直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用

田鈺

【摘 要】學(xué)生在初中的學(xué)習(xí)中已了解直線與圓的位置關(guān)系，并知道可以利用直線與圓的交點的個數(shù)以及圓心與直線的距離d與半徑r的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系，但是，在初中學(xué)習(xí)時，利用圓心與直線的距離d與半徑r的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法卻以結(jié)論性的形式呈現(xiàn). 而高中人教版教材中這部分內(nèi)容，是在原有的基礎(chǔ)知識上再加深拓展。在高一學(xué)習(xí)了解析幾何以后，要考慮的問題是如何掌握由直線和圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法。解決問題的方法主要是幾何法和代數(shù)法。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);直線與圓;位置;關(guān)系

直線與圓位置關(guān)系這章節(jié)要求學(xué)生掌握直線和圓的位置關(guān)系的性質(zhì)和判定，因為它是本單元的基礎(chǔ)，如：“切線的判斷和性質(zhì)定理”是在它的基礎(chǔ)上研究的，也是高中解析幾何中研究“直線和圓的位置關(guān)系”的基礎(chǔ)。在對性質(zhì)和判定的研究中，既要有歸納概括能力，又要有轉(zhuǎn)換思想和能力，所以是本節(jié)的難點。另外對“相切”要分清直線與圓有唯一公共點是指有一個并且只有一個公共點，與有一個公共點含義不同，這一點到直線和曲線相切時很重要，學(xué)生較難理解。

一、直線與圓位置關(guān)系的判斷

直線與圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)比較簡單，直線與圓有兩個公共點時，那么直線和圓相交;直線和圓有唯一公共點時，那么直線和圓相切;直線和圓沒有公共點時， 那么直線和圓相離。

例如：設(shè)圓C的方程x2+y2-2x-2y-2=0，直線l的方程（m+1）x-my-1=0，對任意實數(shù)m，圓C與直線l的位置關(guān)系是 ? ? ? 。

分析：求出直線恒過的定點，確定點與圓心的距離與半徑的關(guān)系，推出結(jié)論。

解：由直線l的方程（m+1）x-my-1=0，可得m（x-y）+x-1=0，直線恒過（1，1）點，

圓C的方程x2+y2-2x-2y-2=0，的圓心（1，1），所以圓C與直線l的位置關(guān)系是：相交。

故答案為：相交。

點評：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，還考查了轉(zhuǎn)化思想，將直線與圓的位置，轉(zhuǎn)化為點與圓的位置來解決。

二、圓上的點到直線距離

求圓上的點到直線距離，學(xué)生在遇到?jīng)]見過的題目時，往往不知道從何下手，點到直線的距離即點到直線的垂線段的長，何時達(dá)到最大或最小值，要引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、猜測、驗證、下結(jié)論。

例如：圓x2+y2=1上的點到直線3x+4y-25=0的距離的最小值是 ? ?。

分析：先看圓心到直線的距離，結(jié)果大于半徑，可知直線與圓相離，進(jìn)而可知圓上的點到直線的最小距離為圓心到直線的距離減去圓的半徑。解：圓心（0，0）到直線的距離為：=1，∴圓上的點到直線的最小距離為：5-1=4。

故答案為：4。

考點：直線與圓的位置關(guān)系

點評：本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系。考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化和化歸的思想。

又如：圓x2+y2-2x-2y+1=0上的點到直線x-y=2的距離的最大值是（ ? ）

A.2 B.1+ C.2 D.1+2

分析：此題考查解析幾何初步中的圓和直線的相關(guān)知識、點到直線距離公式、數(shù)形結(jié)合能力和等價轉(zhuǎn)化能力;圓x2+y2-2x-2y+1=0上的點到直線x-y=2的距離的最大值是：圓心到直線的距離加上半徑，此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-1）2+（y-1）2=1，圓心是（1，1），半徑是1，所以dmax=+1=+1，所以選B。

點評：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，當(dāng)考查圓上的點到直線的距離問題，基本思路是：先求出圓心到直線的距離，最大值時，再加上半徑，最小值時，再減去半徑。

三、截距相等問題

截距相等問題，首先考慮截距都為0的情況，截距不為0時要考慮符號必須相同，截距不同于距離，距離是非負(fù)的，而截距可以是負(fù)的。

例如：與圓（x-3）2+（y-3）2=8相切，且在x、y軸上截距相等的直線有（ ? ）

A.4條 B.3條 C.2條 D.1條

分析：與圓（x-3）2+（y-3）2=8相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線，必有過原點的2條直線，還有斜率為-1的兩條直線。

解：由圓的方程（x-3）2+（y-3）2=8，可得圓心坐標(biāo)為C（3，3），半徑是r=2，由|OC|==3>r，故原點在圓外。當(dāng)所求直線的方程的截距為0時，直線過原點，顯然有兩條直線滿足題意。當(dāng)截距不為0時，設(shè)所求直線的方程為：x+y=a（a≠0）。

則圓心到直線的距離d==e=2，由此求得a=2，或a=10，由于滿足題意a的值有2個，所以滿足題意的直線有2條。

綜上可得，與圓（x-3）2+（y-3）2=8 相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線中，過原點的切線有兩條，斜率為-1的切線也有兩條;共4條。

故選A。

點評：考查學(xué)生理解直線與圓相切時圓心到直線的距離等于半徑，靈活運用點到直線的距離公式解決實際問題。

四、直線與圓相交

例如：若直線l與圓（x+1）2+（y-2）2=100相交于A，B兩點，弦AB的中點為（-2，3），則直線l的方程為 ? 。

分析：由圓的方程找出圓心C的坐標(biāo)，連接圓心與弦AB的中點，根據(jù)垂徑定理的逆定理得到此直線與直線l垂直，根據(jù)兩直線垂直時斜率的乘積為-1，由圓心與弦AB中點的連線的斜率，求出直線l的斜率，再由直線l過AB的中點，即可得到直線l的方程。

解：由圓（x+1）2+（y-2）2=100，得到圓心C的坐標(biāo)為（-1，2），由題意得：圓心C與弦AB中點的連線與直線l垂直，

∵弦AB的中點為（-2，3），圓心C的坐標(biāo)為（-1，2），

∴圓心與弦AB中點的連線的斜率為=-1，

∴直線l的斜率為1，又直線l過（-2，3），

則直線l的方程為y-3=x+2，即x-y+5=0。

故答案為：x-y+5=0。

點評：本題是基礎(chǔ)題，考查直線方程的求法，正確處理直線與圓的位置關(guān)系時解題的關(guān)鍵，考查計算能力。

本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了點和圓的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，是為后面的圓與圓的位置關(guān)系作鋪墊的一節(jié)課。本節(jié)的主題是直線和圓，在解析幾何中，直線與圓的關(guān)系是一個非常重要的知識點，可以對學(xué)生的思維有一個很好的鍛煉。

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉耀忠.例談求直線方程的常用方法[J].新高考（高一語數(shù)外）;2011年Z1期

[2]周棟梁.“顯而易見”下的缺失——《直線與圓的位置關(guān)系》聽課后的感想[J].中學(xué)數(shù)學(xué)2013年02期

（作者單位：江蘇省姜堰中學(xué)）