掃描模式下海雜波的多分形布朗運動模型

孫 康金 鋼王超宇馬超偉錢衛平高梅國

①(北京跟蹤與通信技術研究所 北京 100094)

②(北京理工大學信息與電子學院 北京 100081)

③(中國空氣動力研究與發展中心 綿陽 621000)

④(電子科技大學自動化工程學院 成都 611731)

⑤(南京理工大學電子工程與光電技術學院 南京 210094)

掃描模式下海雜波的多分形布朗運動模型

孫 康*①②金 鋼③④王超宇⑤馬超偉①②錢衛平①高梅國②

①(北京跟蹤與通信技術研究所 北京 100094)

②(北京理工大學信息與電子學院 北京 100081)

③(中國空氣動力研究與發展中心 綿陽 621000)

④(電子科技大學自動化工程學院 成都 611731)

⑤(南京理工大學電子工程與光電技術學院 南京 210094)

為了提高航海雷達目標檢測性能，該文主要研究多分形布朗運動在掃描模式下雷達海雜波分形建模中的應用。該文驗證實測海雜波數據具有非對稱和尖峰厚尾的非高斯統計分布，并且具有分形特性；同時也證實實測數據在一定的情況下滿足多分形布朗運動的假設條件。在此基礎上，利用多分形布朗運動對實測數據進行建模，計算得到隨時間變化的H?lder函數，結果顯示不同距離區域的H?lder指數是不同的，目標處的H?lder指數大于海雜波處的H?lder指數。該文研究結果對后續目標檢測方法的提出具有很大的幫助作用。

目標檢測；海雜波；分形；多分形布朗運動；H?lder指數

1 引言

分數布朗運動(Fractional Brownian Motion, FBM)是一種自相似過程，對描述許多情況下出現的不規則信號具有很大的幫助。分數布朗運動模型已被大量用于海雜波特性分析和目標檢測中。文獻[1]以分數布朗運動作為數學模型描述雷達回波信號，提取出海雜波和目標回波的多種分形參數，并利用其固有的差異進行海上目標檢測，取得了較好的檢測效果。文獻[2]比較了海雜波與分數布朗運動的特征，得出海雜波與分數布朗運動具有相似的增量統計特性。與傳統相干處理和分形變分法相比，基于FBM模型的分形方法能得到較好的處理結果。文獻[3,4]引入分數布朗運動模型對S波段雷達實測海雜波數據進行了計算分析，證實了S波段雷達海面回波信號具有混沌分形特性，并在此基礎上提出了海雜波預測方法和海雜波背景下目標檢測方法。文獻[5]對比分析了高頻雷達實測海雜波數據、分數布朗運動模型和多重分形模型的質量指數函數和奇異指數。文獻[6]以海雜波分數布朗運動模型為基礎，初步解釋交叉標度現象出現的機理～，提出基于標度特性差異的目標檢測算法。文獻[710]對海雜波頻域和分數階傅里葉變換(FRactional Fourier Transform, FRFT)域的分形特性進行了分析研究，證實了海雜波在頻域和FRFT域上滿足統計自相似條件，具有分形特性，并且提出了相應的目標檢測方法。文獻[11]將分段分數布朗運動引入到雷達海雜波分形建模中，從頻域角度對海雜波頻譜進行分段描述。

然而，分數布朗運動模型要求在整個軌跡上的不規則特征是處處相同的。例如，當FBM模型用于人工合成山脈地形時，假設前提是山脈地形的每一部分的不規則程度都是相同的。而實際由于侵蝕等因素的影響，自然中的山脈地形每一部分的粗糙度都是不同的，顯然假設條件與實際情況并不相符合。為了克服上述存在的局限，文獻[12,13]相繼獨立提出了多分形布朗運動(multifractional Brownian motion, mBm)。該模型的參數H是一個隨時間t變化的連續的β-H?lderian函數，滿足0＜inftH(t)≤suptH(t )＜min(1,β)。

目前，關于海雜波分形特性分析和目標檢測方法的相關研究主要是針對高分辨雷達進行的，并且不論是駐留模式還是掃描模式，使用的實測海雜波數據反映的都是同一片海域不同時刻經海面反射雷達所接受到的回波信號，可以用一個時間的函數表示。而現階段使用的航海雷達所接受到的視頻信號表現為既是時間又是空間的函數形式。特別地，在雷達掃描線上的海面回波強度是空間距離的函數，并且由于采樣點數較少，限制了常用的分形方法在該情況下的研究和應用。本文的主要工作是引入多分形布朗運動作為描述掃描模式下的雷達海雜波的數學模型。本文首先介紹了多分形布朗運動的概念及參數估計，然后從實際的觀測數據入手，分析了海雜波的統計特性和分形特性，最后利用多分形布朗運動對海雜波進行分析建模。

2 多分形布朗運動

設(X,dX)和(Y,dY)是兩個度量空間。如果對任意x,y∈X，存在β＞0，使得當dX(x,y)＜1，有

則稱函數f:X→Y是具有指數β的H?lder函數。

設H:[0,∞)→(0,1)是具有指數β＞0的H?lder函數，如果一個隨機過程BH(t)(t)對于t≥0，滿足則稱隨機過程是簡化的多分形布朗運動，其中W是一個標準布朗運動。依概率1, BH(t)(t)是t∈[0,∞)的連續函數。

對任意t≥0, 0＜H(t)＜min(1,β)，如果存在唯一的一個連續正值函數tσt，使得隨機過程連續，且具有性質為

則稱該隨機過程為標準多分形布朗運動。

當H(t)=H, t≥0，多分形布朗運動和分數布朗運動是等價的；對任意t≥0，多分形布朗運動是近似自相似的，即

由此可以看出，多分形布朗運動是分數布朗運動的一種拓廣。因此，從某種意義上來說，多分形布朗運動損失了分數布朗運動本身原有的一些性質：mBm的增量過程實際上是非平穩的，mBm不再是自相似的。但是mBm的假設條件(即H是一個H?lder函數)細化了mBm的連續性。

設{Xi,n,i=1,2,…,n ?1}是mBm的離散形式，其在局部上(即適當長度為δ的窗內)表現為給定H?lder指數的分數布朗運動。于是，對部分K∈?+和H(·)∈(0,1]，可得到

其中j=i?δ,i?δ+1,…,i?q , i =δ+1,δ+2,…,n, q=1,2,…,δ。

基于此假設條件，文獻[14]在前人基礎上提出多分形過程的記憶函數的估計方法，得到一類H(t)的參數估計量，其表達式為

3 掃描模式下的海雜波分形特性分析

本文使用的海雜波數據是某船載導航雷達在航海過程中實時采集得到的，數據采集的范圍是以艦船為中心，半徑為10 km內的海域。雷達發射信號脈沖重復頻率PRF為1300 Hz，接收機采樣率為60 MHz。雷達掃描一圈用時2.4 s，接收得到的一圈回波數據有大約3120條數據線，每條數據線約有4000個采樣點。圖1是某一圈掃描采集到的雷達回波圖像。圖2是圖1中某一條掃描線上的海面回波幅度值。從圖2中可以看出，在近距離處，入射到海面的雷達信號強度大，后向散射的回波信號強度也大。從近距離處到遠距離處，回波信號的強度逐漸減弱。

3.1 海雜波的統計特性分析

通過計算實測數據的概率密度函數，得到其概率分布，其中某條掃描線實測數據的計算結果如圖3中實線所示。圖3中點劃線和虛線分別表示的是瑞利分布和與實測數據具有相同均值和方差的正態分布，可以看出，實測數據的分布函數與瑞利分布比較相近，而與正態分布不相符合；實測數據的分布不具有對稱性，有較長的拖尾，表明實測數據在時域上具有尖峰特性。

偏度γ1是衡量隨機變量對稱性的一個概率特征，刻畫了統計數據分布偏斜方向和程度。如果γ1＞0，意味概率密度函數右側的尾部比左側的長，分布的主體集中在左側，稱隨機變量具有正偏態分布；如果γ1＜0，意味概率密度函數左側的尾部比右側的長，分布的主體集中在右側，稱隨機變量具有負偏態分布；如果γ1=0，表示數值相對均勻地分布在平均值的兩側，稱隨機變量為對稱分布。正態分布屬于對稱分布。而峰度γ2是衡量隨機變量峰態的一個概率特征，刻畫了統計數據分布集中和分散的程度。如果γ2＞3，稱隨機變量服從尖峰態分布；如果γ2＜3，稱隨機變量服從低峰態分布。正態分布的峰度為3。通過計算實測數據得到，γ1=3.63, γ2=16.82。因此，實測數據具有非對稱性(正偏態分布)和尖峰特性(尖峰態分布)，故實測數據是非高斯的，與圖3的結論相符。

3.2 海雜波的長程相關特性分析

對數方差-時間圖法是判斷待測數據是否具有長程相關性的一種方法，利用該方法得到海雜波實測數據的log2var(xm)～log2m曲線，其中某條掃描線實測數據的計算結果如圖4所示，其中虛線表示的是斜率為?1的曲線。如果曲線的斜率大于?1，則被考察的信號序列具有長程相關性。顯然，實測數據的平均斜率大于?1，因此考察的海雜波數據具有長程相關性。

3.3 海雜波的分形特性分析

利用基于數學形態學和小波的兩種分形估計方法對海雜波距離向實測數據進行分析[15,16]。圖5和圖6分別是兩種方法的計算結果。從圖中可以看出，基于數學形態學的方法計算得到的log2(Ag(ε)/ε2)～log2(1/ε)曲線的斜率幾乎為1，而基于小波的方法計算得到的log2Γ(j)和分辨率j的曲線也近似于一條直線。從上面兩幅圖中的曲線特征，可以得出海雜波實測數據具有分形特性。

圖1 某一圈掃描采集到的雷達回波圖像

圖2 某一條掃描線上的海面回波幅度值

圖3 海雜波實測數據的概率分布函數擬合

圖4 海雜波實測數據的log2var(xm)～log2m 曲線

圖5 海雜波實測數據的log2(Ag(ε) /ε2)～log2(1/ε)曲線

圖6 海雜波實測數據的 log2Γ(j)～j 曲線

4 海雜波的多分形布朗運動建模

圖7是不同q值下的實測數據增量的概率分布，利用正態分布曲線對實測數據的概率分布曲線進行擬合，擬合誤差結果如圖8所示。從圖7和圖8中可以看出，當q=1時，海雜波的概率分布與正態分布存在較大差別；當q=5時，兩者的差別有所減小；當q=50時，海雜波的概率分布與正態分布近乎重合；當q=100時，兩者的差別稍微有所增加。因此，在q的特定取值范圍內，式(5)的假設對本文使用的實測數據是成立的。

(1)遠距離區域和近距離區域回波信號的H?lder指數的分析：從圖2中可以看出，隨著距離由遠及近，海雜波強度的變化是不一樣的。將整個回波數據分成近距離區域數據和遠距離區域數據。根據第2節的參數估計方法，取δ=30, q=10, k=2，計算遠、近距離區域的海雜波實測數據的逐點H?lder指數，結果如圖9所示。圖9(a)和圖9(b)分別是近距離區域和遠距離區域海雜波數據的幅度波形和H?lder指數，從計算結果中可以得到：第一，對于近距離區域，H?lder指數小于某一數值，在本例中為0.6；第二，對于遠距離區域，H?lder指數也小于某一數值，在本例中為0.3。因此，近距離區域和遠距離區域的H?lder指數是不一樣的，前者的變化范圍要大于后者的變化范圍。分析認為，海雜波可以看作是較大起伏表面疊加了一些快速變化的小起伏。當觀測區域較近時，由于離雷達距離近，散射點分布豐富。某些散射點雖然相互間存在著細微的變化，但是它們處于同一個大的起伏表面，所在的區域具有一定的平滑作用，使得散射點回波不規則程度相對較弱，此時的H?lder指數較大；另一些散射點除了相互間具有細微變化，而且它們分別處于不同的起伏表面，散射點回波不規則程度較強，此時的 H?lder指數較小，所以，近距離區域存在較大范圍的H?lder指數變化；當觀測區域較遠時，信號的分形特征主要由相距較遠的散射點之間的關系決定，同一起伏表面的平滑作用逐漸消失，散射點回波不規則程度較強，因此，遠距離區域的H?lder指數變化范圍較小。

圖7 不同q值下的實測數據增量的概率分布

圖8 不同q值下的擬合誤差

圖9 海雜波實測數據的幅度波形和對應的H?lder指數

(2)有目標和無目標回波信號的H?lder指數的分析： 圖10是第9圈含有目標的掃描數據線的幅度波形和H?lder指數。從圖中可以得到：第一，近距離區域，目標處的H?lder指數大于某一數值，在本例中為0.6；第二，遠距離區域，目標處的H?lder指數也大于某一數值，在本例中為0.3；第三，無論是近距離區域，還是遠距離區域，相同區域內目標處的H?lder指數值大于同一區域內雜波處的H?lder指數值，即。原因分析為，相對于海雜波，目標表面光滑，散射點分布較均勻且差別很小，后向散射的回波強度變化微弱且緩慢，故H?lder指數較大；而由于海面起伏，散射點分布不均勻，海雜波具有較強的復雜性和不規則性，故H?lder指數較小。分形維數D與H?lder指數H有如下關系，即D=2?H，因此，海雜波處的分形維數值大于目標處的分形維數值，這與前人的研究結果是一致的。

5 結束語

圖10 第9圈某掃描數據線的幅度波形和對應的H?lder指數

本文介紹了多分形布朗運動及其參數估計，運用統計和分形的計算方法，對掃描模式下的實測海雜波數據進行了判定，證實了此種情況下的海雜波具有非對稱和尖峰厚尾的非高斯統計特性，同時也具有分形特性。本文利用多分形布朗運動對實測數據進行建模，計算了隨時間變化的H?lder函數。研究發現：(1)近距離區域和遠距離區域的海雜波實測數據的逐點H?lder指數是不同的，而且前者的變化范圍要大于后者的變化范圍。(2)目標處的H?lder指數和海雜波處的H?lder指數存在較大差別，前者的H?lder指數值大于后者的H?lder指數值。該研究結果將有助于對海上目標進行有效檢測，后續將對海上目標檢測方法和參數設置等問題做進一步的研究。

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孫 康： 男，1985年生，博士后，研究方向為寬帶雷達信號處理、雷達海上目標探測.

金 鋼： 男，1958年生，研究員，研究方向為信息與信號處理、光學工程.

王超宇： 男，1985年生，博士生，研究方向為壓縮感知雷達目標成像.

Modeling Sea Clutter in Radar Scanning Mode by Multifractional Brownian Motion

Sun Kang①②Jin Gang③④Wang Chao-yu⑤Ma Chao-wei①②Qian Wei-ping①Gao Mei-guo②

①(Beijing Institute of Tracking and Telecommunications Technology, Beijing 100094, China)

②(School of Information and Electronics, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

③(China Aerodynamics Research and Development Center, Mianyang 621000, China)

④(School of Automation, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731, China)

⑤(School of Electronic Engineering and Optoelectronic Technology, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

To improve the detection performance of marine radar, the application of multifractional Brownian motion to modeling the radar sea clutter in the scanning mode is studied. It is verified that real sea clutter data submit to a non-Gaussian distribution with asymmetry, high peak and heavy tail, and have fractal characteristics. In some cases the assumption of multifractional Brownian motion for the real data is satisfied. On the basis of this analysis, the real data are modeled by using the multifractional Brownian motion, and the time-dependent H?lder function of the real data is calculated. The results show that the H?lder exponents of different regions are not the same, and the H?lder exponent of target is significantly larger than that of the sea clutter. The research results are helpful to design a reliable detection method.

Target detection; Sea clutter; Fractal; Multifractional Brownian motion; H?lder exponent

TN959.72

： A

：1009-5896(2015)04-0982-07

10.11999/JEIT140730

2014-05-29收到，2014-09-03改回

*通信作者：孫康 sunkang_me@163.com