妙用質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量定理速解題

華峰

質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量定理的內(nèi)容是：在一段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量的增量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)組外力矢量和在這段時(shí)間內(nèi)的沖量.因此，內(nèi)力（質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力）只影響質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的變化，不影響質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量的變化.在求解有關(guān)動(dòng)量問題時(shí)，我們常會(huì)遇到由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組，在恒定外力作用下，質(zhì)點(diǎn)間有相互作用和相對(duì)運(yùn)動(dòng)的簡單情形.在這種情況下，質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量定理用Ft =Δp來表示，其中F為恒定外力，t為恒定外力作用時(shí)間，Δp為質(zhì)點(diǎn)組（也可稱系統(tǒng)）總動(dòng)量的變化.求解此類問題時(shí)，利用上式確定系統(tǒng)總動(dòng)量的變化、恒定外力及作用時(shí)間之間的關(guān)系，結(jié)合牛頓運(yùn)動(dòng)定律以及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，可使問題化難為易，較其他方法更為簡單、快捷.

例1如圖1所示，一長木板右端固定一立柱A，總質(zhì)量為M，一質(zhì)量為m的人從木板左端開始，以恒定的加速度向右奔走，木板相對(duì)地面向左滑動(dòng)，人

跑到右端迅速（所用時(shí)間極短）抱住立柱A，此過程所用時(shí)間為t，圖1此后再經(jīng)過時(shí)間t′，人與木板停止運(yùn)動(dòng).則（ ）.

A. t′B. t′>t

C. t′=t

D. 不能確定

解析設(shè)向右的方向?yàn)檎较颍ㄏ峦景迮c地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，人抱住立柱前，人與木板構(gòu)成的系統(tǒng)總動(dòng)量為p，人抱住立柱系統(tǒng)總動(dòng)量為p′.因?yàn)槿吮ё×⒅脮r(shí)間極短，系統(tǒng)動(dòng)量幾乎不變，所以有p′=p.

整個(gè)過程中人與木板間的相互作用力是內(nèi)力，對(duì)系統(tǒng)總動(dòng)量變化沒有影響，系統(tǒng)總動(dòng)量的變化是地對(duì)木板的摩擦力作用的結(jié)果.則由質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量定理：

對(duì)人抱住立柱前的過程有：

μ（M + m）gt=p

對(duì)抱住立柱后（摩擦力反向）的過程有：

-μ（M+m）gt′=0-p′

聯(lián)立以上三式可解得：t′=t.故應(yīng)選C.

例2如圖2所示，在光滑水平面上，質(zhì)量為M的木板正以速度v1向右運(yùn)動(dòng).現(xiàn)有一質(zhì)量為m的物塊以初速度v2向左運(yùn)動(dòng)，M與m間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，木板足夠長.要使M始終勻速運(yùn)動(dòng)，需及時(shí)給木板施加一個(gè)水平力F，當(dāng)物塊與木板的速度相等時(shí)，將力F去掉，求此過程中水平力F所做的功.

解析當(dāng)物塊在木板上滑動(dòng)時(shí)，木板在水平方向受力平衡，所以有；F=μmg.

因?yàn)槲飰K和木板組成的系統(tǒng)的總動(dòng)量的變化是由F的作用引起的，則由質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量定理有：Ft=（M+m）v1- （Mv1-mv2）

在時(shí)間t內(nèi)M的位移為：s=v1t

在這段時(shí)間內(nèi)力F做的功為：W=Fs

聯(lián)立以上四式可解得：W=mv1（v1+v2）.

點(diǎn)評(píng)利用質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量定理求解，有效地避免了詳細(xì)分析物塊m運(yùn)動(dòng)具體過程所帶來的麻煩，極大地簡化了解題過程.

例3如圖3所示為一模擬貨物傳送的裝置，A是一個(gè)表面絕緣、質(zhì)量M=100 kg、電量q=+6.0×10 C的傳送小車，小車置于光滑的水平地面上.在傳送途中有一水平電場(chǎng)，電場(chǎng)的強(qiáng)度E =4.0×103 V/m，可以通過開關(guān)控制其有無.現(xiàn)將質(zhì)量m=20 kg的貨物B放置在小車左端，讓它們以v0=2 m/s的共同速度向右滑行，在貨物與小車快到終點(diǎn)時(shí)，閉合開關(guān)產(chǎn)生一個(gè)水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，經(jīng)過一段時(shí)間后關(guān)閉電場(chǎng).當(dāng)貨物到達(dá)目的地時(shí)，小車和貨物的速度恰好為零.已知貨物與小車間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.1，為了使貨物不滑離小車的另一端，小車的最小長度L應(yīng)為多少？（貨物不帶電且體積大小不計(jì)，g=10 m/s2）

解析傳送貨物的全過程分為兩個(gè)階段：第一階段有電場(chǎng)力作用，是電場(chǎng)力的作用使A和B構(gòu)成的系統(tǒng)的總動(dòng)量發(fā)生改變，第二階段為關(guān)閉電場(chǎng)后，A與B間有相互作用和相對(duì)運(yùn)動(dòng)直至速度均變?yōu)榱悖穗A段A與B構(gòu)成的系統(tǒng)總動(dòng)量守恒且為零，整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)量變?yōu)榱闶请妶?chǎng)力作用的結(jié)果，則由質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量定理有：

-qEt=0-（M+m）v0，代入已知數(shù)據(jù)可解得：t=1 s.

對(duì)于A：有電場(chǎng)時(shí)，在水平方向受電場(chǎng)力和摩擦力作用，其加速度為aA1（向左），先向右減速至速度為零，又向左做勻減速運(yùn)動(dòng)，且加速度不變；關(guān)閉電場(chǎng)后，A在B的摩擦作用下，加速度為aA2（向右），向左做勻減速運(yùn)動(dòng)直至速度為零.則aA1=

-qE+μmgM=-2.2 m/s2，aA2=μmgM=-0.2 m/s2.

對(duì)于B：有無電場(chǎng)，B均只受摩擦力作用，加速度為aB，方向向左，一直做向右的勻減速運(yùn)動(dòng)，直至速度為零.則aB=-μmgm=-μg=-1 m/s2.

關(guān)閉電場(chǎng)時(shí)，小車速度v車=v0+aA1t=-0.2 m/s.

全過程小車位移s車=v2車-v202aA1+0-v2車2aA2=

0.8 m，貨物位移s物=-v202aB= 2 m.

故小車長度至少為L=s物-s車=1.2 m.

點(diǎn)評(píng)在運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量定理求出電場(chǎng)力作用時(shí)間t的基礎(chǔ)上進(jìn)行一系列順理成章的運(yùn)算，避免了應(yīng)用動(dòng)量守恒、能量關(guān)系以及解方程組，不僅簡化了解題過程，而且簡捷、明了，從而順利、快速獲解.

（收稿日期：2015-02-08）