環狀電極誘導的靜電場電位分布研究

王韶霈，宋開宏，謝國大，黃 帥

（安徽大學 電子信息工程學院，安徽 合肥 230601）

0 引 言

在電磁場工程問題中，靜電場和時諧場的場分布是電磁場工程設計首先要解決的問題，因為它直接關系到整個系統的性能是否滿足實際要求。隨著對靜電現象研究的日益深入，對靜電場中場強和電位分布的了解也更加迫切。隨著通信業、航空航天業的發展，對高空中電離層的研究有著重要的意義。電離層作為一種傳播介質會使電波損失部分能量，對通信造成一定影響。就以上問題，需要在地面建立帶有電極的真空罐［1］對其進行模擬仿真，觀察研究其特性。對真空罐的研究也要先從靜電場做起，對靜電場進行研究就需要通過描繪出其電位分布來具體分析。

在電磁場數值分析計算方法中，有限差分法一直是一種重要的數值方法。靜電場中電位函數滿足拉普拉斯方程，通過給定的邊界條件求解拉普拉斯方程，最終得到靜電場內的電位分布圖以及電場圖。在對待二維靜電場問題中運用有限差分法求拉普拉斯方程數值解時最為經典是運用五點差分格式。對待三維靜電場問題時會應用到七點差分格式，若所求區域為軸對稱，七點差分格式可以轉化為五點差分格式。這種利用離散節點與周圍四個節點的關系迭代求解電位值的方法很適合在EXCEL上完成。本文從五點差分格式出發，運用EXCEL計算真空罐里的靜電場的電位數值，聯合MATLAB的圖形功能，繪制靜電場等位線，形象直觀掌握真空罐中的場分布，為工程設計奠定基礎。

1 理論分析

柱坐標下的拉普拉斯方程有以下形式：

設空間中任意一點為U（z0，r0，θ0），根據有限差分法［2］，取圓柱等間距網格高Δz＝h，半徑Δr＝k，角度Δθ＝τ。設：

圓柱坐標系中三維拉普拉斯方程的七點差分公式［3］：

其中：

C0、C1、C3、C4、C5、C6是取決于步長的已知系數，U0、U1、U2、U3、U4、U5、U6則是待求的未知數。

待求區域如果具有對稱性，這個區域內各點的電位函數值也與角度θ無關，且介質均勻，則式（2）有關對應角度θ的項就可不用考慮，那么七點差分方程就可簡化為五點差分方程：

而r0＝0處即對稱軸上，式（3）不適用，對稱軸上的點系數為：

從式（3）可看出，轉化后的公式計算僅在rz平面，就位于rz平面內的軸對稱平面而言，它的場域離散化下的網格劃分與離散點分布方式與二維場中的討論相同。在軸對稱場中，網格在空間的延續分布，即是關于軸對稱的一系列回轉體。

2 實際工程問題的計算機解法

2.1 具體問題

在一個直徑為70 cm、長度為180 cm、兩端為半球的真空罐內，在其軸心中間對稱、間距為60 cm的位置放置兩個環形電極，電極上環形電極的直徑為4 cm，不考慮電極環的厚度尺寸，真空罐按接地處理，環狀電極施加電壓信號為10 V，計算真空罐內部空間的電場分布。

2.2 問題的解決

真空罐內空間是具有對稱性的，且介質均勻，根據以上理論分析可以將這個三維問題轉化為二維問題，只計算分析真空罐一個截面里的電位分布，根據（3）式，用高斯—賽德爾迭代法［4］計算，公式為：

2.2.1 選取計算工具

根據式（4）可以看出，在數值求解時通常需要編程計算機完成大規模遞推關系，必須求解大型多元方程組，計算量龐大，給應用中造成很大的不方便。EXCEL表在數值計算中有很大的應用潛能，公式的復制十分突出地顯示出它的遞推運算優勢，特別是“重復計算”功能可十分簡便地處理一些復雜遞推關系的數值計算，一般應用軟件無法比擬。根據五點差分格式以及計算過程中需要多步迭代的特點，EXCEL在計算上有很大的優勢，選擇［5，6］其為計算工具。

2.2.2 網格剖分

根據已知條件，本文在EXCEL中取71行與181列，同時要對真空罐截面的邊緣進行數字化。圓弧邊緣作以下處理：取EXCEL中兩行36列單元格，從A1單元格依次輸入0～35，再在B1單元格中輸公式“35＋（35＾2－（A1－35）＾2）＾（1／2）”，將B1單元格的公式復制到后面35個單元格中，再對通過公式得到的數據四舍五入取整，最終獲得以（35，35）為圓心，35為半徑圓的四分之一圓邊在EXCL的坐標，然后通過對稱關系補齊真空罐截面另外的圓弧邊界。

2.2.3 計算結果

剖分完成后的一個單元格即代表求解區域的一個節點，而單元格里的值就是該節點的電勢，這時就需要確定邊界條件，將真空罐罐體上的單元格都輸入數值0。由于電極厚度不計，則其在截面上可用2個點來表示，把代表兩個電極位置的單元格找到，輸入數值10。真空罐以外的單元格統一輸入數值0。

確定了邊界條件，需要輸入公式進行計算。根據式（4），則每列的C3、C4是不同的，取決于r0，需要逐行輸入公式從對稱軸I，r0＝0開始，每向上或者向下一行r0的值加1。逐行輸入公式時，選中需要輸入公式的一行，再選中本行其中一個單元格輸入相應的公式，然后再選中這個單元格，復制，按住Ctrl鍵拖拽選取包含本行里的其他單元格，不要選中已經輸入邊界條件的單元格，最后粘貼。進行迭代計算，打開“工具”菜單下的“選項”，選擇“重復計算”，將“迭代計算”選中，設置“最多迭代次數”為3 000，最大誤差為0.001，點擊“確定”，通過一段時間的迭代計算，得出結果，這時可以很直觀地看出計算結果。

由于EXCEL繪圖功能有限，而MATLAB擁有強大的繪圖功能，能彌補繪圖上的這一缺點，所以在數據到圖形的處理工作上，本文將選用MATLAB軟件來進行。打開MATLAB，利用文件菜單下的“Import data...”將EXCEL中計算得到的最終數據導入MATLAB，將導入的數據名定義為A。再用contour函數繪制等位線，在命令窗口輸入：contour（A，11），繪制了11條等位線，每條等位線間隔為1 V，這樣就得到了真空罐一個離散截面的電場等位線圖。

2.3 結論驗證

MATLAB是一種功能十分強大、運算效率很高的專業計算機軟件，它已經成為一種極其靈活的計算機體系，具有簡單易學、短小高效的源代碼，豐富的內部函數等優點。本文選用MATLAB對真空罐進行仿真，并對結論進行驗證。同樣以式（4）為計算的基本公式，編寫程序并畫圖，得到了真空罐里的電位仿真圖，與運用EXCEL計算得到的最終電位圖作比較分析，結果一致。

3 結 論

本文將有限差分法運用到解決實際工程問題中，這種以有限差分法為核心理論的方法相當于一種仿真模擬軟件。它在計算二維靜電場問題上受到的條件限制不多，只要網格剖分足夠精細，都能計算不規則邊界的靜電場問題。而在三維問題上目前只能計算軸對稱場的工程問題，所以在計算三維問題時還是有很大的局限性。雖然如此，但對EXCEL的應用仍然有著方便快捷、計算結果以及通過它得到的圖像直觀明了、不需要編寫程序的優勢，在解決更多工程問題上還有很大的潛能等待開發。

用有限差分法代替偏微分求解電位函數，將二階偏倒數運算轉化為代數運算，使求解過程更加簡單，再運用EXCEL作為計算工具得出結論的過程就更為簡化。由于差分方程代替偏微分方程和差分方程本身的特點，在求解過程中存在一定的誤差，所以在計算過程中要根據具體問題的精度要求選擇合適的網格劃分。而由于EXCEL里的單元格有限，并且在本文中用單元格描述真空罐的邊緣時用的是四舍五入取整的方法，這就使得其精度上受到限制，最終根據數據處理得到的數據繪制的電位圖不夠精細，但仍然可以為實際工程中的快速計算提供參考。

［1］ Giuliano V，Michele D S，Franco G，Roberto B，Mario P.The INAF－IFSI Large Plasma Chamber［J］.INAF／IFSI，2010，（5）：1－5.

［2］ 謝處方.電磁場與電磁波（第4版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［3］ 梁志輝.用差分法計算柱坐標系的拉普拉斯方程［J］.信息系統工程，2009，（3）：104－105.

［4］ 盛劍霓.電磁場數值分析［M］.北京：科學出版社，1984.

［5］ 賈新民，嚴 文.有限差分法求解拉普拉斯方程［J］.昌吉學院學報，2009，（5）：105－109.

［6］ 趙宣銘，趙玉懷.典型數學物理方程的Excel數值解法［J］.紡織高校基礎科學學報，2009，23（1）：118－126.

［7］ 何紅雨.電磁場數值計算法與 MATLAB實現［M］.武漢：華中科技大學出版社，2004.

［8］ 葛 超，王 蕾，曹秀爽.MATLAB技術大全［M］.北京：人民郵電出版社，2014.

［9］ 張雅男，徐 飛，葉 穎.MATLAB模擬靜電場與模擬靜電場實驗的比較［J］.物理與工程，2008，（7）：32－33.