬

(淮北職業技術學院基礎部, 安徽淮北235000)

數學教學中培養學生推廣能力的探討

丁黎明,趙 冬

(淮北職業技術學院基礎部, 安徽淮北235000)

介紹數學推廣的概念,分析數學推廣在概念、公式及定理中的應用形式,結合具體的教學實例,根據數學內容從不同的角度提出數學推廣的思想方法,探討培養學生數學推廣問題能力的途徑,進而培養學生的創新精神。

數學推廣; 應用類型; 思想方法; 數學創新

一、引言

數學推廣是指在一定范圍內或一定層次上對數學的概念、公式、定理、法則等進行拓展,使之在更大范圍內或更高層次上成立,也指對條件、結論進行結構分析后,作適當變化,得到新的命題為真。推廣是數學學習和研究的基本方法,也是人們發現數學規律的重要工具。在數學研究中,許多概念的建立都是通過推廣現有概念而得到的,許多重要公式、定理和法則也是通過對已知命題的推廣而被發現的。

對于數學教學的目的,僅要求學生掌握基本理論知識是遠遠不夠的,要想讓學生從數學學習中終生受益,就需要培養學生獨立獲取知識的能力,在教學中就要有意識地培養和發展學生的推廣能力。隨著人們對數學教育認識的不斷深入,實現數學在培養學生提出問題、分析問題和探索解決問題的能力,在很大程度上取決于培養學生推廣問題的能力。

二、在數學教學中貫穿各種應用類型的推廣形式

數學的發展突飛猛進,數學的分支愈來愈多,數學的應用日益廣泛,這些都是數學家們善于從生產實踐和數學內部矛盾中不斷地提出問題和推廣問題,促進數學不斷發展的結果。在數學教材中有很多概念、公式和定理都涉及到推廣,并且有些推廣公式或推廣定理的使用甚至比原公式或原定理的使用更廣泛。

(一)概念的推廣

對于函數的概念,按照自變量的個數,只含有一個變量的稱為一元函數;含有兩個變量的稱為二元函數;依次推廣到含有n個(n≥3)變量的稱為n元函數。再比如高階導數的概念,函數的一次求導稱為一階導數;一階導數的導數稱為二階導數;依次推廣到(n≥3)階導數的導數稱為n階導數。在概念中使用推廣的方法直觀、形象,便于學生理解掌握。

(二)公式的推廣

(三)定理的推廣

費馬大定理是一個舉世聞名的例子,畢達哥拉斯方程x2+y2=z2的整數解存在,在此基礎上,法國的數學家費馬將畢達哥拉斯方程中的2次冪推廣到正整數n,當n≥3時,相應的方程xn+yn=zn有沒有正整數解?以后的幾百年來,吸引了許多優秀的數學家去研究并采用多種方法試圖去證明這個定理。

后人也有這樣的類似推廣:x3+y3+z3=u3是否有整數解?xn+yn+zn=un是否有整數解?

x4+y4+z4+u4=v4是否有整數解?xn+yn+zn+un=vn是否有整數解?

以此類推,可見,數學家們總是不斷地提出和推廣問題,其中也會有解決不了的問題,從而推動著數學的向前發展。

三、數學推廣問題的產生

(一)社會實踐活動的產生

人們在生產和社會實踐中,經常會面臨各種各樣的實際問題,對于這些實際問題中存在的數量關系和空間形式提取出來,進行深入分析研究,就會從中抽象出數學問題,進而推廣問題。

(二)自然科學發展的刺激

自然科學與數學之間存在一種相互影響、彼此促進的親密關系。一方面,數學為自然科學的發展提供定量描述、計算的工具;另一方面,自然科學則不斷地向數學提出大量富有挑戰性的問題,由于要解決自然科學提出的大量數學問題,進而促進數學自身的發展。

(三)數學內部自身的需要

數學發展有其相對的獨立性,尤其是當一門數學分支學科形成理論體系之后,為求得自身體系的完善發展,它就開始不斷地向自身提出各種各樣新的問題,進而推廣問題,激勵著數學家們為豐富、完善該理論體系而不斷作出創造。

四、培養學生數學推廣問題能力的途徑

在數學教學過程中培養學生推廣問題的能力是必要的,也是可行的。結合學生的實際情況,對概念、公式、定理和問題應當從不同的角度和方向引導學生學習和適當進行推廣,這對激發學生的創新精神、培養學生的創造能力會有很大幫助。

(一)用推廣問題學習新知識

兩個函數積的求導法則:兩個可導函數乘積的導數等于第一個因子的導數與第二個因子的乘積,加上第一個因子與第二個因子的導數的乘積。

引理[1-2]:如果函數u=u(x)和v=v(x)在點x處都可導,則函數f(x)=u(x)v(x)在點x處可導,且fˊ(x)=uˊ(x)v(x)+u(x)vˊ(x),簡記為(uv)ˊ=uˊv+uvˊ。

對于積的求導法則也可以推廣到任意有限個函數之積的情形。例如,三個函數乘積的導數(uvw)ˊ=uˊvw+uvˊw+uvwˊ,四個函數乘積的導數(uvwh)ˊ=uˊvwh+uvˊwh+uvwˊh+ uvwhˊ,依次推廣n個函數乘積的導數(x1x2…xn)ˊ=x1ˊx2…xn+x1x2ˊ…xn+…x1x2xnˊ,于是可得n個函數積的求導法則:n個可導函數乘積的導數等于第一個因子的導數與其余n-1個因子的乘積,加上第二個因子的導數與其余n-1個因子的乘積,依次加上第n個因子的導數與其余n-1個因子的乘積(含n項乘積之和)。

(二)用推廣問題探究數學規律

閉區間[a,b]上的連續函數f(x)一定存在最大值和最小值,即引理[1-2]:若函數f(x)在區間[a,b]上連續,則函數f(x)在[a,b]一定存在最大值和最小值。

在教學中可以這樣推廣問題,啟發學生,探究數學規律:當函數f(x)在半開區間[a,b)或(a,b]上連續,則函數f(x)的最大值和最小值是否存在?

當函數f(x)在開區間(a,b)上連續,則函數f(x)的最大值和最小值是否存在?

推廣1:若函數f(x)在半開區間[a,b)上連續,且在(a,b)內fˊ(x)＞0(或fˊ(x)＜0),則函數f(x)在[a,b)上一定有最小值(或最大值)。

證明:由于在(a,b)內fˊ(x)＞0,則函數f(x)在[a,b)上單調增加,不妨設f(a)=A,從而對?x∈(a,b),都有f(x)＞f(a)=A。因此,函數f(x)在[a,b)上一定有最小值。

同理可證:函數f(x)在半開區間[a,b)上連續,且在(a,b)內fˊ(x)＜0,則函數f(x)在[a,b)上一定有最大值。

推廣2:若函數f(x)在半開區間(a,b]上連續,且在(a,b)內fˊ(x)＞0(或fˊ(x)＜0),則函數f(x)在(a,b]上一定有最大值(或最小值)。證明:同推廣1。

(三)用推廣問題幫助解題

五、結論

數學推廣是高校數學教學不可缺少的重要內容之一,也是高校教師綜合教學能力的體現.在高校數學教學中,用數學推廣的思想方法啟發學生去大膽探索,培養學生獨立思考、勇于創新的科學精神,培養學生初步掌握數學推廣問題的研究能力,是高校數學教師義不容辭的責任。

[1] 同濟大學數學教研室.高等數學(上冊):第4版[M].北京:高等教育出版社,1996.

[2] 華東師范大學數學系.數學分析(上冊):第2版[M].北京:高等教育出版社,1998.

[3] 朱彩蘭.關于開區間內連續連續函數最值的判定[J].高等數學研究,2010(5):43.

[4] 顧泠沅,朱成杰.數學思想方法[M].北京:中央廣播電視大學出版社,2004.

On Cultivation of the Generalization Ability for Students in Mathematics Teaching

DING Li-ming,ZHAO Dong
(Department of Basic Courses of Huaibei Professional&Technical College, Huaibei Anhui 235000)

This paper introduces the concept of mathematics generalization,analyzes the application of mathematics generalization in concept,formula and theorem,combined with specific examples of teaching, and then puts forward the idea of mathematics generalization from a different point of view according to the mathematical content.Finally it explores the ways of cultivating the ability for students of mathematics generalization problems,which can cultivate the innovation spirit for students.

Maths generalization; application type; thought methods; Maths innovation

G712;O13

A

1671-4733(2015)01-0084-04

10.3969/j.issn.1671-4733.2015.01.025

文獻類型和標志代碼

文獻類型電子公告標志代碼普通圖書會議錄匯編報紙期刊學位論文報告標準專利數據庫計算機程序M C G N J D R S P DB CP EB

2015-02-26

丁黎明(1969-),女,安徽淮北人,碩士,副教授,從事高等數學教育教學工作,電話:0561-3111473。