鋼板剪力墻單側加勁肋的有效抗彎剛度

童根樹，楊 章，張 磊

（浙江大學 土木工程學系，浙江 杭州310058）

加勁鋼板已被廣泛應用于橋梁、航空器和船舶結構，目前正在推廣應用于高層建筑，即加勁鋼板剪力墻.加勁鋼板剪力墻與未加勁的鋼板剪力墻相比，能夠承受一定的豎向荷載，屈曲后的耗能能力更好，符合我國抗震設計的習慣.加勁肋的抗彎剛度對薄鋼板剪力墻的剪切臨界應力有很大影響.趙偉等［2］研究了加勁肋抗彎剛度對剪力墻彈性剪切臨界應力影響的函數關系，并研究了使加勁肋之間的板塊首先發生剪切屈曲（稱為局部屈曲）的加勁肋最小剛度.

為了獲得較好的經濟指標，高層民用建筑鋼結構設計規程建議采用單側加勁肋.不同于雙側對稱布置加勁肋的加勁板，單側加勁板發生彎曲屈曲變形時，加勁肋彎曲的中和軸，既不在板件的中面，也不通過加勁肋的形心，位置取決于板件縱向剛度參與加勁肋工作的程度，這種參與程度通常采用板件的有效寬度來表示.即取板件的一部分寬度，與加勁肋一起組成一個新的截面，這個新截面（在加勁肋是板條時即為T 形截面）的抗彎剛度就是能夠對板件起加勁作用的抗剛度.高層民用建筑鋼結構設計規程建議加勁肋兩側各取15倍板厚參與加勁肋的工作.但是這個15倍板厚的做法來自于鋼板屈曲后能夠承受鋼材屈服強度的有效寬度，并不是來自于加勁肋的有效剛度的計算.Schade［5］在上世紀50年代第1次對前面2種有效寬度做了區分.

對單側加勁肋的有效抗彎剛度的研究方式主要分2種，1）通過研究有效寬度確定有效剛度，2）直接研究單側加勁肋的有效剛度.

Karman［6］最早給出了無限寬度翼緣T 梁的有效寬度表達式.Schade［5］對布置多根單側加勁肋的加勁板的有效寬度進行研究.Wang等［10-12］用數值方法和有限元模擬對特定結構的加勁板有效寬度做了研究.Seide［8］提出把單側加勁肋等效為雙側加勁肋的等效剛度方法.Bedair等［9］采用能量法結合數值計算程序，研究了多根雙側和單側加勁肋的剛度.

當前，單側加勁肋的慣性矩計算的各種規范和建議并不一致［4］：美國規范AASHTO 以加勁肋和母板連接線為軸計算單側加勁肋的慣性矩，中科院力學所板殼組和日本道路橋梁示方書等采用的是單側加勁肋對母板中面的慣性矩，Bleich則建議單側加勁肋有效寬度為30倍板厚.

用于屈曲分析的單側加勁肋有效剛度是一個復雜的問題，無法得到一個能應用于不同領域的統一計算方法.目前，大部分的理論研究方法對象都是開口加勁肋，不考慮加勁肋剪切變形，數值解和有限元結果應用局限性比較大，而規范和建議的取值過于粗糙，由于缺乏理論分析，不能判定不同規范的規定是否總是偏于安全.本文針對建筑中鋼板剪力墻布置單側加勁肋的情況，將墻板和加勁肋離散成獨立個體，采用力法分析板和加勁肋的變形，通過板肋連接處的變形連續條件建立屈曲方程.得到單側加勁肋有效抗彎剛度的解析表達式，并給出剛度等效原則的有效寬度表達式，便于設計應用.

1 單側加勁剪力墻軸壓彈性屈曲

如圖1所示為不同單側加勁肋的有效截面，其中ts為加勁肋厚度，t為母板厚度，hs為加勁肋有效高度（板條加勁肋是板條底面到板中面距離，T 形和閉口加勁肋是翼緣中面到板中面距離），bs為加勁肋翼緣寬度，be為加勁板參與加勁肋工作的有效寬度.單側加勁鋼板剪力屈曲分析簡化模型如圖2（a）所示，長a，寬b，四邊簡支，居中布置單側加勁肋，加勁肋與板件承受均布壓應力σp.可設加勁板整體彈性屈曲撓度函數為

式中：w 為墻板平面外撓度，Ym（y）為墻板撓度y軸方向的形函數.m 為加勁板縱向屈曲半波數.

采用如下假定：1）小變形分析；2）墻板滿足薄板理論的假定；3）加勁肋采用Timoshenko梁理論.

如圖2（b）所示，對單側加勁墻板隔離受力分析，閉口截面加勁板等效分割為槽型加勁肋和墻板.記Fsz為板和肋之間的z軸方向相互作用力，Fsx為板和肋之間的x 軸方向相互作用力，板1為墻板的一半.對肋和板1進行獨立分析.

圖1 單側加勁肋的有效截面Fig.1 Effective section of one-side Stiffeners

圖2 加勁板及其隔離體分析Fig.2 Stiffened Plate and isolated analysis

1.1 加勁肋變形分析

加勁肋等效為簡支梁，如圖3所示.hc為加勁肋形心到被加勁板中面的距離，加勁肋彎曲撓度為

對應式（2）的彎曲撓度，Fsz和Fsx分布形式為

圖3 加勁肋受力分析Fig.3 Stiffener analysis

式中：Azm、Axm為待定常數.Fsz對形心軸彎矩為

Fsx對形心軸的彎矩和等效形心軸軸力為

均布壓應力產生的二階彎矩為

式中：wst為加勁肋的剪切變形，As為加勁肋截面面積.且wst與wsb滿足如下關系：

式中：Es、Gs為加勁肋材料的彈性模量和剪切模量，ks為有效截面剪切系數，Is，eff為加勁肋的有效慣性矩.由式（9）得到剪切變形為

由式（5）、（6）、（7）、（8）、（10）、（11）可得加勁肋上邊緣的z軸方向位移和x 軸方向應變：

圖4 板1受力分析Fig.4 Plate analysis

1.2 板的平面應力分析

記板1 中面正應力為σx、σy，中面切應力為τxy，則存在滿足平衡方程的應力函數φ，使得

板中面的平面應力問題相容方程為

參照屈曲波形的正弦變化規律，可設

式中：Φ（y）為應力函數y軸方向的形函數.

將式（18）代入式（17）求解Φ（y）的微分方程，得到

式中：A1、B1、C1、D1為待定系數.中面應力

式中：

記板1 中面正應變為εx、εy，中面切應變為εxy，E 為板彈性模量，μ 為板材料泊松比，則有

記板1中面x 和y 方向面內位移為u，v，則

式中：

式中：

1.3 板的彎曲應力分析

板1的面外撓度w，滿足平衡方程：

式中：A2，B2，C2，D2為待定系數，

板加勁處中面的z方向撓度：

1.4 墻板與加勁肋的變形協調

板與肋在連接處撓度和x 方向應變相同，即

把式（12）、（13）、（36）、（47），代入方程（49）、（50），得到關于常系數Azm、Axm的方程組：

式中：

要使得板肋相互作用力Fsz、Fsx有非零解（即發生屈曲），則方程組的系數行列式等于零，從而得到屈曲臨界方程：

其中，式（55）可以簡化為

Timoshenko給出了不考慮剪切變形的對稱加勁肋的屈曲臨界方程［5］，以本文符號表示為

若同樣考慮剪切變形則式（57）為

比較式（54）和（58）發現單側加勁板和對稱加勁板的屈曲臨界方程非常相似，可以對單側加勁肋取用有效慣性矩，從而把單側加勁問題轉化為對稱加勁問題，單側加勁肋有效慣性矩Is，eff表達式為

其中第2項即為偏心加勁效應帶來的附加慣性矩.

2 面外荷載下的抗彎剛度

正弦彎曲波形下的抗彎剛度是其他彎曲變形分析的基礎，故在加勁肋布置處施加z 方向正弦分布的外荷載為

式中：Bm為待定常系數.加勁板的撓度函數同式（1），同樣對加勁板進行隔離體分析，如圖5所示.

圖5 加勁板受彎分析Fig.5 Discrete the open-form stiffened Plates

在面外荷載作用下，加勁肋的受力變形和屈曲分析基本相同，但無軸力及其二階效應，肋上邊緣的z軸方向位移和x 軸方向應變為

板加勁處中面x 軸方向應變表達式同式（36）.

板1的面外撓度w，滿足平衡方程：

式中：A3、B3、C3、D3為待定系數.

式中：

如圖6所示為ξ1、ξ2 和板彎曲半波長寬比關系.

圖6 、 和加勁板半波長寬比關系Fig.6 、ξ2change by aspect ratio of plate

板加勁處中面的撓度為

把式（61）、（62）、（36）、（70）代入方程（49）、（50），可以求得面外荷載和加勁肋撓度的關系：

式中：Bps為正弦彎曲波形下加勁板的抗彎剛度.

從式（72）的組成看，第1項是墻板本身提供的抗彎剛度，第2項即為加勁肋提供的抗彎剛度.和屈曲分析的結果比較發現，2種荷載形式下加勁肋的有效慣性矩的表達式相同，即有效寬度由彎曲變形形狀決定.

3 加勁肋截面剪切系數

在Timoshenko梁理論中，按截面能量等效原則計算加權平均剪切應變角.單側板條加勁肋有效截面為T 形截面，但其中的翼緣板即有效寬度部分墻板的剪切變形已在板件平面彎曲分析中得到考慮，只需計算腹板部分剪切變形.因此：

式中：Sys為對加勁肋中性軸的截面靜矩，中性軸為加勁肋中應力為0的軸，記he為加勁肋中性軸到被加勁板中面距離，則

可推導求得he為

把式（75）代入式（59），簡化為

板條加勁肋的截面剪切系數為

T 形加勁肋的截面剪切系數為

式中：χ1 ＝2bs（hs-he）＋（hs-he）2.

閉口加勁肋的截面剪切形狀系數為

式中：χ2 ＝bs（hs-he）＋（hs-he）2.

如圖7、8、9所示給出了一定尺寸的板條，T 形、閉口加勁肋截面剪刀形狀系數和加勁助高跨此關系.

圖7 板條加勁肋截面剪切形狀系數Fig.7 Shear factor of plate-strip Stiffeners

4 ANSYS結果分析比對

采用有限元軟件ANSYS進行分析比對.模型分別選用板條加勁肋、T 形加勁肋和閉口加勁肋.選用不同的板長寬比、肋跨高比、板和肋厚度比和翼緣寬和腹板高比.母板和加勁肋均采用shell63單元，母板的網格劃分為60×60和80×80為主，網格劃分使計算結果差別小于0.1%.加勁板四邊簡支，加勁肋兩端簡支，μs ＝μ＝0.3，Es＝E ＝2×105.

圖8 T形加勁肋截面剪切形狀系數（λ＝π）Fig.8 Shear factor for T-Stiffeners（λ＝π）

圖9 閉口加勁肋截面剪切形狀系數（λ＝π）Fig.9 Shear factor for closed-form Stiffeners（λ＝π）

當屈曲分析時，壓應力施加在加載邊的節點上，中間各點節點力相同，兩端端點荷載為中間各點的一半.當面外荷載分析時，模型荷載施加在連接線上的節點上，節點力大小為正弦分布.

現給出母板寬厚比為100 的加勁板的理論和ANSYS數值分析結果對比如下：

4.1 屈曲系數結果對比

板條加勁墻板理論和Ansys的屈曲系數結果對比如表1 所示，其中，ERR 為相對誤差，ERR＝（理論值-Ansys值）／Ansys值×100%，T形勁墻板理論和Ansys的屈曲系數結果對比如表2所示，對單側閉口加勁肋板，Is，As計算截面為槽型截面，根據式（55）計算有效寬度.得到的結果如表3所示.

表1 板條單側加勁板屈曲系數Tab.1 Buckling factor of plates stiffened by ne-side strip

表2 T形肋單側加勁板屈曲系數Tab.2 Buckling factor of plates stiffened by T stiffener

表3 閉口肋單側加勁板屈曲系數Tab.3 Buckling factor of plates stiffened by one-side closed form stiffener

4.2 面外荷載下的抗彎剛度結果比對

板條、T 形和閉口加勁肋鋼板面外荷載下有效抗彎剛度的理論值和Ansys值對比結果分別為如圖10～12所示，縱坐標為加勁肋的有效剛度和自身剛度之比，橫坐標為加勁肋跨高比，加勁肋剪切變形隨跨高比變小而變大，從圖10～12可以看出理論值和Ansys值非常接近，兩者相對誤差不隨加勁肋跨高比而變化，說明剪切變形得到了正確計算.閉口截面加勁助Is、As計算截面為槽型截面，從圖12可以看出，式（59）的有效慣性矩表達式能很好地應用于閉口截面.

5 結 論

本文對被加勁鋼板發生屈曲時，單側加勁肋參與抵抗屈曲的有效抗彎剛度進行研究.加勁肋可以是板條、T 形截面和閉口截面加勁肋，墻板是有限寬度的.得到的結論如下：

圖10 板條加勁肋結果比對Fig.10 comparison of plate-strip Stiffeners

圖11 T形加勁肋結果比對Fig.11 Comparison of T-Stiffener

圖12 閉口加勁肋結果比對Fig.12 comparison for closed-form Stiffeners

（1）獲得了單側加勁板有效寬度的解析式.結果表明，有效寬度與板屈曲半波長和寬度的比值有關.考慮到墻板屈曲半波長又與加勁肋的有效剛度有關，加勁肋的有效剛度在研究加勁板屈曲的過程中才能加以確定.

（2）計算加勁肋等效慣性矩的中性軸位置介于板中面和肋形心軸之間.以板中面為中性軸來計算加勁肋的有效剛度，會使得慣性矩偏大.

（3）當加勁肋高跨比較大時，剪切變形影響不可忽略.Sapountzakis和沈嘉嘉［3］通過數值方法和有限元軟件分析發現有效寬度受加勁肋高度和母板厚度影響，原因就在于剪切變形.這也是目前各國規范和建議都沒有考慮的因素.

（4）計算加勁肋剪切變形的有效截面不包括有效寬度的板件，同時要根據真實的中性軸位置計算截面剪切系數.

（5）與有限元分析結果的比較表明，本文對3種截面形狀的加勁肋得到的有效剛度公式均具有很好的精度.

（

）：

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