基于數學開放題的開放性教學探究

【摘 要】深刻理解數學開放題的本質，領會開放性數學教學的理念和方法，用開放的思想分析教材、設計教法，駕馭課堂，以數學開放題為載體真正有效地開展開放性數學教學。以生為本，充分體現學生在數學習題教學中的主體地位，從而培養其數學思維水平，提高其數學創新能力，真正體現數學習題教學的意義所在。

【關鍵詞】高中數學;開放題;開放性教學

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）22-0040-03

【作者簡介】毛慶華，江蘇省江陰高級中學（江蘇江陰，214443）教師。

在我國的基礎教育中，數學是一門非常重要的科目，對學生素質發展乃至整個社會發展意義重大。其中數學習題教學對學生的抽象思維能力與邏輯推理能力等方面的訓練和培養起到非常重要的作用。然而，當前我國的數學習題教學現狀卻令人擔憂：教學樣式往往過于統一，基本上是學生先看例題，期待其在原有知識儲備的基礎上找出解決辦法，然后教師示范，得出結論，進而由教師精選練習讓學生“實戰演練”乃至多遍鞏固。應該說，這種傳統的習題教學理念，即“記公式定理、套題型解法”，有一定的可取之處，因為常規練習可以加強學生 “雙基”能力的提升，然而一旦遇到那種非常規的求異思維問題時，學生往往會一籌莫展。特別是面對對未知領域的較深刻程度的探索問題時，學生更是無從下手。長此以往，學生的思維發展必然嚴重受滯，創造性活動更無從談起。

例如，筆者曾經讓學生解決這樣一道題目：

已知α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線，則下列四個論斷：①m⊥n; ②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α。以其中三個論斷作為條件、余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題：

從實際情況來看，學生還是能解決這個問題的，但大部分人在解題時容易“避難就易”，深入思考的偏少，還有的學生對解題方向的把握和調節水平較低，以致最終呈現出來的可引起深層次研究的答案鳳毛麟角，令人遺憾。

由此可見，突破常規的，能夠培養學生發散性思維和創造性思維能力的數學解題教學在教學過程中必須加強，對教師的教學方式和學生的學習方式的改革已經勢在必行。基于此，作為近些年日漸熱起來的數學開放題經常被搬進課堂，以數學開放題為載體的數學開放性教學也風生水起，方興未艾。

一、了解數學開放題，準確理解并把握開放性教學本質

所謂數學開放題教學，是指以一個開放性的數學問題作為教學內容載體和背景，它可以是條件開放、策略開放或者結論開放，也可以是綜合開放。開放題所給條件和得出的結論之間并不存在固有的充分必要的聯系，答案也可能具有豐富性多樣性，提問方式的設置上也更多地考慮讓學生進行角度不同、層次各異的探索。

開放性的教學無疑會極大提升學生的發散思維。然而，在實際教學過程中，數學開放題以什么形式開展和呈現，如何收放自如，如何讓學生學習效果和能力提升達到最大化，這是擺在廣大教師面前的一個課題。

當然說到數學開放題教學，很多人會與當下流行的開放性教學聯系起來，那么二者到底有何聯系？在實際教學過程中能否將其有機結合起來進行教學呢？

實際上我們認為，起碼要具備以下幾個條件才能開展數學開放題的課堂教學。首先要有適合的、確切的數學開放題。其次，教學過程中，學生充當數學活動的主體這一點是根本前提。學生自主探究能力的培養是開展開放題教學的最終歸宿，教師在教學活動中特別要注重問題的提出和解決方式，循序漸進同時又要根據學生不同的層次而設置有區別的教學。更合適的情況是，教師是引導課堂師生有效互動以及資源和過程生成的有力促進者。

開放性的數學教學則強調的是學生參與教學活動、學習過程、學習評價和學習反饋等方面的開放性。教師靈活運用多樣的教學方式來引導學生積極思考，主動參與到數學活動中，讓學生用自己的學習方式去獲得數學概念、法則，了解定理，乃至最終實現再創造。日本學者橋本吉彥曾定義：所謂的開放性的數學教學，就是在學生和數學的互動活動中，促進多種問題解決方式的生成，就是讓學生能用他們很有信心的一種方式去深入觀察并細致解決數學問題，同時在問題解決的過程中，學生的數學思維也得到相應的促進，乃至最終還有創造性的發現和認識。

由此，我們可以看到，數學開放題的教學和開放性的數學教學在很多地方都大同小異，比如，開放都是主旋律，教學過程中都特別重視以學生為主體，讓學生在自由和諧的學習氛圍中，共同探索，相互合作，從而不斷豐富數學思維方式，不斷提高問題解決的能力。但是我們也要清楚地看到，前者更多的是強調以數學開放題作為載體來豐富教學活動，后者更注重教學理念和教學方式。只有題目，而未賦之于開放性的教學理念，就不可能真正成就有效的數學開放題教學，數學開放題教學所能體現的教育價值和效果也就成了一句空談。反之，只有形式，缺乏教學內質，特別是沒有適切的數學開放題，教學目標和教學要求也會成為鏡花水月、空中樓閣。因此，深刻理解數學開放題的本質，領會開放性數學教學的理念，并在課堂教學中將二者有機結合，才能真正有效地開展開放性數學教學。

二、立足數學開放題，真實有效地開展數學開放性教學

開放性數學教學對培養學生的創新精神和實踐能力有卓有成效的作用，同時還能有效地轉變學生的學習方式，那么教師如何在實際教學中開展與開放題有關的教學呢？

1.正視學生差異、注重因材施教。

因實際情況所限，現行教學基本以大班課堂為主，學生之間一般也有較大的差異，教師必須正視學生差異，注重因材施教。開放題教學初始階段，一般以簡單的封閉的問題呈現在學生面前為宜，以便基礎稍差的學生也能積極參與其中，理解和接受。當封閉問題得到有效解決之后，教師可以將封閉問題改編成開放問題，引導學生將問題展開，逐步深入研究。這種策略下，既有中下層學生以愉快的心態參與學習，而數學能力較強的學生也會對此饒有興趣從而使不同層次的學生都能學有所獲。

2.凸顯教學主線，明晰探究主題。

開放題的教學過程中，問題的呈現要脈絡清晰，探究的主題要明確簡練，每一節課盡量只解決一個或兩個中心問題，切忌鋪陳太大，過于雜亂，教師興趣所指，容易造成學生知識結構雜亂、含混，也容易導致學生精神不濟，注意力分散。

3.切忌買櫝還珠，注重按名責實。

開放題教學中常常發現，由于教師容易受自身傳統教學的慣性影響，對開放題也用注入、灌輸的方式來教學，以至于最終其實是上成了一節封閉課。基于此，以數學開放題為載體的開放性教學勢在必行。這種開放性教學不是對學生單一解題模式的訓練，而是最終培養學生分析問題、解決問題的能力并增進其創新意識和創新能力。事實上，模式訓練僅僅促使個體被動接受。而能力的培養則是促進個體以主動的態度進行同化、順應、頓悟，從而讓促進學生的終身發展名副其實。

4.創設良好氛圍，促成自主學習。

在開放題的教學過程中，特別是對問題的分析思考、求解論證的進程中，學生應始終處于積極、主動的狀態;教師是問題解決的指導者，教師的作用應該主要體現在提示、引導、評價和激勵上。

（1）首先數學課堂環境應該輕松愉快。教師可以嘗試多種呈現題目的方式，如實物演示、動畫展示，或直接讓學生通過操作圖形計算器、幾何畫板等數學軟件去探究問題。

（2）根據學生已有的知識儲備，提出問題，激發其探究問題的欲望，真正使學生的主動參與行之有效。

（3）課堂教學中教師要善于“留白”，拿出相對充裕的時間給學生，讓學生通過自由發言、討論，凸顯學生學習的主體地位。這種做法可以改變教師習慣性的根據預設來控制課堂進程的格局，更多地是根據學生課堂的即時反應來調控教學過程。

（4）注重小組合作學習，教師可以嘗試讓大班教學與小組合作、個別指導相結合。通過合理分組，讓每個小組成員都能主動參與，并因人而異，讓不同學習水平的學生，解決不同水平的問題。

5.正確定位角色，教師重在指導。

在開放題教學中，教師要善于吸收各種信息，并進行有效整合和重組，時刻關注不同層次學生的反應，教師還要經常去收集學生的反應，如現場采訪、問卷調查等等，主要是了解學生對這種教學模式的反饋意見，從而有效調整實際的教學。

筆者就前面提出的問題在探索課堂上開展開放性數學教學作出一些嘗試。

附：基于數學開放題的數學開放性教學案例：

一、教學目標

1.通過引入高考試題，加強探究，激發學生研究數學開放題的興趣和欲望。

2.在問題解決、改進拓展的過程中，提高學生分析問題、解決問題的能力。

二、設計意圖

本題作為高考題，同時也是一道數學開放題，但開放度比較低，探究的層次和深度遠遠不夠，教學中嘗試將此開放題作一定的拓展處理，變更題目的部分或全部條件，然后去探究組成新命題的真偽，從而激發學生的探究欲望和興趣，進而提升學生分析問題和解決問題的能力。

三、教學過程

1.問題引入：題目呈現見前文內容。

2.問題解決。

（1）分析：本題從形式上來看，條件和結論都是開放的，但它們卻是相關的，只要條件（或結論）確定了，結論（或條件）也會隨之而確定，從而組成一個命題，所以，從這個角度來看，這個問題的開放度不是很大。

學生在獨立思考、組內交流之后，一般都能得到組成命題的四種情形：①若m⊥n，a⊥β，n⊥β，則m⊥a;②若m⊥n，a⊥β，m⊥a，則n⊥β;③若m⊥n，m⊥a，n⊥β，則a⊥β;④若n⊥β，a⊥β，m⊥a，則m⊥n。

（2）將學生得到的四個命題呈現在黑板上，組織學生分小組進行討論，辨析命題的真偽，不難得到①②兩個命題是假命題，③④是真命題。

3.拓展延伸。

（1）如果把上述問題中的垂直都改成平行的話，那么，同樣以其中三個論斷作為條件，余下一個作為結論，能得到什么正確的命題？

學生繼續探究和解決，充分體會到數學開放題的特性和魅力，通過類比的思想方法可以得到①②兩個命題是真命題，而③④是假命題。

（2）如果把上述問題中的“部分垂直”改成“平行”，那么結果又會如何呢？

（3）如果任選其中的三個論斷作為條件，還能得到與題中相異的另外一個論斷，使之成為真命題嗎？

可以讓學生自己修改命題，并進行小組交流和討論，如果時間不夠，可以放在課后繼續探究。

根據高中學生的年齡特點，遵循學生的認知規律，筆者認為基于開放題的高中數學開放性教學是有規律可循的，“創設情境—導學探究—合作交流—總結推廣”的基本流程，充分體現了學生“提出問題—解決問題—遷移延伸”的認識過程，也完全符合“定向—內化—發展”的心理活動規律。

其實，不僅是開放性數學教學，創新教育、發散思維的培養、探究教學等，都可以以開放題作為載體，來進行更為深入的研究。

【參考文獻】

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