融資條件下的投資組合問題研究

李程妮

摘 要：中國正式開展融資融券業務迄今已有四年，融資融券業務是把“雙刃劍”，在給投資者帶來了更大盈利機會的同時，也為投資者帶來了更高的風險，因此其投資組合選擇十分重要。基于Markowitz 經典M-V模型，研究融資條件下帶交易費用的投資組合模型，并利用幾何方法對模型進行求解，以期對投資者進行投資組合決策提供幫助。

關鍵詞：融資;交易費用;投資組合

引言

融資融券這一交易制度最早起源于美國，是發達國家通行的交易制度。雖然中國正式開展融資融券業務迄今已有四年，但目前對于融資融券投資組合問題的研究還很少。

本文針對目前的研究現狀，在以上文獻提供的模型的基礎上，研究了帶有交易費用的融資下的M-V模型，并利用文獻[4]提出的幾何方法為該模型求解，以期對投資者進行投資組合決策提供幫助。

一、模型的建立

在融資業務開展中，經紀商會采取一系列措施來避免可能的損失。首先會規定初始保證金比例來限制投資者的最大融資金額。其次為防止在投資過程中由于證券價格的波動使實際保證金低于初始保證金，還會設置一個維持保證金比例。

初始保證金=

維持保證金=

假設市場有n種風險證券，投資者在期初持有現金的數量為M1，令M2表示可融資資金數量，假設融資的初始保證金比例不低于δ（0<δ<1），此時投資者的總投資額度為M1+M2，且有：

M1+M2≤M1

進一步，令X=（x1，x2，…，xn）T代表投資者在風險證券上的投資比例向量，R=（r1，r2，…，rn）T代表風險證券的期望收益率向量，則證券組合的市值為：

（M1+M2）（1+RTX）

設維持保證金比例不低于γ（0<γ<δ）有：

≥γ ? （1）

令x0代表融資資產的比例，則：

x0=≥1-（2）

假定投資者將借入的資金全部投資于風險證券，rf代表無風險證券的借入利率，顯然：

rf

令C=（c1，c2，…，cn）T代表風險證券的交易費率，∑=|σij|n×n代表風險證券的協方差矩陣（∑是正定矩陣）。e=（1，1，…，1）Tn代表各分量全為1的n維列向量。

根據Markowitz的M-V理論，投資者在投資時會選擇有效邊界曲線上的投資組合進行投資，即在MVP以上的曲線部分的組合進行投資，該有效邊界是下頁圖1中曲線1的實線部分。

根據證券組合有效邊界的定義，一旦種證券確定，則其有效邊界的曲線就確定了。在融資后，投資者還是會選擇有效邊界曲線上的投資組合進行投資。而總投資額包括自有金額投資部分和融資金額投資部分，那么對于總的投資組合X來說，X中的每一分量由兩部分組成，一部分為投資者以自有資金投資風險證券的比例向量X1=（x11，x12，…，x1n）T中的x1i，一部分為投資者以借入資金投資風險證券的比例向量X2=（x21，x22，…，x2n）T中的x2i，且有借貸資金與自有資金投資中風險資產的投資比例向量相等：

x1i=x2i

也就是說，借貸資金的投資組合與自有資金的投資組合相同。根據自有資金和借貸資金的關系，可知：

X=X1+X2=X1 ? ? ?（3）

根據RP=RTX及σP=（XT∑X）

可求出X1組合曲線的預期收益率和標準差為：

R1P=RTX1

σ1P=（X1T∑X1）

可求出X組合曲線的方差為：

RP=RTX=RTX1=R1P

σP=（XT∑X）=X1T∑X1=σ1P

因此融資情況下投資組合的有效邊界曲線向右上方發生平移，變為圖1中曲線2的實線部分。

為了研究方便，假定交易費率C=（c1，c2，…，cn）T中，

c1=c2=…cn=c ? ?（4）

對于股票市場來說，這個假定是符合現實的。因此當投資者以最大融資比例融資時，風險最小化的投資模型為：

minσ2P=X1T∑X1st.RP=RTX1-c+（1-）rfeTX1=1≥γx1i≥0 ? ? （i=1，2，…，n） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（P1）

二、模型求解

為了求解模型（P1），本文首先對模型（P1）的第一個約束條件進行變形，令R*P為未扣除交易費用的證券投資組合收益，則：

R*P=RTX1 ? ? ? ? ? （5）

故模型（P1）的第一個約束條件可簡化為：

RP=R*P-c-（-1）rf （6）

其次，對模型（P1）的第三個約束條件進行化簡，可得：

RTX1≥? （7）

由于 0<γ<δ<1，因而<0

投資者要獲得大于的收益，在進行決策時，必須滿足：

RTX1>rf （8）

因此在（8）式成立的情況下，（7）式一定成立。所以第三個條件在投資者進行決策時是可以不予考慮的。而一旦（7）式不成立時，即RTX1≤?，則投資者被強制平倉。此時投資者的最大損失為：endprint

RTX1-c+（1-）rf

=-c+（1-）rf ? ? （9）

=-c+（1-）rf

所以模型（P1）可以化簡為與它同解的模型：

minσ2P=X1T∑X1st.R*P=RTX1RP=R*P-c-（-1）rfeTX1=1x1i≥0 ? ? （i=1，2，…，n） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （P2）

最后，為了求解模型（P2），本文仿照文獻[4]的幾何方法，在權重空間中對該模型進行分析。不失一般性，不妨設：

r1>，r2，>…>rn，σ11>，σ22，>…>σnn

因為有eTX1=1

即：x11+x12+…+x1n=1

故：x1n=1-x11-x12-…-x1，n-1

因而證券組合的預期收益率R*P和σ2P方差分別為：

R*P=x11r1+x12r2+…+x1，n-1rn-1+（1-x11-x12-…-x1，n-1）rn ?（10）

σ2P=x2 ?11σ11+x2 ?12σ22 +…+x2 ? ? ? ?1，n-1σn-1，n-1+（1-x11-x12-

…-x1，n-1）2σnn+2x ?11x12σ12+…+2x11x ? ? ? 1，n-1σ1，n-1+2（1-x11-x12-

…-x1，n-1）σ1n +2x ?12x13σ23+…+2x12x ? ? ? 1，n-1σ2，n-1+2x12（1-x11-x12-

…-x1，n-1）σ2n+…+2x ? ? ? 1，n-1（1-x11-x12-…-x1，n-1）σn-1，n ? ? ? （11）

由于x1i≥0 ? ? （i=1，2，…，n），因此在權重空間（x11，x12，…，x1，n-1）中投資權重只能由下列n個超平面圍成的區域Ω內：

（Δ）x11+x12+…+x1，n-1=1x11=0x12=0…x1，n-1=0

區域Ω內點MVP處的證券組合的預期收益率與方差可以通過求解模型（P3）來得到：

minσ2P=X1T∑X1s.t.=eTX1=1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （P3）

由拉格朗日（Lagrange）乘子法，可求得：

X1MVP=∑-1e

R* ? ? ?MVP=X ? ? ? ? 1MVPTR=RT∑-1e

RMVP=R* ? ? ?MVP-c-（-1）rf

σ2 ? ? MVP=X ? ? ? ? 1MVPT∑X ? ? ? ? 1MVP=

仿照文獻[7]中求解的幾何方法，可以得到種證券的第1類臨界線，它就是允許賣空的臨界線，其方程是一個含有n-2個線性方程的方程組：

a1 ?11x11+a1 ?12x12+…+a1 ? ? ? ? 1，n-1x1，n-1=b11a1 ?21x11+a1 ?22x12+…+a1 ? ? ? ? 2，n-1x1，n-1=b12…a1 ? n-2，1x11+a1 ? n-2，2x12+…+a1 ? ? ? ? ? ? ?n-2，n-1x1，n-1=b1 ? ? ?n-2 （12）

其中：

a1 ?ij=-

b1i=-+?（i=1，2，…，n-2，j=1，2，…，n-1）

在權重空間（x11，x12，…，x1，n-1）中，第1類臨界線與投資區域的邊界：

x11+x12+…+x1n交于點H1。

同理，可得到第2類臨界線，它的方程為：

a2 ?11x11+a2 ?12x12+…+a2 ? ? ? ? 1，n-2x1，n-2=b21a2 ?21x11+a2 ?22x12+…+a2 ? ? ? ? 2，n-2x1，n-2=b22…a2 ? n-3，1x11+a2 ? n-3，2x12+…+a2 ? ? ? ? ? ? ?n-3，n-2x1，n-2=b2 ? ? ?n-3x11+x12+…+x1，n-1=1 （13）endprint

其中：

a2 ?ij=-

b2i=+（i=1，2，…，n-3，j=1，2，…，n-2）

更進一步，可得到第k類臨界線，它的方程為：

ak ?11x11+ak ?12x12+…+ak ? ? ? ? 1，n-kx1，n-k=bk1ak ?21x11+ak ?22x12+…+ak ? ? ? ? 2，n-kx1，n-k=bk2…ak ? n-k-1，1x11+ak ? ? n-k-1，2x12+…+ak ? ? ? ? ? ? ? ? n-k-1，n-kx1，n-k=bk ? ? ? ? ?n-k-1x11+x12+…+x1，n-k+1=1x1，n-k+2=x1，n-k+3…=x1，n-1=0 ? ? ? （14）

其中：

ak ?ij=

-

b2i=+（i=1，2，…，n-k-1，j=1，2，…，n-k）

可得到種證券的第n-1類臨界線方程為：

x11+x12=1x13=x14=…=x1，n-1=0 ? ?（15）

則不允許賣空的證券組合的臨界線為一條連續但不光滑的折線，折點分別為：

H1，H2，…，Hn-2

折點Hk的坐標Hk1可由第k類臨界線方程和方程：

x11+x12+…+x1，n-k=1 （k=1，2，…，n-2）

求得，由此也可求得折點Hk處的預期收益率R*kP和方差（σkp）2。

由于：r1>，r2，>…>rn，σ11>，σ22，>…>σnn

故由臨界線性質可知：

R*n-1P ? ? ?=r1>R*n-2P ? ? ?>…>R*1P>R* ? ? MVP

（σn-1p ? ? ）2=σ11>（σn-2p ? ? ）2>…>（σ1p）2>（σMVP）2

因此，對于投資者的任意一給定的扣除交易費用后的RP，要使得模型（P3）有解，RP應滿足條件：

min（ri）-c-（-1）rf≤RP≤max（ri）-c-（-1）rf

（16）

由公式RP=R*P-c-（-1）rf可求出R*P。

如果：Rk-1*P ? ? ? ≤R*P≤R*kP ?（k=1，2，…，n-1）

則聯立第k類臨界線方程和公式（10）就可求得使證券組合的風險達到最小的最優權重Xk1，進一步可根據Xk=Xk1得到Xk，最后通過σ2p=（Xk）T∑Xk便可求得投資組合的最小方差。

結論

本文主要是針對目前中國證券市場已經引入了買空機制，投資者可以通過向經紀商融資來購買證券。在（下轉155頁）（上接136頁）這種情況下，投資者可以獲得以自有資金不可能實現的高收益率，但同時也承擔了更高的風險。而理性投資者總是希望既達到自己的投資目標又能使承擔的風險最小，我們給出了這種投資組合模型及其幾何解法，以便投資者更好地控制投資風險。這對于投資者在當前的股票市場環境下，確定最優的投資策略有非常現實的意義。

參考文獻：

[1] ?唐小我.組合證券投資決策的計算方法[J].管理工程學報，1990，（3）：45-48.

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[3] ?馬永開，唐小我.不允許賣空的證券組合選擇模型研究[J].預測，1999，（2）：49-68.

[4] ?屠新曙，王鍵.求解證券組合最優權重的幾何方法[J].中國管理科學，2000，（3）：20-25.

[5] ?黃思明，陳薇，楊國梁.摩擦市場上允許買空賣空的投資組合問題[J].中國管理科學，2006，（5）：28-32.endprint