基于LOD-FDTD的微帶線邊緣奇異性處理技術研究

李 磊張 昕孫亞秀

①(哈爾濱工程大學信息與通信工程學院 哈爾濱 150001)

②(五邑大學信息工程學院 江門 529020)

基于LOD-FDTD的微帶線邊緣奇異性處理技術研究

李 磊*①張 昕①②孫亞秀①

①(哈爾濱工程大學信息與通信工程學院 哈爾濱 150001)

②(五邑大學信息工程學院 江門 529020)

為解決現有方法在處理微帶線邊緣電磁場的奇異性時，存在計算效率和精度之間的矛盾，該文提出一種在局部1維時域有限差分法(LOD-FDTD)基礎上，結合微帶線邊緣電磁場分布函數，并通過坐標變換可處理導體嵌入網格面積大于1/2時的情況，因而適用性更廣的微帶線邊緣奇異性處理技術。與現有奇異性處理技術對比證明，該算法在采用的時間步長小于等于Courant-Friedrichs-Lewy(CFL)穩定性條件所允許最大時間步長5倍的情況下，具有更高的計算精度。且與一般LOD-FDTD算法對比證明，引入的微帶線邊緣電磁場分布函數使得該算法在節省計算資源和提高計算效率的同時，保持了更高的計算精度。

微帶線；局部1維時域有限差分法；奇異性處理；坐標變換

1 引言

近些年來，時域有限差分法(Finite Difference Time Domain, FDTD)作為一種直接求解麥克斯韋(Maxwell)微分方程的時域方法，由于具有物理含義清晰，易于實現等優點，被應用于各類電磁仿真問題。然而，在解決具有微帶結構的問題時，由于微帶線通常具有較窄寬度以及導體邊緣電磁場具有奇異性[1]等問題，使得傳統FDTD方法不得不采用較小的空間網格尺寸才能準確描述微帶線邊緣劇烈變化的電磁場，而且由于Courant-Friedrichs-Lewy (CFL)穩定性條件的限制，較小的空間網格尺寸將導致較小的時間步長，從而使得傳統FDTD方法在計算微帶結構需占用很大的計算資源，且計算效率很低。

為解決上述問題，文獻[2]提出亞網格方法，在微帶線邊緣電磁場變化劇烈處采用小尺寸網格，在電磁場變化平緩處采用大尺寸網格，從而使得計算網格數量大大減少，節省了計算資源，但該方法的時間步長是由最小空間網格尺寸決定的，因此在計算時間上并無較大改善；文獻[3]提出修改材料電參數(Modified Assigned Material Parameters, MAMPs)的方法，在不減小空間網格尺寸的同時，保證了算法具有較高的精度，但該方法對導體嵌入網格面積大于1/2時的情況沒有辦法處理，且時間步長仍受到CFL穩定條件的限制。由此可見，CFL條件的限制是利用FDTD解決微帶結構問題面臨的主要挑戰。而以Crank Nicolson(CN)-FDTD[4-7]，交替方向隱式(Alternating Direction Implicit, ADI)-FDTD[8-11]和局部1維(Locally One-Dimensional, LOD)-FDTD[12-15]為代表的無條件穩定的隱式FDTD方法正是解決上述問題的關鍵，特別是LOD-FDTD方法，更是具有實現簡單和計算效率高等優點。然而隱式FDTD方法雖然是無條件穩定的，但如果采用時間步長與空間網格尺寸的比值遠大于CFL條件的限制，則會產生較嚴重的數值色散，從而降低計算精度。

為了克服以上問題，本文提出了一種在LOD-FDTD的基礎上，結合了文獻[16]提出的微帶線邊緣電磁場分布函數，并通過坐標變換可處理導體嵌入網格面積大于1/2時的情況，因而適用性更廣的微帶線邊緣奇異性處理技術，該方法保證了較小的時間步長與空間網格尺寸的比值，從而減小了數值色散，且在具有較高計算效率的同時，保持了較高的計算精度。

本文組織如下：首先通過理論推導出基于LOD-FDTD的微帶線邊緣電磁場更新方程；然后分別通過本文算法與亞網格算法、MAMPs算法，本文算法與不同網格劃分方式的一般LOD-FDTD方法，以及本文算法采用不同時間步長的計算結果對比，從而驗證算法的性能；最后對全文進行總結。

2 基于LOD-FDTD的微帶線邊緣奇異性處理技術

2.1 微帶線邊緣場分布函數

由于微帶線邊緣的電磁場具有奇異性，因而在建模時需要特別處理，否則會導致局部的截斷誤差。根據微帶線邊緣場分布函數，如圖1所示的微帶線邊緣電磁場可表示為

圖1 微帶線邊緣橫向電磁場

式中r為微帶線邊緣到場點的距離，φ為二者之間的夾角，A和B為未知系數。由式(1)～式(4)可見，由于1/項的存在使得橫向場Er和Eφ具有奇異性。

2.2 基于LOD-FDTD的微帶線邊緣電磁場計算方法

現以圖2和圖3中的Hy(i,j,k)和Ez(i+1,j,k)為例，說明本文提出的具有奇異性的微帶線邊緣電磁場計算方法。由圖2可見，s為導體嵌入網格長度，Δx, Δy, Δz分別為x, y, z方向的空間網格尺寸，i, j, k分別為x, y, z方向的網格坐標，令s＞Δx/2(對于s≤Δx/2情況可按類似方法處理)。如果按照傳統Yee網格劃分方式，則Ex(i,j,k), Ex(i,j,k+1)和Hy(i,j,k)均為零，這相當于增大了導體嵌入網格的長度，將導致計算誤差，因而本算法將Ex(i,j,k), Ex(i,j,k+1)和Hy(i,j,k)3個節點的坐標沿 x 軸移動s/2，以使得算法可以準確表示微帶線邊緣的場。此時r=(Δx-s )/2, φ=180o，因而Hy(i,j,k)=-Hφ, Ex(i,j,k)=Er，由式(1)和式(4)可得

圖2 微帶線嵌入網格xOz平面圖

圖3 微帶線嵌入網格xOy平面圖

將式(5)和式(6)分別代入式(1)和式(4)可得導體邊緣橫向場的分布為

根據類似方法，圖3中的磁場xH和yH為橫向場，按照夾角φ的變化可將其分為ab, bc, cd, de, ef, fa 6段，表示為

式中，

在求得微帶線邊緣電磁場的分布表達式后，算法雖然可不減小網格尺寸就能準確描述微帶線邊緣電磁場，但計算效率仍舊受到CFL穩定條件限制。為了突破CFL穩定條件對計算效率的限制，可將無條件穩定的隱式方法LOD-FDTD與其結合。但傳統LOD-FDTD由于分裂矩陣因子具有不可交換性，使得其只有一階時間精度。因此本文采用了可消除二階不可交換性誤差，從而具有二階時間精度的LOD-FDTD算法。該算法更新方程可表示為

式中，

下面結合上述LOD-FDTD算法得到基于LOD-FDTD的微帶線邊緣奇異性處理技術。受篇幅限制，這里只介紹對微帶線邊緣電場Ez(i+1,j,k)和磁場Hy(i,j,k)的計算方法，其他場量可按類似方法求得。本文算法將時間的推進分為(n+1/4)到(n+3/4)和(n+3/4)到(n+5/4)兩個子時間步。

首先，前半時間步(n+1/4)到(n+3/4)的微帶線邊緣電場Ez(i+1,j,k)更新方程可由安培定律得到。

式中，Δt為時間步長，ε為介電常數。

磁場Hy(i,j,k)更新方程可由法拉第定律得到。

式中，μ為磁導率。

將式(16)、 式(18)、 式(22)和式(23)代入式(21)，整理后得

式中，

同理，后半時間步(n+3/4)到(n+5/4)的微帶線邊緣電場更新方程整理后為

式中，

磁場Hy(i,j,k)更新方程為

通過觀察上述更新方程可知，待定系數m, n和p不隨時間變化，因此只需在算法迭代開始時計算1次即可，從而不影響計算效率。

3 算法檢驗

為了驗證本文算法的準確性，分別利用本文算法、亞網格算法和MAMPs算法計算相對介電常數εr=1，厚度h=1.27 mm 的介質板上不同寬度微帶線的特性阻抗，并與理論值進行對比，如圖4所示。其中本文算法和MAMPs算法在整個計算空間采用Δx=Δy =1 mm, Δz=0.3175 mm 的網格劃分；同時根據亞網格算法原理，為保證計算精度，亞網格算法在微帶線邊緣電磁場變化劇烈處采用Δx=Δy=0.25 mm的較小網格劃分，而在電磁場變換平緩的其他位置采用Δx=Δy=1 mm的網格劃分以保證一定的計算效率，3種算法的時間步長均采用滿足CFL條件要求的最大值。

3.1 本文算法與已有算法的對比

由圖4可知，3種算法中，本文算法計算結果與理論值的平均誤差最小，約為0.85%, MAMPs算法居中，約為2.57%，亞網格算法最大，約為8.35%，且其計算時間也大于本文和MAMPs算法的計算時間。由圖4還可見，采用相同網格劃分方式的本文與MAMPs算法都是在微帶線寬度為0.05 mm時，與理論值的誤差最大，其中本文算法的誤差約為1.47%，而MAMPs算法的誤差約為8.98%；隨著微帶線寬度增加，即導體嵌入網格面積的增大，誤差逐漸減小，當導體嵌入面積約為網格面積的1/4時，兩種算法的計算結果與理論值的誤差最小，均約為0.018%，之后隨著導體嵌入面積的近一步增大，誤差又逐漸增大。由此可見，相比于亞網格和MAMPs算法，本文算法具有較高的計算精度；且為保證算法的準確性，最好在建模時，使得導體嵌入網格面積約為網格面積的1/4。

3.2 本文算法與一般LOD-FDTD算法對比

為了檢驗本文引入的微帶線邊緣奇異性處理技術對LOD-FDTD方法計算精度的改善情況，分別采取Δx=Δy =1mm, Δz =0.3175 mm的網格劃分且CFLN=5的本文算法和采取相同空間網格劃分但CFLN=1的粗網格一般LOD-FDTD算法，以及采取Δx=Δy=0.2mm, Δz =0.1588 mm且CFLN=1, 5, 10的細網格一般LOD-FDTD算法計算相對介電常數εr=1，厚度h=1.27 mm 的介質板上寬度為0.05～0.9 mm微帶線的特性阻抗，結果如圖5所示，其中定義CFLN為算法所采用的時間步長與CFL條件所允許最大時間步長的比值。

由圖5可見，本文算法在CFLN=5時的計算結果與理論值的平均誤差為1.57%，采用細網格的一般LOD-FDTD方法在CFLN=1, 5, 10時計算結果的平均誤差分別為5.89%, 6.54%, 7.40%，而采用了粗網格的一般LOD-FDTD方法的計算結果平均誤差最大，約為63.46%。且微帶線的寬度變化只要不超過網格尺寸，一般LOD-FDTD方法是無法分辨的，以致于在某些微帶線寬度上與理論值相比具有很大的計算誤差。由此可見，相比于一般LOD-FDTD算法，引入的微帶線邊緣奇異性處理技術使得本文算法在采用較大網格劃分方式，從而節省了計算資源和提高了計算效率的同時，保持了較高的計算精度。

3.3 不同時間步長的計算精度對比

為了檢驗本文算法在導體嵌入網格面積大于1/2時的適用性，以及算法所采用的時間步長與CFL條件所允許最大時間步長的比值對計算精度的影響，利用本文算法，并采用與計算圖4時相同的網格劃分，計算相對介電常數εr=1，厚度h=1.27mm的介質板上寬度為0.05～1.80 mm微帶線的特性阻抗，如圖6所示。

由圖6可見，當導體嵌入網格面積大于1/2時，本文算法計算結果與理論值仍保持了較好的一致性，其中CFLN=1, 5, 10時的平均誤差分別約為0.97%, 1.73%, 3.97%。且由圖6還可見，導體嵌入網格面積約為網格面積的1/20時，CFLN=1, 5, 10的計算誤差分別約為1.47%, 2.87%, 4.33%；隨著嵌入面積的增大，計算誤差逐漸減小，當約為網格面積的1/4時，計算誤差均小于1%；之后隨著嵌入面積的近一步增大，CFLN=1, 5的計算誤差雖有一定增大，但仍小于2%，而CFLN=10的計算誤差則增大較多，特別是當嵌入面積大于網格面積的1/2，計算誤差均大于5%。因而通過與圖4中亞網格算法、MAMPs算法的計算結果對比可知，除可解決導體嵌入網格面積大于1/2時的情況，本文算法在CFLN≤5，即計算效率最大可提高約5倍時，受數值色散的影響較小，算法仍具有更高的計算精度，而CFLN=10時，數值色散對計算精度產生了較大影響，特別是導體嵌入面積大于網格面積的1/2時，計算精度下降較快，略低于亞網格算法。

圖4 不同算法計算結果對比

圖5 本文算法與一般LOD-FDTD計算結果對比

圖6 不同CFLN的計算結果對比

4 結束語

為了解決現有方法在處理微帶線邊緣電磁場的奇異性時，存在計算效率和計算精度之間的矛盾，本文提出了一種在LOD-FDTD基礎上，結合微帶線邊緣電磁場分布函數，并通過坐標變換可處理導體嵌入網格面積大于1/2時的情況，因而適用性更廣，計算資源更節省，計算效率和計算精度更高的微帶線邊緣奇異性處理技術。通過實驗證明，本文算法在采用的時間步長小于等于CFL條件所允許最大時間步長的5倍時，相比于現有的亞網格算法和MAMPs算法，在保持更高計算效率的同時，具有更高的計算精度，且導體嵌入網格面積約為網格面積的1/4時，計算精度達到最高；相比于一般的LOD-FDTD方法，引入的微帶線邊緣電磁場分布函數使得本文算法在節省了計算資源并提高了計算效率的同時，保持了較高的計算精度。但當本文算法采用的時間步長等于CFL條件所允許最大時間步長的10倍時，數值色散對計算精度產生了較大影響，使得計算精度下降較快，因而克服大于CFL條件允許的10倍時間步長引起的數值色散對計算精度的影響是下一步研究的重點。

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李 磊： 男，1984年生，博士生，研究方向為計算電磁學、電磁兼容、電磁場與微波技術.

張 昕： 男，1965年生，教授，博士生導師，研究方向為計算電磁學、電磁兼容、天線設計.

孫亞秀： 女，1974年生，副教授，碩士生導師，研究方向為計算電磁學、電磁兼容、電磁場與微波技術.

Study for Singularity Processing Technology of Microstrip Line Edge Based on the LOD-FDTD

Li Lei①Zhang Xin①②Sun Ya-xiu①①(School of Information and Communication Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)
②(School of Information Engineering, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

In order to solve the contradiction between the efficiency and accuracy as using the existing methods in the processing of the singularity of electromagnetic field near the microstrip line edge, in this paper, a microstrip line edge singularity processing technology based on the Locally One Dimensional Finite Difference Time Domain (LOD-FDTD), and combined with distribution function of electromagnetic field near microstrip line edge is proposed. The algorithm can handle conductors embedded in the grid area of more than 1/2 by the coordinate transformation, thus having wide applicability. Compared with the existing processing technology, the proposed algorithm in this paper has higher calculation accuracy, when the time step size is less than or equal to 5 times of the Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) condition allowed. And compared with general LOD-FDTD, the proposed algorithm by introducing distribution function of electromagnetic field near microstrip line edge not only saves the computational resources and improves the efficiency, but also maintains the higher accuracy.

Microstrip line; Locally One Dimensional Finite Difference Time Domain (LOD-FDTD); Singularity processing; Coordinate transformation

TN817; TM15

A

1009-5896(2015)03-0746-07

10.11999/JEIT140518

2014-04-22收到，2014-06-27改回

國家自然科學基金(51209055)和中央高校基本科研業務費專項資金(HEUCFR1124)資助課題

*通信作者：李磊 leericky@126.com