曲線的切線與導數關系

劉春生

摘 要：如果存在，曲線在點存在切線，這是大家都知道的常識，但是很多教材和輔導書上都沒有討論如果不存在，是否曲線在點不存在切線。本文主要就是討論了該種情況。

關鍵詞：鄰域；切線；連續導數

曲線的切線是反映切點處曲線局部特征的重要直線，但是在教學中發現，很多大學生受到高中階段切線概念的影響，對曲線的切線概念的理解存在偏差，另一方面，一般的輔導書和教材對曲線在可導點處的切線都有介紹，但對于在不可導點處的切線的存在性，基本沒有討論，因此在討論曲線的時候往往容易發生遺漏，或者在理解上有誤區。本文就切線的定義，切線的存在性進行了完整討論，以幫助大學生更加深刻理解切線與導數的關系。

一、切線的定義

給定曲線，點為曲線上的兩點，稱為曲線的割線，當沿曲線趨于點M時，割線的極限位置稱為曲線在點處的切線。

由該定義可以看出來，曲線在點處的切線只與該點處的領域內的形態有關。高中階段所學的關于圓的切線只是該定義的一種特殊情況。但是關于圓的切線結論并不適合一般曲線。比如，直線與圓的切線相切的充要條件是直線與圓的交點只有一個，這個結論就不適合一般曲線，事實上，曲線與直線雖然只有一個交點，但直線并不是曲線的切線；而曲線與直線雖然有無窮多個交點，但是直線卻是曲線的切線。

二、切線的存在性

根據導數的定義可得到以下結論

結論一：設在的鄰域內有定義，若存在，則曲線在點處有切線，而且切線的斜率。切線方程為

特別地：若，則曲線在點處有水平切線

例（1）在點處導數，故在處切線方程為，

即：

結論二：設在的鄰域內連續，若不存在，但且，則曲線在點處有垂直切線。

例（2）曲線在的鄰域內連續，在處的導數不存在，

但故在點處有切線

結論三：設在的鄰域內連續，若不存在，但與不同時成立，則曲線在點處無切線。

例（3）1.曲線在的鄰域內連續，在處的導數不存在，而且故在點處無切線

2.曲線在的鄰域內連續，在處的導數不存在，而且故在點處無切線

結論四：設在（或者）上連續，若（或者）存在，則曲線在點處有切線，而且切線的斜率（或者。切線方程為

或者

例（4）曲線在上連續，且在點處，故在處有水平切線。

結論五：設在（或者）上連續，若（或者）存在，則曲線在點處有垂直切線

例（5）曲線在上連續，且在點處，故在處有垂直切線。

結論六：設在（或者）上連續，若（或者）不存在，且不為無窮大，則曲線在點處無切線。

例（6）曲線在上連續，但在點處

不存在且不為無窮大，故在處無切線。

注：如果曲線在點既不左連續，又不右連續，則曲線在點處無切線。

參考文獻：

[1] 同濟大學應用數學系主編教材《高等數學》第六版 高等教育出版社.

[2] 吳贛昌主編教材《高等數學》理工類 第四版 人民大學出版社.