（2＋1）維Calogero－Bogoyavlenskii－Schiff方程新的精確解

魚 翔，陳文利

（西安培華學院 基礎部，陜西 西安710125）

0 引 言

非線性偏微分方程的求解問題特別是對一些高維的非線性微分方程的求解方法已成為研究的熱點.近年來，對非線性偏微分方程尋找對稱約化和構造精確解方面的研究取得了很大的進展.為了得到非線性偏微分方程的精確解，研究者提出了很多方法，諸如經典的李群方法［1］，非經典的李群方法［2］，CK直接法［3］和改進的CK直接法［4－6］.并且利用改進的CK直接法已經獲得了很多非線性偏微分方程的一般對稱群和精確解.

文獻［7－8］研究（2＋1）維 Calogero－Bogoyavlenskii－Schiff（CBS）方程，利用 Hirota雙線性法求出了CBS方程的部分多孤子解；文獻［9］利用經典的李對稱方法給出了CBS方程的李點對稱；文獻［10］給出了（2＋1）維廣義CBS方程的無窮多對稱及其約化；文獻［11］利用李群分析法和行波約化法給出了（2＋1）維CBS方程的相似解；文獻［12］利用拓展的雙曲函數展開法求出了該方程的行波解.改進的CK直接從最一般的相似約化出發，不使用群理論，就可以得到用標準李群方法得不到的解.本文利用改進的CK直接法求解（2＋1）維CBS方程的一般對稱群和新的精確解，并建立了新解和舊解的聯系，得到了該方程一些新的精確解.

1 （2＋1）維CBS方程的對稱群

（2＋1）維CBS方程的一般形式

假設方程（1）具有如下形式的對稱群

其中，r＝r（x，z，t），s＝s（x，z，t），f＝f（x，z，t），g＝g（x，z，t），h＝h（x，z，t）都是關于x，z，t的待定函數.這些待定函數可以通過U（f，g，h）變換｛u，x，z，t｝→ ｛U，f，g，h｝下要求U（f，g，h）滿足方程

來確定.

根據改進的CK直接法，尋求方程（1）的一般對稱群和新的精確解.將方程（2）代入方程（1）得到

如果fx＝0，方程（1）沒有非平凡解，所以有

將方程（5）代入方程（3）可以得到

其中，函數F（x，z，t，Uf，…）與無關.由方程（6）可以得到

按照上述方法進行計算便可得到決定方程組

解方程組（7）可以求解出待定函數

其中，c1，c2，c3，c4均為常數，m1（t），m2（t）為t的任意函數.根據方程（2）有

其中，f，g，h由方程（8）確定.由方程（8）和（9）并根據（2＋1）維CBS方程的對稱群理論，有如下的對稱群定理.

定理1 當U（x，z，t）是方程（1）的解時，由式（9）所表達的u也是方程（1）的一個解.

根據定理1，方程（9）給出的對稱群為Lie點對稱群.通過代換討論其Lie代數.

其中，ε為無窮小參數；p1（t），p2（t）為t的任意函數，則方程（9）為

其中

2 （2＋1）維CBS方程的精確解

為了得到方程（1）的約化方程，利用σ＝0和方程（1）的相容性.首先求解σ＝0時方程（1）的特征方程組

現在討論以下幾種情況：

情況（Ⅰ）：令

通過求解特征方程組可以得到其不變解為

將方程（12）代入方程（1）可得到約化方程為

令z＝kξ＋lη.其中k，l為非零常數.則方程（13）可以寫為

由齊次平衡原則可知n＝1.因此假設方程（14）有如下形式的解

其中，φ為Riccati方程φ′＝A＋φ2的解，將方程（15）代入方程（14）并且令φi的系數都為0，可以得到關于bi的一個代數系統.求解可知

其中，b0為任意常數.

當A＜0時，方程（14）的精確解為

當A＞0時，方程（14）的精確解為

由方程（14），（15）和fi（i＝1，2）可以得到方程（1）的新精確解

情況（Ⅱ）：令C1＝C2＝C3＝0，C4≠0，P1（t）＝a，P2（t）＝b同樣的方法可以得到不變解為

將方程（20）代入方程（1）可得

令z＝kξ＋lη.其中k，l為非零常數.則方程（21）可以寫成

利用G′／G方法求解方程（23）.假設方程（23）有如下形式的解

G（z）滿足二階線性常微分方程

其中，λ，μ為常數.將方程（24）代入方程（23），結合方程（25）可以得到方程（1）的3種形式的行波解：

情況（Ⅲ）：令C1≠0，C2＝C3＝0＝C4＝0，P1（t）≠0，P2（t）≠0.通過求解特征方程就可以得到其不變解為

將方程（29）代入方程（1）可得

假設方程（30）有如下形式的解

通過求解可知方程（1）有如下形式的解

情況（Ⅳ）：令C1＝C2＝C4＝0，C3≠0，P1（t）＝P2（t）＝0.解特征方程就可得到其不變解為

將方程（33）代入方程（1）得到

假設方程（34）有如下形式的解

通過求解可知方程（1）有如下形式的解

3 結 論

（1）通過改進的CK直接法推導出了定理1，并且通過定理1建立了（2＋1）維CBS方程新解和舊解之間的聯系，并由此得到了該方程的對稱.

（2）基于（2＋1）維CBS方程的一個已知解，通過選取任意函數的形式，并且利用得到的解之間的關系可得該方程具有結構豐富的解.這些解在數學及物理中有著重要的應用，這種方法也適用于其他高維的非線性微分方程的求解.

［1］OLVER P J.Application of lie group to differential equations［M］.Berlin：Springer，1986：13－90.

［2］樓森岳，唐曉燕.非線性數學物理方法［M］.北京：科學出版社，2006：314－322.LOU Senyue，TANG Xiaoyan.Nonlinear mathematical physics method［M］.Beijing：Science Press，2006：314－322.

［3］CLARKSON P A.KRUSKAL M D.New similarity reductions of the boussinesq equation［J］.J Math Phys，1989，30：2201－2212.

［4］LOU S Y，MA H C.Non－Lie symmetry groups of（2＋1）－dimensional nonlinear systems obtained from a simple direct method［J］.J Phy A：Math Gen，2005，38：129－137.

［5］MA H C，DENG A P，WANG Y.Exact solution of a KdV equation with variable coefficients［J］.Computers and Mathematics with Applications，2011，61：2278－2280.

［6］ZHANG L H，LIU X Q.New exact solutions and conservation laws to （3＋1）－dimensional potential－YTSF equation［J］.Commun Theor Phys，2006，45：487－492.

［7］BRUZON M S，GANDARIAS M L，MUIEL C，et al.The Calogero－Bogoyavlenskii－Schiff in （2＋1）－dimensions［J］.Theoretical and Mathematical Physics，2003，137（1）：1367－1377.

［8］WAZWAZ Abdul－Majid.Multiple－soliton solutions for the Calogero－Bogoyavlenskii－Schiff，Jimbo－Miwa and YTSF equation［J］.Appl Math Comput，2008，203（2）：592－597.

［9］智紅燕.（2＋1）維Calogero－Bogoyavlenskii－Schiff方程的對稱約化及其新的類孤子解 ［J］.中國石油大學學報：自然科學版，2010，34（3）：170－173.ZHI Hongyan.Symmetry reduction and some new soliton－like solutions of（2＋1）－dimensional Calogero－Bogoyavlen－skii－Schiff equation［J］.Journal of China University of Petroleum：Natural Science，2010，34（3）：170－173.

［10］張煥萍，陳勇，李彪.（2＋1）維廣義 Calogero－Bogoyavlenskii－Schiff方程無窮多對稱及其約化［J］.物理學報，2009，58（11）：7393－7396.ZHANG Huanping，CHEN Yong，LI Biao.Infinitely many symmetries and symmetry reduction of（2＋1）－dimensional generalized Calogero－Bogoyavlenskii－Schiff equation［J］.Journal of Physics，2009，58（11）：7393－7396.

［11］GANDARIAS M L，BRUZON M S.Symmetry group analysis and similarity solutions of the CBS equation in（2＋1）dimensions［J］.Appl Math Mech，2008（8）：10591－10592.

［12］WAZWAZ A M.New solutions of distinct physical structuresto high－dimensional nonlinear evolution equations［J］.Applied Mathematics and Computation，2008，196：363－370.