第二類曲面積分易錯題分析研究

景慧麗

(第二炮兵工程大學 理學院，陜西 西安 710025)

第二類曲面積分易錯題分析研究

景慧麗

(第二炮兵工程大學 理學院，陜西 西安 710025)

正確地計算第二類曲面積分既是本科生必須熟練掌握的也是全國碩士研究生入學考試的重要內容之一.但是，大部分學員在計算第二類曲面積分時經常出錯.學員解題過程中經常出現的錯誤類型歸納起來主要有四種：一是找錯積分曲面；二是不注意曲面的側；三是誤用對稱性；四是錯用高斯公式.文中就各種錯誤類型給出了相應的例題，并重點對錯解進行了分析，最后給出了正確解法和注意事項.

第二類曲面積分；易錯題；錯解分析

0 引言

第二類曲面積分是《高等數學》課程和《數學分析》課程中一個非常重要的概念，而關于第二類曲面積分的計算更是重點中的重點，也是難點中的難點.初學者甚至是有些復習考研的學員經常是遇到第二類曲面積分的計算問題就束手無策、無從下手.有的學員雖然知道用什么方法計算，但是經常算錯；有時即便結果是正確的，計算過程卻是錯誤的.為了幫助學員掌握第二類曲面積分的計算方法，并能熟練、正確地計算第二類曲面積分，筆者結合教學實踐就學員在解題過程中經常出現的錯誤進行了分析，歸納了學員解題過程中所出現錯誤的類型，并重點分析了出錯的原因.常見的錯誤類型主要有以下幾種.

1 找錯積分曲面

2 不注意積分曲面的側

計算第二類曲面積分最基本的方法就是把積分曲面投影到坐標面上，然后把第二類曲面積分轉化成二重積分來計算，只是這個二重積分前有個正負號.例如[1]87-90，若積分曲面Σ是由方程z=z(x,y)所給出的，Σ在xoy坐標面上的投影區域為Dxy，函數z=z(x,y)在Dxy上具有一階連續偏導數，函數R(x,y,z)在Σ上連續，則

當Σ取上側(即曲面Σ的法向量與z軸正向的夾角為銳角)時，(1)式右端取“+”號；當Σ取下側(即曲面Σ的法向量與z軸正向的夾角為鈍角)時，(1)式右端取“-”號.但是，大部分學員往往忽略了這個正負號.

3 誤用對稱性

利用對稱性計算定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分和第一類曲面積分都是一種非常巧妙的方法，所以，大部分學員遇到第二類曲面積分的計算就會習慣定式，也直接利用對稱性來計算.

若積分曲面Σ關于yoz坐標面對稱，Σ1表示x≥0的部分，且Σ和Σ1所取的側一致，則

若積分曲面Σ關于xoz(或xoy)坐標面對稱，被積函數P,Q,R關于y(或z)有奇偶性，則第二類曲面積分具有相似的結論，這里不再贅述.

注2：第二類曲面積分的對稱性是比較麻煩的，所以不鼓勵學員利用對稱性來計算第二類曲面積分，建議學員先把第二類曲面積分轉化為二重積分，在計算二重積分的過程中再考慮利用對稱性，因為二重積分的對稱性是學員比較熟悉的.

4 錯用高斯公式

高斯公式是[2]229：設空間閉區域Ω是由分片光滑的閉曲面Σ所圍成，函數P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一階連續偏導數，則有

這里Σ是Ω的整個邊界曲面的外側．

高斯公式為計算第二類曲面提供了一種有效方法，使用高斯公式時必須滿足高斯公式的三個使用條件：a)函數P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)必須在Σ所圍區域Ω上具有一階連續偏導數；b)曲面Σ必須封閉；c)曲面Σ取外側.但是，大部分學員經常不管是否滿足高斯公式的使用條件，就直接使用高斯公式，學員常犯的錯誤主要有三種：一種是積分曲面Σ取內側直接利用高斯公式；第二種是對非封閉曲面直接利用高斯公式；第三種是在積分曲面Σ所圍區域Ω上存在奇點(使函數P、Q、R無定義的點或不具有一階連續偏導數的點統稱為奇點)時也直接利用高斯公式．下面分別舉例說明：

4.1 積分曲面取內側直接利用高斯公式

[錯解] 記Σ所圍區域為Ω，則由高斯公式得

原式

[錯解分析] 上述解法錯在三重積分前少了一個負號，因為高斯公式成立的條件之一是積分曲面Σ取外側，且注意到第二類曲面積分的值與積分曲面的側密切相關，側改變積分值也改變.所以，如果積分曲面Σ取的是內側，則應在公式的一端加上一個負號，即此時高斯公式應為：

本解法忽略了高斯公式中積分曲面取外側這個條件，所以是錯誤的.

[正確解法] 記Σ所圍區域為Ω，則由高斯公式得

原式

注3：使用高斯公式時，積分曲面Σ要取外側，如果Σ取內側，需要在公式一端加上負號.

4.2 非封閉曲面直接利用高斯公式

[錯解] 記Σ所圍區域為Ω，則由高斯公式得

[錯解分析] 上述解法錯在直接利用高斯公式來計算，因為使用高斯公式時積分曲面Σ必須封閉，這里的Σ顯然是不封閉的，所以是不能直接利用高斯公式來計算.

原式

注4：使用高斯公式計算第二類曲面積分時積分曲面Σ必須封閉，如果Σ不封閉，必須先補充有向曲面使其封閉，然后再使用高斯公式.補充有向曲面的一般原則是通常取平行于坐標面的有向平面，該有向平面的側要與已知的積分曲面的側保持一致.另外，切記計算原曲面積分時還要把所補充的有向曲面上的曲面積分減去.

4.3 存在奇點直接利用高斯公式

原式

其中Ω：x2+y2+z2≤a2.

[正確解法] 原式

令P=x、Q=y、R=z，則由高斯公式得

原式

其中Ω：x2+y2+z2≤a2.

注5：使用高斯公式時，函數P、Q、R必須在Σ所圍區域Ω上具有一階連續偏導數，如果在Σ所圍區域Ω上存在奇點，一般是需要把奇點挖去，在挖去奇點的復連通域上再使用高斯公式，挖奇點的一般原則是根據被積函數的特征來挖.例如，若例5中積分曲面Σ是包圍原點的某一光滑閉曲面，則需要在Σ內作有向曲面Σ1：x2+y2+z2=ε2(ε要足夠小)，然后在Σ和Σ1所圍復連通域上再使用高斯公式.其實，注意到曲面積分具有一個很好的性質，可以把積分曲面的方程代入到被積函數中，如果先把積分曲面的方程代入到被積函數中就可以大大簡化計算.例如例5所給的正確解法就是利用了該性質，首先把積分曲面Σ的方程x2+y2+z2=a2代入到被積函數中，此時新的曲面積分就滿足高斯公式的使用條件了，大大簡化了曲面積分的計算.

5 結語

以上就是學員們在計算第二類曲面積分時經常出現的錯誤.其實只要學員真正理解了第二類曲面積分的概念，掌握了第二類曲面積分的計算方法，上述錯誤是完全可以避免的.在教學過程中教員也應允許學員出錯，學員對概念理解有偏差、解題過程出現錯誤都是正常的，都是符合實際情況的，如果學員不出錯反而是不符合常理的.另外，教員要正確看待這些錯題資源，這些資源都是非常寶貴的教學資源，因為心理學家蓋耶說過：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯誤，就將錯過最富成效的學習時刻”[4]372-373.在教學中，教員要主動挖掘學員錯題中的“閃光點”，及時進行探究、分析和講評，這不但可以為學員創造新的學習機會，而且還可以培養學員的問題意識，培養學員發現問題、解決問題的能力.

[1] 景慧麗，張 輝.第二類曲面積分的計算方法[J].高等數學研究,2011,14(4).

[2] 同濟大學應用數學系.高等數學(下)[M].6版.北京：高等教育出版社,2007.

[3] 張天德，蔣曉蕓.Б.П.吉米多維奇高等數學習題精選精解[M].1版.濟南：山東科學技術出版社，2010.

[4] 錢怡杰.基于錯題的高三基礎會計教學探究[J].經營管理者,2015(2).

[責任編輯 迎客松]

On the Second Type of Surface Integral Easy Wrong Topic

JING Huili

(SchoolofScience,theSecondArtilleryEngineeringUniversity,Xi’an710025,China)

Correctly calcuating the second type of surface integral is not only a skill undergraduate students must master, but also an important content of the national master’s degree students’ entrance examination. But most of the students often make mistakes when calculating the surface integral. The error that the students made in the process of problem solving is concluded in this paper. There four kinds of common errors: the first is the wrong integral surface; the second is not paying attention to the side of the surface; the third is the misuse of symmetry; the fourth is wrong use Gauss formula. Furthermore, some corresponding examples are given for each type of error, the right solution is analyzed, and the correct solution and some matters needing attention are discussed.

the second type of surface integral；easy wrong topic；error analysis

2015-07-28

第二炮兵工程大學2014年度教育教學立項課題(項目編號：EPGC2014023)

景慧麗(1983- )，女，河南平頂山人，第二炮兵工程大學講師，碩士，主要從事高等數學教學研究。

1671-8127(2015)05-0004-05

O172.4-4

A