論函數的奇偶性

王慶舉

函數的奇偶性是高中數學中常考、必考的知識點，又經常和其他知識點結合在一起考查，下面我們探討函數奇偶性的判定及一些性質和應用。

一、奇偶性的概念

1.函數的奇偶性的定義

（1）-般的，如果對于函數r=f（x）的定義域內的任意一個x值，都有f（-x）=f（x），就稱f（x）是偶函數；

（2）-般的，如果對于函數y=f（x）的定義域內的任意一個x值，都有f（-x）=-f（x），就乖（x）是奇函數；

2.函數的奇偶性的判定步驟

（1）判定函數y=f（x）的定義域是否關于原點對稱；

（2）如果對于函數y=f（x）的定義域內的任意一個x值，都有f（-x）=f（x）或者（-x）=fx），就f（x）是偶函數或者是奇函數；

二、奇偶性的判定

（1）當一個函數的定義域不關于原點對稱，則函數是非奇非偶；

（2）當一個函數的定義域關于原點對稱，如果f（-x）=f（x），就稱f（x）是偶函數；

（3）當一個函數的定義域關于原點對稱，如果f（-x）=-f（x），就稱f（x）是奇函數；

（4）當一個函數的定義域關于原點對稱，如果f（-x）=？f（x），就稱f（x）即奇又偶。

例1：判定下列函數的奇偶性

（4）已知函數f（x）滿足對任意實數x，y都有廠（x+y）=f（x）+f（y），則求f（x）的奇偶性

解：（1）函數的定義域為{11不關于原點對稱，則函數是非奇非偶；

（2）1-x≥0且lx+2 1-2≥0，解得x？[-1，0）U（0，1]定義域關于原點對稱，

（3）1-x2≥0且x-l≥O，解得x∈{-1，1}定義域關于原點對f（x）即奇又偶；

（4）令x=y=0，則廠（0）=0，令y=-x.廠（0）可（x）+f（-x），f（x）=o，f（-x）=f（x），所以f（x）是偶函數。

三、利用函數的奇偶性求函數的解析式

例2：已知（x）是偶函數，g（x）是奇函數，它們的定義域均為，則求f（x），g（x）的解析式。

四、利用函數的奇偶性求證

五、利用函數的奇偶性求代數式的值

例4：已知（x+3y）3+x3+2x+3y=0，求2x+3y的值

解：由已知得（x+3y）3+x+3y=-（x3+x），設f（x）=X3+x，顯然f（x）是奇函數且為增函數，則f（x+3y）=f（x）=f（-x），所以x+3y=-_x，則2x+3y=0。

函數的奇偶性通過研究函數的圖象特點，從而進一步研究函數的其他的性質，以上的幾個知識點可以提高學生在代數方面的推理認證能力，通過函數奇偶性概念的形成過程，培養學生的觀察、歸納、抽象的能力，讓學生體會數學在生活中的美，引導學生探討、研究數學，激發學生的學習熱情。