排列組合問題中的思想方法

張明艷

【摘要】排列組合問題是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要問題.在學(xué)習(xí)排列組合問題時(shí)，滲透了很多數(shù)學(xué)思想， 有鑒于此，歸納總結(jié)常見的數(shù)學(xué)思想對于學(xué)好這部分知識大有益處。本文通過一些例題來介紹幾種在學(xué)習(xí)排列組合中常見的數(shù)學(xué)思想.

【關(guān)鍵詞】 排列組合 分類思想 數(shù)形結(jié)合思想 對稱思想

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）03-0204-02

一、引言

排列組合在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是較為獨(dú)特的部分，它研究的對象及研究問題的方法都和以前學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識很不相同.這一部分內(nèi)容，與舊知識的聯(lián)系較少，卻又顯得比較抽象，解題思路與方法比較靈活，是發(fā)展邏輯思維能力的很好的內(nèi)容.排列組合專門研究離散事物按照一定的規(guī)則安排或配置的不同方法，通過這一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，我們可以學(xué)到某些方法.本文將就這方面的問題進(jìn)行探討，以便加深對排列組合解題方法的理解.

二、分類思想

分類思想是排列組合中最為常用的數(shù)學(xué)思想，它就是按照某一確定的標(biāo)準(zhǔn)，把所要研究的對象分成若干個(gè)既互斥又完備的子類的思想。

排列組合問題最常用的方法是分類法，它的基本思想是：當(dāng)被研究的問題包含多種可能的情況，導(dǎo)致我們不能對它們一概而論的時(shí)候，迫使我們按可能出現(xiàn)的所有情況來分類討論，得出各類相應(yīng)的結(jié)論.

例1.都會劃船的10人乘小船游湖，會劃左槳的有6人，會劃右槳的有7人.從中選6人平分在小船的兩舷劃槳，不考慮同側(cè)3人的順序，有多少種選法？

解：由題意，左右槳都能劃的有3人.從左右槳都能劃的3人中選去劃左槳的人數(shù)，符合題意的選法可分為四類：左右槳都能劃的3人中沒有被選去劃左槳；左右槳都能劃的3人中恰有1人被選去劃左槳；左右槳都能劃的3人中恰有2人被選去劃左槳；左右槳都能劃的3人都被選去劃左槳.而第一類選法可分為兩步：先從只會劃左槳的3人中選出3人（有種選法）；再從會劃右槳的7人中選出3人（有種選法）.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，第一類選法共有種選法.同理可得，其他三類選法數(shù)分別為根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，符合題意的所有選法數(shù)為

例2.七個(gè)人排成一列，甲不在首位，乙不在末位，共有多少種不同的排法？

分析：考慮元素甲，題中要求甲不在首位，因此甲只能在另外六個(gè)位置上，又題中對末位元素有限制條件，而對中間五個(gè)位置未加任何限制，所以可將符合條件的排列分為“甲在末位”和“甲不在末位”兩類.

所求七人的排法有： 甲在末位時(shí)，有種； 甲不在末位且甲不在首位時(shí)，有種

根據(jù)加法原理知，符合條件的排法有

由上可知，對帶限制條件的全排列或選排列問題，可以按某一特殊元素“在某一特殊位置”和“不在這一特殊位置”一分為二地分成兩類分別計(jì)算排列數(shù)，然后根據(jù)加法原理相加得解.

三、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，把數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題或把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題來研究的思想.對于某些較為復(fù)雜的排列組合問題，可利用數(shù)形結(jié)合思想，用構(gòu)造幾何圖形的方法求解.這樣可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)美.

例3.同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的拿法有多少種？

則D拿C'， C拿D'.這種拿法可表示成異面關(guān)系的兩條棱，而這樣的棱共有3對，所以第一類拿法有3種，第二類是4人循環(huán)拿，例如A拿B'， B拿C'， C拿D' D拿A'，（或反序循環(huán)），在圖中表示為由4條首尾順次相接的棱構(gòu)成的空間四邊形ABCD，且四邊形ABCD的對角線是一對“異面直線棱”，因?yàn)閳D中共有3對這樣的棱，所以圖中共有3個(gè)不同的空間四邊形，而每個(gè)空間四邊形有2種循環(huán)序，表示2種拿法，故第二類拿法共有2×3=6（種）.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，符合題意的拿法共有3+6=9（種）

以上的解題過程主要借助于圖形，這就滲透了數(shù)形結(jié)合的思想，顯然這類題型如果不利用圖形展開思維，而是讓學(xué)生憑空想象，幾乎無從下手，找不到解題的著陸點(diǎn).

四、對稱思想

對稱是美的一種形式.對稱思想是數(shù)學(xué)的基本思想，在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用.在解排列組合問題時(shí)，如能恰當(dāng)?shù)睦迷刂g位置的對稱關(guān)系，便可使解題過程顯得異常簡捷明快.

例4.A、B、C、D、E、F六人排成一排，如果A必須站在B的右邊（A、B可以不相鄰），那么共有多少種不同的排法？

分析：若逐一羅列“A在B的右邊”的情況，考慮起來非常復(fù)雜.若考察A、B的位置關(guān)系，注意到對立面“B在A的右邊”的情況，這兩種情況具有對稱性，因此它們各占全排列數(shù)的一半.這樣立即可得問題的答案

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