有效去除定位偏差的TDOA／FDOA閉合解定位算法

2015-07-11 10:10:14黃高明

浙江大學學報(工學版) 2015年12期

周成，黃高明，高俊

（海軍工程大學電子工程學院，湖北武漢430033）

在目標輻射源所發射或者反射的信號中，含有從目標到接收站的時差（time difference of arrival，TDOA）和頻差（frequency difference of arrival，FDOA）測量信息，結合接收站自身的位置和速度信息，可以得到關于目標位置和速度的非線性方程組［1-4］.無源定位方程具有高度的非線性，最直接的方法是采用搜索法［5-7］對目標的定位估計值進行求解，即對目標定位所有可能的取值進行遍歷，并計算相應的目標函數，找到最優的目標定位估計值［8-10］.大量研究［11-13］發現，搜索法在較高噪聲的條件下仍然能夠保持較高的定位精度，但是存在計算量大，不滿足實時性的缺點［14-15］.Lu等［16］提出了一種基于最大似然估計的泰勒算法（Taylor）.該方法將無源定位方程在估計值處進行泰勒級數（Taylor-Series）展開，從而將非線性的無源定位方程轉化成線性形式.在噪聲比較小的情況下，定位精度能夠達到克拉美羅界（Cramér-Rao lower bound，CRLB）（CRLB是無偏估計器所能達到的最小估計誤差均方值），但該方法面臨初始點選擇敏感和不一定收斂的問題.Ho等［17］提出了經典的基于兩步加權最小二乘（two-step weighted least squares，兩步WLS）的TDOA／FDOA 定位算法.此算法將非線性TDOA／FDOA 定位方程轉化成偽線性方程，再通過兩步加權最小二乘運算，能夠快速得到解析解，在適度的高斯TDOA／FDOA 噪聲強度時，定位精度能達到CRLB，其在求解過程中不存在初始值選擇和收斂的問題，運算量也比迭代算法要小.兩步WLS算法是TDOA／FDOA 定位問題中經典的解析算法，具有閉合解的形式，得到了極其廣泛的運用.

迭代法與解析法在一定情況下均會導出較大偏差的目標定位估計值.這是因為無源定位方程是高度非線性的，為了使得方程線性化以便于求解，迭代的定位算法將目標在初始值進行Taylor級數展開，并忽略二階及二階以上的噪聲項，而具有解析解的兩步WLS 定位算法還采用了偽線性化的處理思路，在第一步的WLS過程中，引入了一個與目標定位值相關的中間量，并將其視為與目標獨立進行方程求解，導致了更大的偏差值［18］.

目前能夠有效減小定位偏差的方法主要有2種，一種是對定位算法的偏差進行估計，再從該算法的定位結果中減去偏差的偏差補償法［17-22］，該方法在對目標定位偏差實現有效估計的前提下，能夠極大地減小目標定位偏差值；另一種是BiasRed 算法［17，22］，該方法通過在定位算法中加入新的約束條件，對定位偏差進行約束，能夠將定位偏差值控制在一定的范圍內，但由于新增約束條件對噪聲敏感，會對定位的方差值造成影響.

針對上述2種方法，考慮到既要最大程度的減小目標的定位偏差，又要盡量小地影響原算法對目標定位的方差值，本文采用偏差補償法.針對具有解析解的兩步WLS定位算法，提出能夠有效去除定位偏差，具有閉合解形式的無源定位算法.該算法首先對兩步WLS算法在目標定位求解過程中的偏差值進行依次求解，得到最終的偏差值；再從兩步WLS算法的定位結果中直接減去該偏差值，得到經過偏差補償的目標定位解.

1 TDOA／FDOA 無源定位模型

考慮三維空間中的無源定位問題.利用M 個位置和速度準確已知的接收站對目標進行定位.假設各個接收站的位置為si＝［xi，yi，zi］T，速度為＝，i＝1，2，…，M，目標的位置和速度分別為uo＝［x ，y，z ］T和.其中，（＊）o表示含噪量（＊）的真實值.在三維空間中，需要M≥4個接收站才能完成目標定位，并且所有接收站不在同一條直線上或平面上，才能保證目標定位的唯一性.為了表述方便又不失一般性，假設第一個接收站為基準站.無源定位示意圖如圖1所示.

圖1 無源定位示意圖Fig.1 Passive localization scenario

第i個接收站到目標的距離為

為了有效利用FDOA 信息，對式（1）求時間微分可得

對式（2）求時間微分可得

在實際應用中，TDOA 和FDOA 觀測值存在誤差，可表示為

2 TDOA／FDOA 無源定位算法閉合解及其偏差分析

首先對文獻［16］所提出的TDOA／FDOA 閉合解形式的定位方法進行介紹.然后，針對該算法，對其定位偏差進行理論分析，得出定位的偏差值.最后，將原定位解減去偏差值的期望，得到一個有效去除定位偏差的新解.

2.1 TDOA／FDOA閉合解

文獻［16］所提出的兩步WLS算法在三維的情況下，至少需要5個接收站才能實現定位.具體的定位算法可以分為兩步加權最小二乘.為了方便后續偏差分析中公式的引用，在此僅羅列兩步WLS定位算法中必要的公式，算法的具體推導與實現請參見文獻［16］.

1）兩步WLS定位算法的第一步結果為

2）第二步：

2.2 偏差分析

在偏差分析中，假設為小噪聲環境［17］，即測量噪聲足夠小，二階以上的噪聲項對目標定位精度幾乎不產生影響.假設目標不靠近任何一個接收站，確保B1對噪聲不敏感［16］.將兩步5算法每個步驟的偏差值逐一分析如下.

1）第一步的偏差值Δθ1.

將式（8）中h1、G1的值代入式（13），得

對式（14）求期望，即可求得θ1的理論偏差值.但是，由于G1中含有TDOA 和FDOA 測量噪聲，求解的過程將十分復雜.為此，先給出θ1的理論偏差值，將在附錄A 中對其進行證明.

定理1 兩步WLS算法第一步定位結果θ1的偏差期望值為

其中，

H1（N ＋1，∶ ）和H1（2（ N ＋1），∶ ）分別表示H1的第 N ＋ 1 行和第 2 （N ＋1）行；Q （1∶M-1，1∶M-1）表示矩陣Q 的1 到M-1行、1到M-1 列所組成的新矩陣；qd是一個列向量，其元素由Q（1∶M-1，1∶M-1）的對角線元素組成.E ［Δθ1］的第一部分，H1［qd，0（M-1）×1］，是由于對測量值進行平方處理后，來自回歸量h1的二階噪聲分量；剩余部分的偏差來自于從屬變量G1中的噪聲.

2）第二步的偏差值Δθ2.

在式（10）的左右兩邊同時減去真實值θo2，得到誤差量為

將式（11）代入式（18）得

對式（19）求期望，即得到第二步的偏差值.

定理2 兩步WLS算法第二步定位結果θ2的偏差期望值為

其中，

c1和c2都是列向量，其值分別來自于C1（1∶N＋1，1∶N＋1）和C1（1∶N＋1，N＋2∶end）對角線上的元素.C1是θ1的均方誤差（mean squares error，MSE）矩陣，表示為

α、β、γ 的值以及定理2的證明將在附錄B 中進行詳細闡述.

3）總偏差值Δθ.

目標定位的真實值由θo表示，θo可以表示成

式中：θ為兩步WLS估計器對目標位置和速度的估計值，Δθ為目標估計的偏差：

在式（10）中，用uo＋Δu 替換u，用＋替換，用＋Δθ2替換θ2，可得

等式的右邊分別表示真實值、一階誤差項、二階誤差項，且有

故式（23）可以化為

式中：

對式（24）移項整理，得到總的偏差值為

結合式（19）和（26），可得Δθ與Δθ1的關系.

對式（26）取期望得

式中：

其中，C3是θ的協方差矩陣［16］.

式（27）是兩步WLS算法的目標定位理論偏差值.將兩步WLS 算法對目標定位的估計值減去其理論偏差值，就得到去除定位偏差后的目標定位結果：

式中：θ表示兩步WLS 算法對目標位置和速度的估計值.

在實際的求解偏差過程中，式（27）要用到目標位置和速度的真實值，而這兩者是未知數，需要用目標位置和速度的估計值來替換真實值進行計算.

3 定位性能分析

對于參數估計問題，CRLB 為任何無偏估計量的方差確定了一個下限，為無偏估計量的性能提供了標準.將去除定位偏差的TDOA／FDOA 的目標定位估計的協方差與CRLB進行比較.首先證明所提算法的目標定位估計值是無偏的，然后求出目標估計的協方差值，并與CRLB進行比較.

將CRLB的表達式表述如下［16］：

式（29）到（34）詳細的證明可以參見文獻［16］.

兩步WLS算法對目標位置和速度的估計結果可以表示為

將式（35）代入式（28）并取期望得

因此，所提出的算法對目標的位置和速度估計是無偏的.

求目標估計的協方差，利用式（28）和（35）可得：

將式（26）、（19）和式（A6）代入式（37），忽略二階以上的誤差統計量得

式中：

4 仿真實驗

為了檢驗本文所提算法的有效性，進行仿真實驗如下.利用6個接收站對目標進行定位，目標位置uo＝［2 000，2 500，3 000 ］T，速度＝［-20，15，40］T.6個接收站的位置和速度如表1所示.

表1 接收站的位置和速度Tab.1Position and velocity of receiver

由于TDOA 測量值與FDOA 測量值分別來自于目標的位置信息和速度信息，兩者不相關，假設由目標的TDOA 和FDOA 所組成的測量向量的均值為0，協方差為

式中：R 的對角元素全部為1，其余元素均為0.5［23］.σd為TDOA 測量誤差值，σf為FDOA 測量誤差值，并且假設σ2f＝0.01×σ2d［23］.對目標的位置和速度進行L＝10 000次的仿真實驗，定位的精度由均方根誤差和偏差來衡量，定義為

定義TDOA 測量誤差值的分貝表示形為

針對目標定位的均方根誤差，將兩步WLS 算法、Taylor算法、BiasRed算法以及本文所提出的算法進行比較，如圖2和3所示.其中，Taylor算法是將目標的真實位置和速度值作為初始值，采用高斯-牛頓迭代法對目標的位置和速度進行估計［15，17］.由仿真結果可得：對于目標的位置估計，當TDOA測量噪聲σ2d＜24dB 時，本文所提出的算法仍然能夠達到CRLB；當σ2d≥24dB時，隨著測量噪聲增大，小噪聲的假設條件已不再滿足，本文所提出的算法與兩步WLS算法同時開始偏離CRLB；而BiasRed算法在σ2d＝18dB時已經開始偏離CRLB，這是由于其在原兩步WLS算法中加入了新的約束條件，而該條件對噪聲較敏感造成的［17］.由于Taylor算法是將目標的真實位置和速度值作為初始值，其定位結果一直接近CRLB.但在實際的定位環境中，初始值的選擇往往與真實值存在一定偏差，很可能出現無法收斂的問題.對于目標的速度估計，當TDOA測量噪聲σ2d≤18dB 時，上述4種定位算法均達到了CRLB.隨著噪聲的增大，除了Taylor算法仍接近CRLB外，其余3種算法逐漸開始偏離CRLB，其偏離的原因是由于噪聲增大之后，小噪聲的假設條件已經不再滿足，忽略二階以上噪聲對目標的定位產生了嚴重的影響.

圖2 不同定位算法對目標位置估計的均方根誤差比較Fig.2 Comparison of RMSEs for source position estimates from different location algorithms

圖3 不同定位算法對目標速度估計的均方根誤差比較Fig.3 Comparison of RMSE for source velocity estimates from different location algorithms

圖4 不同定位算法對目標位置估計的偏差比較Fig.4 Comparison of bias for source position estimates from different location algorithms

圖5 不同定位算法對目標速度估計的偏差比較Fig.5 Comparison of bias for source velocity estimates from different location algorithms

針對目標定位的偏差，將兩步WLS算法、Taylor算法、BiasRed算法以及本文所提出的算法進行比較，如圖4和5所示.由仿真結果可得：1）當小噪聲假設仍然適用時，即當本文所提出的算法未偏離CRLB時，兩步WLS算法偏差的理論分析值與實際偏差值基本一致，證明本文所提出的方法能對兩步WLS算法的偏差值進行準確估計；2）當噪聲足夠小、4種算法的RMSE值都能達到CRLB時，Taylor算法的目標位置和速度估計偏差值分別比兩步WLS算法的偏差值小12dB 和4dB 左右，這是由于兩步WLS算法在求解過程中進行偽線性化處理以及WLS估計器中的回歸量h1與從屬變量G1中的噪聲相互交迭造成的［17］；3）當噪聲足夠小、4 種算法的RMSE值都能達到CRLB時，本文所提出的算法對目標的位置估計偏差比兩步WLS算法要小35dB 左右，比Taylor算法小20dB 左右，比BiasRed算法小30dB左右；對目標的速度估計偏差，比兩步WLS算法要小25dB 左右，比Taylor算法要小20dB左右，比BiasRed算法小15dB左右.這是由于在上述4種算法中，兩步WLS算法和Taylor算法并沒有進行定位偏差抑制方面的處理，其定位偏差程度較大；BiasRed算法是在兩步WLS算法的基礎上，加入新的約束條件，對第一步的偏差Δθ1進行抑制［17］，忽略了第二步的偏差Δθ2對總偏差的影響，其偏差程度較原兩步WLS算法會有所改善.本文所提出的算法是先對兩步WLS算法的目標定位偏差值進行估計，再從原估計值中減去總的偏差值，在噪聲較小、偏差估計準確的情況下，本算法能夠最大程度地去除定位偏差.

5 結語

相比于迭代法，本文提出的去除偏差的具有閉合解形式的TDOA／FDOA 定位算法無需初始值的估計，不存在收斂的問題.經仿真實驗驗證，在遠距離目標和小噪聲的條件下，本文算法算法與Taylor算法、兩步WLS 算法和BiasRed算法保持同等程度的定位方差，而該算法的定位偏差遠遠小于其余3種算法，證明該算法能夠有效的去除定位偏差，提高目標的定位精度.在下一步的研究中，將會進一步考慮在接收站自身的位置和速度參數存在誤差條件下的目標定位偏差去除問題.

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附錄A 定理1的證明

假設P1＝W1G1，代入式（14）得