數學學習與學習的快樂

趙娜

在日復一日的教學生涯中，總想為自己略顯枯燥的生活裝點一些亮色。因此每當自己在課堂上有所新的嘗試而獲得成功的時候，那種從心里發(fā)出來的喜悅是很難用語言來表達的。而這種快樂的體驗又促使我進行新的嘗試。有時甚至體會到了“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”那種感覺。下面將我的快樂與大家分享。

快樂之一：讓學生在思維的活動中閃現哲學的火花

懂得一些哲學常識的人知道：“矛盾的普遍性存在于特殊性之中，沒有矛盾的特殊性就沒有矛盾的普遍性，二者相互聯系不可分割”。因而當我們解決一個問題后，能否有意識的進行反思，從而找到問題的本質，再去解決另外一些特殊問題。這就反映出，我們是否在自覺的運用從特殊到一般，再由一般到特殊的唯物辯證規(guī)律指導我們的教學實踐。如果在教學中能適時地向學生滲透辯證法，相信將對學生的思維品質的培養(yǎng)起到一定作用。下面略舉兩例以說明：

例1：（1）a，b∈R+，求證：a3+b3≥a2b+ab2

（2）a，b∈R+，求證：a5+b5≥a3b2+a2b3

本題證明思路比較明顯，作差—變形—判斷符號。但更為重要的是，在教學過程中有意識地引導學生作更一般的推廣和證明，體會由特殊到一般的思想。不難想到，有下面的推廣命題：a，b∈R+，m，n∈Z+ ?求證：am+n+bm+n≥ambn+anbm

例2：過拋物線y2=16x的焦點的一條直線l和拋物線相交，交點為A（x1，y1），B（x2，y2）求y1？y2的值

本題解題思路比較容易，設出直線的方程，然后與拋物線方程聯立方程組，消掉變量x，得到關于y的一元二次方程，最后應用韋達定理很快求解。但更為重要的是，能否由此及彼的產生一系列的聯想：

①由縱坐標之積得到定值，那么作一類比，橫坐標之積是否是定值呢？

②能否由y2=16x推廣到一般情形y2=2Px？

③應用逆向思維，由y1？y2=-P2，能否判定直線過焦點呢？

④若將直線過焦點F（ ，0）推廣為直線過定點M（a，0），則y1？y2是否為定值？

上述兩例均是從特殊題目出發(fā)，抽象出一般的結論，或類比、或聯想進而解決更廣泛的問題。

快樂之二：讓學生在解題中學會變換思維角度，學會退與進

學生在解題中常常會遇到困難，但是總是苦于沒有閃現柳暗花明又一村的靈感，其實要想突破，亦非難事，關鍵在于我們能否運用運動，變化，聯系，發(fā)展的觀點看待數學問題，通過聯想遷移達到化繁為簡，化難為易，化生為熟的目的。這正是高中數學教學中著力培養(yǎng)學生的一種思維品質。下面略舉兩例以說明：

例1求下列函數的最值：

（1）y=（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+5（|x|≤3）

（2）y=

簡析：（1）若直接展開，則會出現x的4次方項，使問題復雜化，若將（x+1）（x+4）結合（x+2）（x+3）結合，則有y=（x2+5x+4）（x2+5x+6）+5，妙處在于出現了相同的x2+5x因而采用換元法，化繁為簡，水到渠成。即y=（t+4）（t+6）+5 （ ）轉化成熟悉的條件二次函數進而求解。

（2）令 ，，則y= ，轉化成熟悉的“對勾”函數，進而求得最值.上例說明轉化的思想在解題中有著廣泛的應用。

例2：用數學歸納法證明：（3n+1）7n-1（n∈N*）能被9整除。

在講解該題時，大多數同學采用了如下學生甲的解法：

學生甲：第一步驟略;第二步驟（2）假設當n=k時命題成立，即（3k+1）7k-1能被9整除

當n=k+1時，[3（k+1）+1]7k+1-1=（3k+1+3）7k？7-1=7[（3k+1）7k-1]+21？7k+6

到這一步后，好多同學“卡了殼”。

教師：真的不能再進一步了嗎？21？7k+6能被9整除可采用什么方法？

學生乙：可以再次采用數學歸納法。

教師：非常好。除此之外，21？7k+6形式上的特點還能使我們想到什么方法？

學生丙：容易想到二項式定理，21？7k+6=3[（6+1）k+1+2]然后利用展開式很快得證。

引來大家一片喝彩。

教師：這說明當我們遭遇難題時，不要立即退縮，而是試著往前走一走，也許會出現豁然開朗的感覺。但是俗話說的好有進有退，“退一步海闊天空”，那么退一步是否也能解決問題呢？退到哪一步是最恰當的呢？

學生丁：應用歸納假設時，系數7是造成問題復雜的主要原因，若系數是1，則問題變得簡單了，接著他上黑板寫出了解題過程。

又引來一片喝彩聲。

學生戊：我認為既然除歸納假設外的部分必然能被9整除，而直接做又有困難，不妨采用逆向思維，由[3（k+1）+1]7k+1-1與（3k+1）7k-1作差得（18k+27）7k，顯然能被9整除，問題迎刃而解。

看到學生們精彩的思維活動，我感到了由衷的喜悅.學會變換角度考慮問題，進則不畏艱辛，退則靈活巧妙不失為一種解題策略。

快樂之三：讓學生在一題多解，一題多變的變式教學中感受發(fā)散思維的魅力

在數學教學中，發(fā)展思維能力是培養(yǎng)能力的核心，而思維能力的培養(yǎng)要通過精心設置問題，引導學生分析，探討，才能達到在解題過程中發(fā)展智力，提高能力的目的。因此精心選題，充分挖掘題目本身的內在聯系，經常對學生進行一題多解，一題多變的變式訓練，不僅能鞏固基礎知識，基本方法，而且能有效的優(yōu)化學生的思維品質，培養(yǎng)思維能力。進而達到培養(yǎng)創(chuàng)造性人才的最終目的。下面略舉兩例以示說明：

例1：已知x，y∈R+，且x+y=1，求 的最小值

此題先讓學生思考，探索討論后，學生給出了諸多解法，歸納總結如下：

方法一：利用均值不等式。

方法二：利用三角換元。

方法三：均值換元。

方法四：利用二次函數求值域。

方法五：“1”的妙用。

上述解法的詳細過程略去，但并不是說過程不重要，本文撰寫的目的是想通過一些典型，生動的例子，能引起我們在教學上的某種思考，若能達到拋磚引玉的作用則幸甚。

例2：求（1+2x）6展開式中第4項的二項式系數及系數

變式一：求（1-x）6展開式中第4項的系數

變式二：求（1-x）6（1+2x）2展開式中x4項的系數

變式三：求（x2+3x+2）6展開式中x11項的系數

變式四：求（1-x）6（1+2x）2展開式中所有項系數的和

變式五：求（1-x）6（1+2x）2展開式中x的奇次冪項的系數之和

以上兩例主要是想通過一題多解，一題多變，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力，從多角度，多方位思考問題，用多種方法進行嘗試，使學生在思維的廣闊天地里翱翔。