一類具有非線性接觸率的SEIR傳染病模型

李冬梅++徐亞靜++韓春晶

摘 要：考慮了染病者的非線性接觸率及潛伏者存在因素的影響，建立了一類SEIR傳染病模型，利用Lasalle不變性原理，自治收斂定理證明了無(wú)病平衡點(diǎn)及地方病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性，給出了模型分支存在充分條件，并通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了結(jié)論的正確性.

關(guān)鍵詞：非線性接觸率；分支；全局穩(wěn)定

DOI：10.15938/j.jhust.2015.02.022

中圖分類號(hào)：0175

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1007-2683（2015）02-0115-06

O 引 言

傳染病一直與人類的健康和社會(huì)發(fā)展息息相關(guān)，應(yīng)用傳染病動(dòng)力學(xué)模型研究疾病傳播規(guī)律一直是人們關(guān)注課題，傳染病模型是根據(jù)發(fā)病機(jī)理建立起來(lái)的諸如SIR，SEIR，SEIRS等模型，其中接觸率多被描述成雙線性接觸率psi形式，隨著對(duì)疾病傳播方式的深入了解及流行病學(xué)者的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析，疾病傳播方式采用非線性接觸率的研究疾病變化規(guī)律更符合實(shí)際問(wèn)題，模型的結(jié)果更有一般性.根據(jù)傳染特征不同非線性接觸率有多種形式，如βSpIq，飽和發(fā)生率.CAPASSO等提出了某些烈性疾病（如霍亂，狂犬病）的發(fā)生率與生存環(huán)境等因素有關(guān)，用非線性接觸率描述疾病傳播過(guò)程更符合實(shí)際的.文研究了具有非線性接觸率的傳染病模型的全局動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，給出無(wú)病平衡點(diǎn)與地方病平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定性充分條件，討論了模型的分支問(wèn)題，許多傳染病具有潛伏期（如乙肝，肺結(jié)核），在此期間感染者癥狀不明顯，不能忽略這類人群對(duì)疾病的傳播效應(yīng)，文研究帶有非線性接觸率的SEIS，SEIV傳染病模型的穩(wěn)定性問(wèn)題，通過(guò)分析無(wú)病平衡點(diǎn)與地方病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性的充分條件，給出了易感者及染病者最終變化趨勢(shì)，本文兼顧了兩方面的特征，在已有的具有雙線性發(fā)生率SIR模型基礎(chǔ)上，建立了具有非線性接觸率βSI（1+al）和潛伏期的SEIR傳染病模型，研究模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).

1 模型的建立

KOROBEINIKOV研究了帶有非線性發(fā)生率f（S，I）的SIR，SIRS傳染病模型，沒(méi)有考慮潛伏者人群對(duì)疾病的影響，給出模型基本再生數(shù)和全局漸近穩(wěn)定的條件，在此模型基礎(chǔ)上，考慮人口為常數(shù)輸入，有因病死亡因素，潛伏者存在，非線性接觸率具有形式βSI（1+αI）的，建立了如下SEIR傳染病模型其中：S（t），E（t），I（t），R（t）分別表示t時(shí)刻的易感者、潛伏者、染病者、康復(fù)者；A表示人口的輸入率；β表示接觸率；μ表示自然死亡率；θ表示從潛伏者到染病者的染病率（1/θ表示潛伏期）；δ表示從染病者到康復(fù)者的治愈率；d表示因病死亡率；并且假設(shè)∧，α，β，μ，θ，δ，d都是正常數(shù)，N=S+E+I+R表示總?cè)丝跀?shù).

由生態(tài)意義模型（1）將在R4+中研究.將模型（1）4個(gè)方程相加得

則得到

由于模型（1）的前3個(gè)方程與R（t）無(wú)關(guān)，因此可以考慮如下模型

模型（2）的可行域?yàn)?/p>

是模型（2）的不變集.

2 主要結(jié)果

2.1 平衡點(diǎn)存在性

模型（2）的平衡點(diǎn)滿足下列方程

由式（3）的第3個(gè)方程得E=墮±叢±盟，，將其代人式（3）的第2個(gè)方程得

當(dāng)I=0時(shí)，由式（3）解得無(wú)病平衡點(diǎn)Po=（會(huì)，0，0）.

將其代人式（3）的第一個(gè)方程，解得如下關(guān)于，的一元二次方程

當(dāng)Ro >1時(shí)，式（5）存在唯一正根（7）特征根均為負(fù)，則Po是局部穩(wěn)定的.當(dāng)Ro>1時(shí)，式（7）有一個(gè)正特征根，故Po是不穩(wěn)定的.證畢.

定理3 當(dāng)R01+叢1=l時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)P。

肛是全局漸近穩(wěn)定的，

證明：設(shè)L= OE+（β+μ）I，將L沿模型（2）求導(dǎo)得

2.3分支存在分析

微分方程

引理1 若方程（8）的雅可比矩陣有一個(gè)零特征根，其余特征根都有負(fù)實(shí)部且滿足下列條件，則

1）當(dāng)a>0，b>0時(shí)，若β

2）當(dāng)α<0，b<0時(shí)，若β

3）當(dāng)a>0，b<0時(shí)，若β

4）當(dāng)a<0，b>0時(shí)，若β

當(dāng)a<0，b>0時(shí)，在x=0處出現(xiàn)的分支稱為前向分支；當(dāng)a>0，b>0時(shí)，在x=0處出現(xiàn)的分支稱為后向分支.

定理4 當(dāng)μ>β'時(shí)，模型（2）在PO處產(chǎn)生后向分支；當(dāng)μ<β'時(shí)，模型（2）在Pn處產(chǎn)生前向分支，其中

證明：當(dāng)Ro=1時(shí)，由式（7）可解得模型（2）在Po點(diǎn)處雅可比矩陣J（Po，β'）對(duì)應(yīng)特征方程的特征值為

設(shè)W=（w1，w2，w3）T是矩陣J（Pn，β'）的右特征向量，滿足J（Po，β'）W=0，即有

設(shè)V=[v1，v2，V3]是矩陣J（Pn，'β）的左特征向量，滿足VJ（PO，β'）=0，同理可解得

由式（3）可計(jì)算模型（2）在無(wú)病平衡點(diǎn)Pn處的二次偏導(dǎo)數(shù)

其它的二次偏導(dǎo)數(shù)均為零.

由式（9）、式（10）及式（11）可以計(jì)算