離散模糊自適應滑模控制在磁軸承中的應用

孫冬梅，徐海鵬，范文，熊鑫，曾理

(南京工業大學 自動化與電氣工程學院，南京 211816)

主動磁軸承與傳統機械軸承相比具有無磨損和無需潤滑等特性，因此，常用于磁懸浮飛輪儲能裝置等系統。

主動磁軸承的轉子在高速旋轉時存在一定的不平衡量。滑模變結構控制對外界擾動具有良好的自適應性，因此，在主動磁軸承中得到了廣泛應用。文獻[1]研究了滑模變結構控制對單自由度磁懸浮軸承系統的非線性解決方案，但并沒有考慮系統中存在的不平衡擾動和非線性干擾問題對系統的影響。文獻[2]提出了滑模觀測器的概念，設計了滑模變結構控制器和觀測器，用于磁懸浮軸承的跟蹤控制，仿真結果表明該系統具有良好的實用性和魯棒穩定性。文獻[3]設計了滑模觀測器用于觀測磁軸承-轉子系統的擾動量，使用了基于PID控制的交叉解耦方法對系統進行解耦，仿真結果表明系統的不平衡振動和干擾量得到了有效的抑制，但設計較為復雜。文獻[4]提出了一種基于柔性轉子動力學的非線性主動磁軸承系統模型，設計了用于補償磁軸承-轉子系統的滑模控制器，仿真結果表明該控制器能夠補償磁軸承-轉子系統的非線性。

針對磁軸承-轉子在高速旋轉存在的不平衡擾動和非線性干擾問題，通過建立磁軸承-轉子系統的動力學方程，提出了一種離散模糊自適應滑模控制方案。

1 磁軸承-轉子系統動力學模型

以徑向4自由度主動磁軸承-轉子系統為對象[5]，假設：1)轉子為軸對稱剛性轉子；2)轉子的軸線與2個徑向軸承的中心連線在一條直線上；3)電磁鐵中的磁場是均勻分布的，磁性材料不呈現飽和特性；4)徑向4個自由度的參數和結構完全一樣；5)忽略鐵芯材料的損耗。建立Oxyz廣義坐標系，并且以轉子質心為坐標系原點，以兩徑向軸承中心連線為z軸。磁軸承-轉子系統的動力學模型如圖1所示。圖中，Flx，Frx分別為x軸左右兩端所受的電磁力；Fly，Fry分別為y軸左右兩端所受的電磁力；θx，θy分別為x軸和y軸方向上的角位移量；ω為轉子旋轉的角速度；a,b分別為磁軸承兩端位移傳感器到質心的距離。

圖1 磁軸承-轉子系統的動力學模型

磁軸承-轉子系統的動力學方程為

式中：m為磁軸承轉子的質量；Jp為極轉動慣量;Jr為赤道轉動慣量；e為離心率；η為慣性軸與旋轉軸的夾角；px,py分別為x,y軸方向上的合力矩；Fx，Fy，Fz分別為磁軸承x，y，z軸方向上的合力；θ1,θ2為初始相位。

Fx，Fy，Fz，px，py滿足如下關系式

Fx= Flx+Frx=kxx+kixu1,

Fy=Fly+Fry=kyx+kiyu2,

Fz=kzz+kizuz,

px=kx(a+b)2θx-kix(a+b)u3,

py=ky(a+b)2θx+kiy(a+b)u4,

式中：kx，ky，kz分別為磁軸承-轉子系統x，y，z軸方向的位移剛度；kix，kiy，kiz分別為x，y，z軸方向的電流剛度；u1,u2,u3,u4,uz為電流控制量。

由(1)式可知系統的軸向解耦與徑向解耦，徑向的平動解耦和徑向的轉動解耦，在引入交叉反饋的前提下，可以研究單自由度[6-7]。設初始相位角為零，以其中一個平動自由度為例，對該平動單自由度的動力學方程進行線性化處理可得

(2)

式中：ks，ki分別為系統的位移剛度和電流剛度；d(t)為不平衡擾動量和非線性部分。為了方便設計控制算法，需將(2)式轉換成狀態方程并離散化，則

(3)

由于(3)式滿足匹配條件[8]，將其轉化為

X(k+1)=AX(k)+B[U(k)+f(k)]，

(4)

式中：A，B為系數矩陣；U(k)為電壓矩陣函數；t0，i0，x0為初始值；τ為時間參數。

2 磁軸承-轉子系統控制器

2.1 控制系統總體框圖

控制系統的總體框圖如圖2所示。滑模控制器的設計是基于離散控制率，將位移傳感器的輸出信號y=x作為非線性跟蹤微分器的輸入信號；用z1和z2分別代替x和dx；將滑模函數S及滑模函數的變化率dS作為模糊控制率的輸入量，滑模控制率的增益為模糊控制率輸出的絕對值FO。

圖2 控制系統總體框圖

2.2 模糊控制器設計

模糊控制器是經過模糊推理得到輸出控制量的模糊取值。模糊控制器適用于非線性時變、滯后系統的控制，但其自身抖振會激勵起系統中的高頻抖振，甚至導致系統的不穩定，因此，將模糊控制器與傳統的滑模控制器相結合，抑制滑模變結構控制中固有的抖振問題。

采用二維模糊控制器，模糊變量選擇符合正態分布的隸屬度函數。定義模糊集：NB=負大，ZO=零，PB=正大。定義模糊規則：If S is A and dS is B then FO is C。模糊規則表見表1。

表1 模糊控制規則表

2.3 滑模控制器設計

主要包括滑模函數設計和滑模控制律設計。由基于線性簡約型的(3)式可設計切換函數為

S(k)=Se[R(k)-X(k)]，

(5)

式中：Se為待定的二維行向量；r(k)為給定參考信號；滑模面S(k)=0[2]。

離散形式趨近律為

S(k+1)=S(k)-εTsgn[S(k)]-qTS(k)，

(6)

式中：ε為滑模控制器的增益，取ε=FO(k)；T為采樣時間，T固定的情況下，ε反映滑模控制器抖振的程度；q為比例系數。

根據(4)～(6)式可得基于離散形式的控制律為

U(k)=(SeB)-1{SeR(k+1)-SeAX(k)-S(k)+

εTsgn[S(k)]+qTS(k)}-f(k)。

(7)

由于f(k)為未知量，取其估計值代替，則該基于離散形式的控制律才能在實際中使用，此處忽略不計。

2.4 二階離散非線性跟蹤微分器設計

由(7)式可知，滑模控制器需要全狀態信息，因此，二階離散非線性跟蹤微分器的輸入為位移傳感器得到的系統位移信號y，輸出為位移信號y的跟蹤輸出z1和跟蹤微分z2。再用z1和z2代替x和dx。

根據(4)式可得二階離散非線性跟蹤微分器的方程為

，(8)

式中：u(k)為第k時刻的輸入；r為跟蹤快慢參數；h為濾波效果參數。

fst函數的表達式為

δ=rh，δ0=δh;

式中：sat為標準向量飽和函數；a0，δ,δ0均為中間量，無實際含義。

3 仿真與討論

對某磁軸承-轉子系統進行仿真，其參數見表2。

表2 磁軸承-轉子系統參數

仿真條件設置：條件1為采用模糊自適應增益不含干擾f(k);條件2為采用模糊自適應含干擾f(k);條件3為采用固定增益含干擾f(k)。

磁軸承-轉子系統在3種條件下的質心位移輸出如圖3所示，其中y1～y3分別對應條件1～3。由圖可知，3條曲線收斂到0的時間基本均為0.08 s，說明該控制系統響應較快，且超調量較小，可有效抑制系統中存在的不平衡擾動和非線性干擾問題，實現了系統的自動平衡。

圖3 系統質心的位移輸出

系統在條件1和條件2下的控制電流(I1和I2)如圖4所示。由圖可知，二者所需的控制電流均較小，在0.05 s內收斂到0，均有少許的電流起伏，但抖振量不明顯，都在精度允許范圍內。

圖4 系統的控制電流

經仿真表明,系統在條件1下的自適應增益在2.93×10-17,且變化不大。系統在條件2和條件3下的控制電流(I2和I3)抖振如圖5所示。由圖可知，固定增益的抖振量非常大。

圖5 系統控制電流抖振

4 結論

提出的離散模糊自適應滑模控制方法有效削弱了磁軸承-轉子系統存在的不平衡擾動和非線性干擾，仿真證明，該控制系統具有良好的魯棒性和自適應性。此外，二階離散非線性跟蹤微分器解決了無法直接得到速度信號的問題，為接下來的研究奠定了良好的基礎。