Black-Scholes公式推導方法及其發展推廣

王明輝

（韶關學院數學與統計學院，廣東韶關512005）

Black-Scholes公式推導方法及其發展推廣

王明輝

（韶關學院數學與統計學院，廣東韶關512005）

摘要：從Black-Scholes模型的理論背景和假設條件出發，分析了該模型中期權定價公式的推導過程和國內外學者的不同推導方法，最后從放寬假設條件和擴展期權類別兩個方面探討了該公式的推廣形式．

關鍵詞：Black-Scholes模型；期權定價公式；發展推廣

1973年F Black和M S Scholes從歐式看漲期權入手，運用均衡資本資產定價理論，推導出至今廣為流傳的歐式看漲期權定價公式［1］，即Black-Scholes期權定價公式．由于公式中所有的參數都是可估的，因此在實踐中得到了廣泛應用．

1　Black-Scholes模型定價公式的推導

F Black和M S Scholes從市場有效的假定出發，假設股票的價格運動過程服從馬爾科夫鏈，只與現在的價格有關．構造一個證券投資組合，使得在此組合中能夠根據標的資產價格的變化連續調整標的資產的頭寸，進而使得該組合在短期內保持無風險狀態，那么該組合的收益率就為無風險收益率，此時該組合的動力系統就可以由一個隨機微分方程給出．一般情況下，該組合方式不唯一，因此無法很好地確定期權的價格．但如果借助套利定價理論給出與原概率測度等價的風險中立概率測度，使得折現的標的資產價格過程在這一新測度下為鞅或局部鞅，并且對套利保值投資組合的可積性給以一定的約束，使其在原始概率下平方可積，那么就存在唯一的套期保值投資組合，也就存在唯一確定的期權價格．他們還假設所有投資者都是風險中性的，投資組合只獲得無風險收益，根據此概念，投資者未來的期望收益可以用無風險收益率進行貼現，從而獲得未來任何現金流的現值，簡化了期權的定價求解．

Black-Scholes模型的基本假設條件：

（1）股票價格的變化是連續的，并且服從一種帶漂移的幾何Brown運動，在數學上表現為Ito過程；

（2）市場無風險利率為已知常數，不隨時間的變化而變化；

（3）股票不支付紅利或者其他收益；

（4）期權是歐式期權，即只能在合約到期日才能執行期權；

（5）不產生交易費用和稅金；

（6）標的物可無限細分，也可自由買賣；

（7）期權和標的物均可賣空．

Black-Scholes模型假設標的資產價格St服從如下隨機微分方程：

其中dWt表示標準Brown運動，且：

π解得：其中：

也可以寫成：也就是Black-Scholes期權定價公式．

F Black和M S Schole的論文不僅在理論上有重大作用，而且在對金融市場的實際操作也有著巨大的影響，其公式在期權交易中得到了廣泛應用．正是由于其巨大的應用價值，國內外眾多的數學家、金融學家和計算機專家都對其進行了大量研究．

Duffie介紹了四種推導Black-Scholes公式的方法［2］：

第一，二項定價模型．首先將時間區間離散化，使得每一小段的時間區間都能夠趨向于零，再假設在市場中不存在套利機會（即冗余），Black-Scholes公式便在這個概念的基礎上建立起來．從一定意義上來說，當給定時間區間無限細分時，即當每一時間區間的交易數目趨向于無窮大時，離散時間交易的極限就是連續時間交易，而利用中心極限定理就可以證明Black-Scholes公式就是離散化公式的極限．

第二，連續模型．設有濾波概率空間（Ω,F,P），令W為標準Brown運動，時間集合為［0,∞），F滿足期權的假設條件．給定一種股票，其價格過程S={St∶t≥0}滿足隨機微分方程dSt=μStdt+σStdWt（μ＞0,σ＞0），另一種為債券，其價格過程β={βt∶t≥0}滿足微分方程dβt=rβtdt（0＜r＜μ），且債券有連續復利利息率r，則上式有唯一解βt=β0ert．然后利用冗余定理和Ito引理，就可將確定歐式看漲期權的市場價值轉化為求解具有邊界條件的偏微分方程．這里有兩種方法，一是經過Fourier變換，二是利用Feynman Kac公式，便可得到Black-Scholes公式．

第四，利用Girsanov定理求解．使用一般鞅定價模型和Girsanov定理去考察Black-Scholes模型中冗余證券的估值，也可得到期權定價公式．

以上在求解Black-Scholes公式時，用到了隨機過程、隨機微分方程等方面的數學知識，推導過程相當繁瑣，從一定程度上影響了該公式的普及和應用．國內一些學者也試圖尋找簡化推導的方法，如俞迎達等僅僅利用微積分和概率統計的知識就得到了對于不支付紅利股票的歐式看漲期權公式，由此過程很容易就能推導出支付紅利和歐式看跌期權甚至更一般的期權定價公式［3］．鄧樂斌給出了兩種推導該公式的方法［4］．潘冠中等在風險中性的假定下，通過對正態分布的性質和矩母函數的運用，較容易地導出了Black-Scholes公式［5］．

2　Black-Scholes模型的推廣與發展

Black-Scholes期權定價模型的優點是可以得到期權定價的解析表達式，并獲得清晰的定量結果，而且該解析解沒有誤差．該方法的缺點是只研究了歐式期權，沒有給出美式期權的解析解，對于期權價格依賴于狀態變量歷史路徑的情況難以處理，而且它的假設條件相當嚴格，使它過分理想化，從而與現實世界相脫離，不利于在更普遍的環境中應用，因此需要根據現實條件對其模型進行擴展．例如當股票交易中存在紅利支付，或者有交易成本，或者無風險利率為隨機變量，或者波動率常數彈性，或者股票價格服從指數O-U過程，或者資產收益服從分數次Brown運動時，均需對Black-Scholes模型進行適當推廣，而侯迎春就主要介紹了在這六個方面對期權定價公式的擴展形式［6］．

最近幾年，國內學者也對Black-Scholes模型進行了大量的研究，得到了該公式的許多擴展形式．如陳萬義假定股票價格服從幾何Brown運動，在一般非風險中性意義下導出了歐式看跌期權定價公式［7］，在風險中性意義下該公式就退化為一般的Black-Scholes期權定價公式．王峰等用泊松過程來描述突發信息變化對股票價格的影響，用Brown運動來描述市場連續信息對股票價格的影響，得到了由Brown運動和泊松過程共同驅動的模型［8］．蘇軍等對Black-Scholes模型的定價偏差進行了研究，并且假設利率是隨機的，同時風險資產的價格過程服從跳一擴散過程，進而得到了該公式的改進［9］．閆海峰等在當股票價格過程遵循帶有非時齊Poisson跳躍的擴散過程、廣義Ornstein-Uhlenback過程模型和幾何分式Brown運動過程時，采用保險精算定價的方法給出了歐式期權定價公式［10-12］．孫玉東等假定波動率是股票價格的階可導函數，期望收益率為股票價格的連續函數，利用金融市場復制策略得到了一般的Black-Scholes偏微分方程，進而導出了定價公式［13］．FAN Kun考慮了兩因素作用下馬爾可夫調制隨機波動率模型，一個是隨機波動率因素服從均值回歸的平方根過程，另一個是隨機波動率因素被連續時間有限狀態馬爾可夫鏈所調制，在風險中性測度下，通過逆傅里葉變換得到了歐式期權定價公式［14］．任智格在無風險利率是變化的假定下，運用Ito公式和指數函數得到了改進的期權定價公式［15］．

上述學者均是在放寬期權假設條件的基礎上對Black-Scholes定價公式進行了推廣，但是世界上并不是只有歐式期權，所以國內的學者也將眼光投向了其他各種期權類型．如薛紅等先假定股票價格遵循由分數Brown運動驅動的隨機微分方程，得到了歐式最值期權定價公式，又研究了分數跳—擴散過程下幾何平均亞式期權定價問題，獲得了該條件下的看漲、看跌公式［16-17］．李志廣等利用有限體積元方法，在假定波動率和期望收益率都是股票價格的一般函數的條件下，得到了美式期權定價公式，并且給出了該方法的誤差估計［18］．顧鋒娟等在連續支付美式分期付款期權定價模型中，構造了基于自適應網格的有限差分策略，采用中心差分格式，構造出分片一致網格，再利用光滑化技巧來處理，最后通過數值解法求得美式分期付款期權的最優執行邊界和最優終止邊界［19］．彭斌等在股票價格變化過程服從跳-分形Brown運動的假設下，研究了支付紅利的美式看漲期權定價問題［20］．王偉等假定風險資產價格滿足馬爾可夫調制的跳擴散過程，利用測度變換和無套利原理給出了該模型下遠期生效看漲期權的定價公式［21］．SU Xiao-nan等假定標的資產價格過程服從馬爾科夫調節的幾何Brown運動，特別是當市場利率、標的風險資產的預期收益率與波動率隨著馬爾科夫鏈的狀態轉移時，利用regime switching Esscher變換得到一個等價鞅測度，進而得到歐式冪型看漲期權的公式［22］．王嘉展等假設標的資產價格服從分數Brown運動，并且在利率為Ho-Lee的模型下，得到了隨機利率下的冪期權定價公式［23］．袁國軍等考慮了標的股票的價格服從跳－擴散過程的亞式期權定價問題，運用無套利原理、廣義Ito公式和近似對沖跳躍風險的方法，建立了該過程中的算術平均亞式期權模型，最后給出了基于半離散化的差分求解方法，并且分析了差分格式的穩定性和誤差［24］．唐玲等在股票價格波動率服從對數正態分布的假定下，利用等價鞅測度變換，得到了基于最小等價鞅測度下的，同時執行價格固定的，幾何平均亞式期權定價公式，并討論了如何求其近似解［25］．

3　　結語

本文在Black-Scholes模型的理論背景和假設條件下，給出了期權定價公式，并簡要介紹了國內外學者的不同推導方法，然后討論了該模型在不同假設條件下以及不同期權模型中的擴展形式．

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［25］唐玲,林志超.隨機波動率模型下幾何平均亞式期權的定價［J］.沈陽大學學報:自然科學版,2014,26(6):510-513.

（責任編輯：邵曉軍）

中圖分類號：O29；F830.9

文獻標識碼：A

文章編號：1007-5348（2015）08-0008-05

［收稿日期］2015-04-27

［作者簡介］王明輝（1986-），男，山東濟寧人，韶關學院數學與統計學院助教，碩士；研究方向：線性模型．

An Overview of the Deductive Method and Extensions of Black-Scholes Formula

WANG Ming-hui
（School of Mathematics and Statistics,Shaoguan University,Shaoguan 512005,Guangdong,China）

Abstract:From the background of theory and assumed condition of Black-Scholes formula,the paper first in

troduces the derivation of the option pricing formula,then it recommends several deductive approaches used by scholars from home and abroad,finally it presents the promotion of the Black-Scholes model from two aspects, namely the easing of the assumptions and the expansion of the option model.

Key words:Black-Scholes model;option pricing formula;extensions