合情推理能力的本質解讀與培養方法淺析

莫正云

[摘 要]《數學課程標準》指出：“數學教學要讓學生能根據解決問題的需要，收集有用的信息并進行歸納、類比與猜測，發展初步的合情推理能力。”因此，課堂教學中，教師要引導學生經歷數學思考的過程，使他們感悟合情推理的方法，培養與發展學生的合情推理能力。

[關鍵詞]數學教學 數學思考 合情推理 培養

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）08-056

《數學課程標準》指出“數學教學要讓學生能根據解決問題的需要，收集有用的信息并進行歸納、類比與猜測，發展初步的合情推理能力”，這里說明了培養學生合情推理能力的重要性。而小學生的年齡和認知特點也決定他們不可能通過嚴密的邏輯推理去獲取知識，數學猜想、列舉歸納、類比遷移等合情推理的方法便成為他們重要的學習方式。

一、對合情推理的本質解讀

推理主要有演繹推理、歸納推理、類比推理。其中，歸納推理有完全歸納和不完全歸納兩種情況，完全歸納是確定性推理，不完全歸納是或然性推理。人們把結論具有或然性的不完全歸納推理和類比推理稱為合情推理。數學合情推理是直接反映數學對象、結構以及關系的思維活動，思維者不是按部就班地進行推理，而是對思維對象從整體上進行考察，調動自身的全部知識經驗，通過豐富的想象做出敏捷而迅速的假設、猜想或判斷，這種思維過程是由特殊到一般的推理過程。科學家凱德洛夫明確指出：“沒有任何一個創造性行為能離開合情推理。”也就是說，任何一個概念的建立，總是先猜測、發現一定的規律、內容，再進行檢驗、完善、修改，然后加以類比。其中一次次的嘗試，需要充分運用的不是論證推理，而是合情推理，其實質是“發現——猜想”。

二、培養合情推理能力的方法

徐利治教授指出：“數學合情推理能力是可以后天培養的，實際上每個人的數學合情推理能力也是不斷提高的。”那么，如何在課堂教學中使學生學會合情推理，掌握合情推理的方法，進而形成合情推理的能力呢？

1.創設問題情境，激發猜想的需要

一切探究活動都是從問題開始的，只有當學生自己感到問題的存在，不得不問“為什么”“是什么”“怎么辦”時，思維活動才真正開始。因此，要使學生學會合情推理，教師要善于把教學內容改編成適合學生推理的內容，設計能夠激發猜想的問題。

（1）增強生活趣味。

教師可根據教學內容、生活實際和學生的求知心理，把學生引入參與問題解決的情境中，激發他們的學習興趣，使他們產生進行推理的動機。例如，教學圓錐的體積計算公式時，教師可創設這樣的情境：“誰能猜猜圓錐容器中的果汁有多少？（提供選擇的范圍）猜對了就送給他。”第一杯猜對了，學生很想再猜第二次，教師馬上拿出第二杯果汁——高度不變，但底面積變大。有學生猜出果汁比原來多，于是教師又送出第二杯果汁。這時，其他學生急了，嚷著還要猜，教師拿出第三杯果汁——體積變高，但底面積變小了。有學生猜果汁變多了，有學生猜果汁變少了，最后學生通過討論一致認為不好猜。教師問：“看來，圓錐的體積和什么有關？（底面積和高）下面，讓我們用實驗一起驗證我們的猜想。”……以游戲的形式創設與學生密切相關的生活情境，再引導學生合情推理圓錐的體積計算公式，教學自然水到渠成。

（2）增強數學思考性。

根據學生學習水平設計具有探索性、挑戰性的數學問題，同樣可以激發學生猜想的需要。例如，教學“圓面積”一課時，教師可先提供圓面積與半徑的關系（如右圖），讓學生猜想圓面積和半徑有怎樣的關系、圓面積大約在什么范圍內。學生邊觀察邊猜想，從圓面積與外接正方形面積的估計中，從以半徑為邊的小正方形面積與圓面積的包容比較中，進行多種猜測和估計。這樣就初步從整體上把握圓面積大小的本質，進一步理解與解決問題了。

2.結合教學內容，滲透合情推理的方法

（1）在不同知識領域中運用。

其實，學生合情推理能力的培養在“數與代數”“統計與概率”及“實踐與綜合應用”等課程內容中也有體現。例如，在“數與代數”的教學中，計算要依據一定的規則（如公式、法則、運算律等），而計算中的推理（算理）、現實世界中的數量關系等，往往有其自身的規律。如找60的因數，不同的學生會得到不同的結果：6和10;3和20;1和60……學生進行討論交流時，會發現這幾對因數之間的關系：6乘2得12，10除以2得5，60的一對因數是12和5……如果學生繼續舉例探究，會這樣歸納：把一對因數中的一個因數除以某個數（商是整數），另一個因數乘以這個數，就能得到一對新的因數。在這樣的過程中，學生實際上運用了合情推理中的簡單歸納推理。

（2）在新舊知識聯系中運用。

教師在教學中要將新知識與舊知識進行類比，既可以降低新知識的教學難度，起到化難為易的作用，又可以鞏固學生已學的舊知識，溝通新舊知識間的聯系。例如，教學“分數的基礎性質”時，教師可以先讓學生復習商不變的規律，然后引導學生：“如果把每個除法都改寫成分數，推理一下，分數是不是也有什么性質呢？”經教師啟發后，學生發現分數的分子、分母相當于除法里的被除數、除數，既然在除法中有商不變的規律，那么分數里也應該存在分數大小不變的規律，進而發現“分數的分子和分母同時乘或者除以相同的數（0除外），分數的大小不變”這一基本性質。

3.提供豐富的素材，搭建合情推理的階梯

合情推理能力的培養，是以學生已有的數學知識和經驗為基礎的。因此，教師要為學生提供合適的學習素材，激活學生相關的知識與經驗，為學生搭建、接近正確結論的階梯。例如，教學“探索圖形覆蓋規律”一課時，教師為學生提供以下充足的探索素材：1～10、1～15、4～15三種不同的數表，每次框2個數、每次框3個數及每次框4個數的數框。教師提問：“有幾種不同的和可能與什么有關？”學生有的說與框的總數有關，有的說與每次框的個數有關，還有的說與數框平移的次數有關……然后教師組織學生根據猜想和提供的材料進行小組合作探究，學生通過多次實驗比較及不完全歸納得出結論：數的總個數-每次框的個數+1=不同和的個數。試想：“如果教師不提供上述素材，直接提出猜測的問題，則學生的推理會變成沒有任何思維含量的臆測。如果教師提供的只是一種數表或一種數框，學生的推理就顯得片面、不完整，給人巧合的感覺，其結論當然不為學生所信服。”

4.分析驗證結論，發展合情推理的能力

培養合情推理的能力，還可以選取一些典型的數學結論的創造過程，讓學生通過模仿和實踐驗證，在實踐活動中發展合情推理能力。例如，教師可以利用多邊形內角和的公式，引導學生通過列舉三角形、四邊形、五邊形、六邊形等圖形的內角和，經過計算明確內角和計算公式的來龍去脈，使學生的合情推理能力得到進一步發展。

三、合情推理能力的培養要明確幾個問題

1.合情推理能力的培養不是孤立的

合情推理與演繹推理既不相同，又相輔相成，兩者緊密結合。由合情推理得到的猜想，往往通過演繹推理得出證明;演繹推理需要建立在合情推理的“發現——猜想”之上。合情推理能力不是孤立發展的，必須與觀察力、想象力、創造力、表達力等多種能力相互作用，才能得以發展。

2.合情推理能力的培養具有差異性、層次性

合情推理能力的培養必須考慮學生的身心特征與學習水平，注意層次性。同時，教師還要關注學生的個體差異，因為不同學生的知識水平、思維方式不同，思維能力的形成會存在較大差異。課堂教學中，教師應針對學生的個體差異，制定不同的要求，把學生掌握推理的過程變為學生的自覺要求。長此以往，學生獲得的不僅僅是知識，更重要的是數學思維的發展與數學素養的提高。

（責編 杜 華）