偏最小二乘－馬爾科夫模型在大壩位移預測中的應用

周子東 鄭東健 蔣 明 錢 程

（1.河海大學 水利水電學院，南京 210098；2.河海大學 水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室，南京

210098）

預測大壩位移對于水庫工程的安全穩定運行具有十分重要的意義.大壩變形的原因十分復雜，受多種因素的共同影響.為了對未來的變形值做出預報，必須找出引起變形的因素與變形值之間的內在聯系與統計規律，在這方面回歸分析是一個很常用的方法［1］.在大壩安全監測分析中，一般取直接觀測值——水位、溫度、時間等作為自變量，自變量之間常不同程度地存在著多重相關性［2］.利用常用的最小二乘法來建立回歸統計模型時易導致因子系數的不合理.偏最小二乘法則可有效消除多重共線性的影響，建立的回歸模型結果更可靠，而且整體性強，具有更好的擬合、預測效果［3］.同時考慮到大壩位移監測數據隨時間有較強的波動性，而馬爾科夫鏈對于數據的波動具有較好的適應性，應用在偏最小二乘回歸模型中，將能進一步提高模型的預報精度.

1 偏最小二乘回歸

1.1 基本原理

設有自變量m個｛x1，x2，…，xm｝和因變量p個｛y1，y2，…，yp｝.為探明兩者之間的聯系，選取n個樣本點，由此分別組成了因變量與自變量的數據集X＝｛x1，x2，…xm｝n×m和Y＝｛y1，y2，…，yp｝n×p.PLS分別在X中提取成分t1，在Y中提取成分u1（t1、u1各自為x1，x2，…，xm和y1，y2，…，yp的線性組合）.為了后續的回歸分析，在提取時要求t1和u1不僅能盡可能好的代表數據集X和Y中的信息，與此同時t1和u1的相關度大，代表t1對u1要有最強的解釋能力.

在t1和u1兩個成分被提取后，PLS分別進行X和Y對t1的回歸.如果此時回歸方程的精度已經達到要求，停止計算；否則，把X和Y被t1解釋后的結果再次進行成分的提取.循環往復，直至達到要求的精度.假設最終對X一共提取了l個成分t1，t2，…，tl，PLS將通過yk（k＝1，2，…，p）對t1，t2，…，tl的回歸，接下來再表達成yk關于原變量x1，x2，…，xm的回歸方程.

1.2 計算步驟

1）標準化.記因變量標準化后的矩陣為F0，自變量的標準化矩陣為E0.

2）記t1是E0的第一個成分，t1＝E0ω1，ω1是E0的第一個軸，它是一個單位向量，即‖ω1‖＝1.

相應的記u1是F0的第一個成分，u1＝F0c1.c1是F0的第一個軸，并且‖c1‖＝1.

由原理中所述，在‖ω1‖2＝1和‖c1‖2＝1這兩個條件下，要求t1與u1的協方差達到最大值，

采用拉格朗日算法，求得軸ω1和c1后，即可得到第1個成分t1，u1，然后，分別求E0和F0對t1，u1的3個回歸方程

式中，E1，，F1為殘差矩陣.

3）用上一步得到的殘差矩陣E1和F1代替原來的E0和F0，然后，按照同樣的方法求出ω2和c2及第2個成分t2，u2，依照前述步驟計算下去，如此循環，若X的秩是A，則一共可以提取A個成分.

4）交叉有效性.大多數情況下，我們并不需要選取全部的成分來進行建模，而是可以仿照主成分分析，選擇前m個成分就可得到一個效果較好的模型.

指定，若

則認為此時增加成分th就是有益的.此即為交叉有效性原則.

2 馬爾科夫鏈

馬爾科夫鏈是數學中具有馬爾可夫性質的離散時間隨機過程.該過程中，在給定當前知識或信息的情況下，過去（即當期以前的歷史狀態）對于預測將來（即當期以后的未來狀態）是無關的［4］.大壩工作條件復雜，其位移監測受多種因素影響，馬爾科夫鏈的此種無后效性在位移預測中有其特有的優勢.

根據模型的階數，馬爾科夫過程可分為1階至多階.依據馬爾科夫鏈把數據序列分成若干狀態，即把觀測值與預測值之間的誤差分成若干區間，以E1，E2，…，Es來表示，則誤差狀態由Em經過k步轉移到En的概率為［5］

式中，表示狀態Em經過k步變為Ej的次數；Cm表示狀態Em出現的總次數.則k步的狀態轉移概率矩陣為：

有了狀態轉移概率矩陣以后就可以建立誤差預報模型，對誤差進行修正.

3 偏最小二乘－馬爾科夫模型

偏最小二乘－馬爾科夫模型原理是先利用前期實測數據資料建立偏最小二乘回歸模型，求得擬合值與實測值之間的誤差，然后根據誤差狀態，建立狀態轉移概率矩陣，運用馬爾科夫鏈對后續的預測數據進行修正，步驟如下：

1）選取適當的統計模型的因子，根據上述偏最小二乘回歸的原理對實測值進行擬合，建立回歸模型.

2）把擬合值與實測值相減得到誤差序列，用誤差除以實測值，得到誤差的百分比大小，然后根據百分比大小，劃分誤差的個數q，誤差狀態Ei及對應區間［ai，bi］（i＝1，2，…，q）.

3）按照馬爾科夫鏈修正的原理確定狀態轉移概率矩陣P（k），對上一步得到的誤差建立模型修正.選取距預測點最近的一組q個已知概率狀態的誤差，在每個誤差對應步長的狀態轉移概率矩陣中，找到該誤差所屬狀態對應的轉移概率，然后把每個誤差狀態Ei（i＝1，2…，q）的轉移概率相加，看其最終轉移到哪一個狀態的概率最大，即認為預測值的誤差就處于這個狀態之中，然后根據公式（9）進行修正.

4 工程實例

本文選取某雙曲拱壩實測資料對偏最小二乘－馬爾科夫模型的預測效果進行測試.

拱壩由于水平拱和懸臂梁的兩向作用，使水壓力分配在梁上的荷載（Pa）呈非線性變化，Pa與H呈二次或三次曲線關系，因此寫成通式［6］：

在有內部溫度計的情況下，可采用各溫度計的測值作為因子.當有足夠數量的混凝土溫度計時，可選用各溫度計測值作為因子［7］：

時效分量綜合反映壩體混凝土的基巖的續編、塑性變形以及基巖地質構造的壓縮變形，對于拱壩可采用對數函數，即：

由上述分析可知，壩體位移模型的表達式為：

選取該拱壩第13壩段110組（20130709～20131026）位移觀測數據以及相應的水位，溫度數據（溫 度 計 選 取T13－2，T13－6，T13－64，T13－65，T13－122，T13－126測點）用于建立偏最小二乘回歸模型，并再取后續7組數據用于預測.編制Matlab程序計算后得到回歸方程為：＝－24.353 4＋0.034 1H＋6.826 1×10－5H2＋1.788 1×10－4H3＋5.186 6×10－10H4－2.244 8T13－2＋3.025 2T13－6＋0.536 9T13－64－0.306 7T13－65＋0.039 9T13－222－0.003 3T13－126－0.175 3lnθ.

將每組數據的影響因子的值代入回歸方程，得到擬合位移值和實測位移值的位移過程線見圖1.

圖1 擬合位移值與實測位移值過程線圖

由圖看出，偏最小二乘回歸的擬合精度是比較高的，由數據得出其誤差范圍為－1.8%～1.2%，因此將擬合值與實測值之間的誤差分為4個區間，［－2%，－1%］，［－1%，0］，［0，1%］，［1%，2%］，即確定狀態轉移區間，以便后續進行馬爾科夫修正.

表1 狀態轉移區間

然后經由誤差序列計算狀態轉移概率矩陣，結果如下：

以預測20131027位移誤差概率為例，未修正前預測值為11.655，馬爾科夫修正過程見表2.

表2 20131027位移誤差概率預測

由表2可以看出，20131027位移誤差落在狀態E1的概率最大，根據式（9）進行修正后結果為11.832.

理論上若無數據更新的話，4階馬爾科夫鏈最多只能修正后4d內的數據，本實例旨在測試偏最小二乘－馬爾科夫模型的精度，因此選取后7組知道實測值的數據進行測試，這樣后3d的數據也可以繼續用馬爾科夫鏈進行修正.測試的結果見表3.

表3 模型預測結果對比

由表可知，偏最小二乘回歸模型預測的相對誤差最大為1.48%，最小為0.322%；經馬爾科夫鏈修正以后的最大誤差為0.632%，最小為0.016%，精度有了較大的提高.圖2可以更直觀的看出修正后模型的預測精度.

圖2 模型預測結果與實測值對比

5 結 論

偏最小二乘回歸在大壩位移預測中有著特有的優勢，能很好的避免影響因子之間的多重相關性，并對影響因子進行了成分提取，相較普通多元回歸提高了精度；馬爾科夫過程無后效性的特點，在誤差修正中有著很好的應用，本文將兩者相結合，發揮各自的優勢，先采用偏最小二乘回歸得到一個回歸方程，然后利用擬合值與實測值之間的誤差序列建立了馬爾科夫的修正模型進行修正，精度比單一偏最小二乘回歸的預測結果提高了許多，具有推廣的價值.

［1］ 鄒 利.回歸分析在大壩變形監測數據處理中的應用研究［J］.工程地球物理學報，2007，4（6）：644－647.

［2］ 鄧念武.偏最小二乘回歸在大壩位移資料分析中的應用［J］.大壩觀測與土工測試，2001，25（6）：16－18.

［3］ 徐洪鐘，吳中如.偏最小二乘回歸在大壩安全監控中的應用［J］.大壩觀測與土工測試，2001，25（6）：22－23，27.

［4］ 張愛真.Markov鏈在工程預測中的應用［J］.制造業自動化，2011（4）：106－108.

［5］ 朱劭宇，施曉萍.大壩變形監控的逐步回歸馬爾科夫模型［J］.水利水文自動化，2010（1）：69－72.

［6］ 吳中如，顧沖時，蘇懷智，等.大壩與壩基安全監控理論和方法及其應用［C］.／／中國工程院第三次地下工程與基礎設施公共安全學術研討會論文集，2007：25－34.

［7］ 吳中如.水工建筑物安全監控理論及其應用［M］.北京：高等教育出版社，2003.