平面截圓柱生成截口曲線為橢圓的相關問題

陳麗萍　彭思言　呂慧明

【摘要】比利時數學家丹德林于1822年就已給出了平面截圓錐生成截口曲線為橢圓的證明方法。用丹德林的方法可以證明，用一個平面去截圓柱，得到的截口曲線也是橢圓。本文在其基礎上，更進一步，尋找到了橢圓中的定值與截面和圓柱之間明確的數量關系。此結論對于中學生進一步學習橢圓有很大的幫助。

【關鍵詞】橢圓 常數 影響因素

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）03-0253-02

我們已經熟知，平面內到兩定點距離之和等于常數（大于兩定點間的距離）的點的軌跡叫做橢圓。橢圓與科研、生產以及人類的生活有著密切的關系。例如，天體中一些行星運行的軌道是橢圓，一些電影放映燈泡反射鏡面的橫截面就是橢圓的部分。又如在圓柱形的試管中盛一半水，將試管傾斜一個角度，水面的邊界就是橢圓。

那么，水面的邊界為什么就是一個橢圓呢？我們可以從實際問題中抽象出數學模型，然后做進一步的研究。可將試管抽象成圓柱體，將水面抽象成一個平面，水面的邊界就是平面與圓柱體相交生成的截面曲線。如圖1所示：

我們不妨先做一些預備工作。如果將一個球放入圓柱內，且它的半徑與圓柱面的底面半徑相等，那么球與圓柱的交線為一個圓，就說該球與圓柱相切。如圖2，我們把兩個球O1，O2放入圓柱內，使他們位于平面α的兩側，且每一個球既與圓柱相切，又與平面α相切，像這樣的球稱為丹德林球。已知球O1，O2與平面α分別切于點F1和點F2，取截面曲線C上任意一點P，連接PF1，PF2。過點P的圓柱的母線交圓MM1于F1'，交圓NN1于F2'。由于PF1， PF1'同是球O1的切線，所以有PF1= PF1' ，同理PF2= PF2'

F1' F2' 為一常數，且大于F1 F2，由橢圓的定義，可知平面斜截圓柱面時，生成的截面曲線是橢圓[1]。

我們只知道F1' F2' 的長度為一常數，這一常數與截面和圓柱的哪些要素有關呢？是否有具體的數量關系呢？不妨在圖2的基礎上做一些輔助線，得到圖3：

通過圖3可知，F1' F2' = MN，因此我們只需再研究常數MN 的長度與截面和圓柱的哪些要素有關。為簡化圖形，抽取出平面MO1O2N ，標出相應的點和線，得到圖4。其中A為橢圓長軸與圓柱母線的一個交點，不難得到一定的數量關系和位置關系。設圓柱面的底面圓半徑為R，則有 O1 M=O1 F1=O2 F2=O2 N=R，還有 O1 F1⊥AF1，O2 F2⊥AF2。接下來，再設平面與圓柱面的軸所成的角為β，即∠NAF2=β ，由三角形全等易知，。

通過上式，我們知道平面斜截圓柱生成截口曲線為橢圓中的這一常數與圓柱的底面半徑有關，還與圓柱母線和截平面的夾角有關，它們之間存在著明確的數量關系。當二者為一定值時，截口曲線上任意一點到兩定點的距離之和為一常數，所以截口曲線為橢圓。用控制變量法可進一步分析，用平面去斜截兩個底面不同的圓柱，當截平面與圓柱母線的夾角相同時，圓柱底面半徑大的這一常數就大，反之，圓柱底面半徑小的這一常數就小。如果用不同平面斜截同一個圓柱，此時圓柱母線與截平面的夾角不相同，根據正弦函數的特點，不妨只看二者所形成的那個較小的角。夾角在，夾角小的對應的常數值反而大，夾角大的對應的常數值反而小。如果圓柱的底面半徑不同，夾角也不同，那么就要通過具體的數量關系計算了。

參考文獻

[1] 普通高中課程標準實驗教科書《數學》A版選修1-1.北京：人民教育出版社，2007年2月第三版