武器裝備科研經費分配的規劃模型與算法

張驍雄，姜 江，葛冰峰

（國防科學技術大學信息系統與管理學院，湖南長沙410073）

武器裝備科研經費分配的規劃模型與算法

張驍雄，姜 江，葛冰峰

（國防科學技術大學信息系統與管理學院，湖南長沙410073）

針對武器裝備科研經費分配難的問題，首先，考慮了不同武器裝備研制費用隨時間的分布模型，其次，在滿足多種現實約束的情況下，以分配方案最大化滿足經費需求為目標建立了數學規劃模型，并設計了基于差分進化的求解算法。針對模型的特殊性，設計了特殊的編碼方式，以滿足各種現實約束。最后，通過一個示例驗證了該模型和算法的有效性，可以為武器裝備科研經費規劃提供決策支持。

武器裝備；科研經費；規劃模型；差分進化

0 引 言

武器裝備科研經費分配及統籌規劃問題是一項復雜的系統工程，集中體現為在有限的經費預算條件下，對擬投入的不同型號裝備進行資源分配，并使得軍事效益最大化。隨著經濟建設的發展，武器裝備科研規劃頂層涉及裝備的種類、型號和數量越來越多。目前，武器裝備科研經費分配存在選擇空間規模大、規劃方案難以確定等問題。因此，針對日益突出的武器裝備科研經費分配矛盾，如何對武器裝備科研規劃進行合理的建模并進行規劃方案的求解具有十分重要的理論與實踐意義。

武器裝備科研經費規劃是一類典型的資源分配問題?，F實生活中很多領域也面臨著如何對有限的資源進行合理的分配，使得效益最大化的難題。國內外不同的學者對此展開了廣泛的研究。文獻［1］建立了一套靈活的優化框架用于解決動態資源規劃問題，并通過3個具體事例證明了該方法的有效性。文獻［2］利用模糊目標規劃的方法求解農業系統中的水資源分配問題。文獻［3］基于數據包絡分析法解決固定費用下的資源分配問題。文獻［4］提出了一種新的解決離散空間組合優化的二進制狼群算法，用來求解0－1背包問題。

針對經費分配，文獻［5］使用模糊層次分析法對市政焚化爐進行了資金的分配，可以保證分配方案經過深思熟慮且覆蓋多個方面。文獻［6］提出了一種多級串聯不確定－確定式投資組合優化算法，用于求解美國陸軍武器項目最佳可購性的費用規劃方案設計。該算法能夠針對10 000種以上的可能情景進行確定優化，可以針對不同目標函數進行針對性的裁剪。文獻［7］介紹了一類魯棒優化模型，用于挪威國防部陸軍項目采辦決策。該模型通過分配項目所需要的各類費用、時間和人力等資源，并考慮未來各年度不確定預算費用，為優化未來裝備費用比例結構提供靈活的決策支持。文獻［8］在考慮了戰爭情況多種不確定性因素的條件下，針對政府部門的經費分配問題，提出了一種靈活的框架并建立了對應的模型。

盡管針對經費分配問題存在著一定的解決思路，但是當前的研究成果中模型較為籠統，未對分配對象進行區分對待，且缺乏完整的算法進行求解，尤其是面向武器裝備的經費分配問題。

因此，本文以武器裝備研制費用隨時間的分布模型為切入點，預測不同類型裝備的費用需求，建立以費用需求、裝備投入保障程度等為規則的定量約束優化模型。同時，采用差分進化算法進行分析求解，并通過一個實例驗證了算法的有效性。

1 問題分析及建模

1.1 問題描述

武器裝備科研規劃的問題可以描述為：在一個5年規劃內，在總預算S一定的前提下，如何對n種不同類型的武器裝備，進行合理的經費分配，使得分配方案能夠有效滿足多個現實約束。現假設有A、B、C 3種不同類型的裝備。同一類型裝備中根據作戰能力的不同又可以分為重點、主要和一般3種型號的裝備。同時，考慮武器裝備研制費用隨時間的分布模型，并以此作為裝備經費分配的依據和約束條件。

1.2 符號和決策變量

現對文中涉及的符號與決策變量解釋如下：

（1）符號

a：A類型裝備的總數量；

b：B類型裝備的總數量；

c：C類型裝備的總數量；

a1：A類型裝備中重點型號裝備的數量；

a2：A類型裝備中主要型號裝備的數量；

a3：A類型裝備中一般型號裝備的數量；

b

1：B類型裝備中重點型號裝備的數量；

b2：B類型裝備中主要型號裝備的數量；

b3：B類型裝備中一般型號裝備的數量；

c1：C類型裝備中重點型號裝備的數量；

c2：C類型裝備中主要型號裝備的數量；

c3：C類型裝備中一般型號裝備的數量；

S：武器裝備總經費預算；

zi：C型號第i個裝備的采購費用；

K：重點裝備經費的保障程度；

u：年度經費允許波動范圍；

w1：重點型號裝備重要度；

w2：主要型號裝備重要度；

w3：一般型號裝備重要度。

（2）決策變量

xij：規劃分配給A型號第i個裝備第j年的實際經費；

yij：規劃分配給B型號第i個裝備第j年的實際經費；

zij：規劃分配給C型號第i個裝備第j年的實際經費。

1.3 建模與描述

結合現實，將武器裝備經費分配涉及到的約束條件轉化為定量化的數學公式，并進行分析建模：

（1）不突破總經費預算需求

式（1）表示，在5年規劃內，分配給所有不同型號裝備的經費總和不超過總經費預算S。

（2）年度經費分配相對平均，允許在u范圍內波動

（3）保障重點型號裝備

以A型號裝備為例，采用擬分配給裝備的實際費用xij與按裝備投資規律模型所預測出的費用?xij之比xij／?xij作為裝備每年的經費保障程度。為突出重點裝備，規定該類型號的裝備經費保障程度不小于給定的系數值K（0＜K≤1）。同理適用于B型號裝備。

（4）區分出重點、主要和一般3種型號裝備

仍以裝備的經費保障程度為依據，式（4）表示對于同一年里的A、B兩類裝備，所有一般型號裝備的經費保障程度要小于任何主要型號裝備的經費保障程度，同時所有主要型號裝備的經費保障程度要小于任何重點型號裝備的經費保障程度。

（5）變量取值約束

規定實際規劃分配給A、B型號裝備的經費不允許超過各裝備按照武器裝備研制費用隨時間的分布模型所得到的預測值。即所求變量取值約束為

對于C類型裝備，需要分兩年進行投資，分別支付裝備總金額的60%和40%。因此

若zij＝0.6zi＆＆zik＝0.4zi

（6）目標函數

將目標值設定為

如前文所述，根據裝備作戰能力的大小分為重點、主要和一般3種類型裝備。同時，在總經費有限的情況下，對各類型裝備經費的投入也不同。對于重點型號裝備的經費投入越多，也就越能保證其作戰能力的發揮，使得整體的作戰效能增大；反之，如果重點型號裝備的經費投入得不到保障，則會大大影響整體的作戰效能。同理也適用于主要和一般型號的裝備。

因此，本文將總目標函數設定為A、B型號裝備里所有不同類型裝備的經費保障程度與其裝備對應的重要程度相乘后的加權和，以此來反應整個經費分配的合理性以及對應的裝備組合可以發揮的效能。對于C型裝備，主要考慮其引進的方式以滿足各種約束條件，故在目標函數里不予考慮。

該目標函數的設置單獨存在時并沒有太多實際意義，但卻可以較好地衡量與比較不同分配方案之間的優劣情況。

2 基于差分進化的模型求解算法

2.1 引進裝備的編碼解碼

根據前文所述，C類型裝備一般分兩年進行引進，分別支付該裝備總投資額的60%和40%。因此，對于c個C類型裝備，用一個長度為c的十進制數組來編碼。因為每一個裝備可以在5年中的任意兩年進行引進，因此共有C25＝10種方式，故每一位編碼的取值范圍設置為0～9的任意整數，其對應關系如表1所示。

表1 C類裝備的編碼方式

假設有4種C類裝備，故生成一個4位數的編碼，每個數值為0～9任一整數。設生成數為［0 2 7 5］，對應表1，表示第1種裝備選擇第1年和第2年進行引進，分別支付該裝備總費用的60%和40%，第2種裝備選擇第1年和第4年進行引進，分別支付該裝備總費用的60%和40%，依次類推。

2.2 基于差分進化算法的模型求解

武器裝備的科研經費規劃屬于資源分配問題，描述簡明但實際求解困難，其解空間隨著涉及到的裝備數目呈指數型增長，是一類典型的NP-hard難題。傳統算法易產生“組合爆炸”［9］，因此，越來越多的研究人員嘗試采用智能算法來求解此類問題。

差分進化（differential evolution，DE）算法原理簡單，易于實現，相比于其他算法，具有更強的全局收斂能力和魯棒性，目前已在多個領域得到廣泛應用［10-13］。

用DE算法來解決約束優化問題時候，基于罰函數的罰函數類分法［14］被廣泛用來處理約束。其最根本的缺點是無法事先確定適當的罰因子，往往需要通過多次試驗來不斷調整。文獻［15］進一步引入了不需要罰因子而直接比較個體優劣的方法。也就是說對于兩個給定的解個體，當其都不違反約束的時候，通過比較適應度值進行優劣判斷；當其中有一個是可行解而另一個不可行時，則無條件的認為可行解個體優于不可行解個體；當兩個解個體都不滿足約束時，違反約束程度越小的個體越好。這種分離目標和約束的方法避開了懲罰系數難以選擇的困難，是一種更為有效的約束處理機制。

針對本模型特點，設計基于DE算法的求解算法。

步驟1 初始化種群。結合問題背景，采用十進制實數，對3種不同類型裝備經費分別進行編碼，構成個體并形成初始種群，編碼方式如圖1所示。

圖1 個體編碼方式

圖1中，xij表示Ai裝備第j年的經費；yij表示Bi裝備第j年的經費；zi表示Ci裝備的經費編碼。

步驟2 構建適應度函數。首先構建目標函數，然后再根據約束式計算每個個體違反約束程度的罰值和。

步驟3 變異操作。本文主要采用3種常用變異算子來產生新的變異個體［16］，即

步驟4 交叉操作。以一定的概率取值用父代個體替換臨時個體以豐富種群的多樣性。

步驟5 越界處理操作。對于個體中的每一位，如果超出了其對應取值的上界和下界，則應該進行越界處理操作。對于A和B型號裝備，具體策略為［17］

否則

式中，r（i，j）表示個體i的第j位；rangeright和rangeleft分別表示變化范圍的最大值和最小值。式（12）表示對于越界控制在一定范圍內的個體，將其等距離映射回允許的區間［17］，否則采取重新生成的方式。

特別地，對于C型號裝備，其對應的編碼必須是整數，若其超出范圍，則采取重新隨機生成的策略，即

步驟6 競爭生存操作。參考文獻［18］的競爭生存操作，同時比較父代與子代個體的適應度和罰函數值，進行選擇淘汰。優秀的個體將繼續保留在群體中，參與下一次的進化，同時更新全局最優個體。

步驟7 演化迭代。判斷是否達到總迭代次數，若是，則停止迭代，輸出全局最優解和最優值，否則轉步驟3進行下一次迭代。

3 示例研究

假設某個5年規劃中將要發展A、B、C 3種不同類型裝備，其中C為引進類型裝備。每種類型裝備中包含重點、主要和一般型號裝備數目都是2。在給定總經費的情況下，根據裝備自身費用規律，首先對裝備的費用需求進行預測，然后需要對所有裝備進行經費分配，使得分配方案可以滿足各種約束，如式（1）～式（7）所示。

對于本文方法對應模型所涉及到的幾個參數值，進行假設：

假設1 總經費S＝220億元；

假設2 重點裝備保障程度K＝0.8；

假設3 年度經費波動范圍u＝0.05（5%）；

假設4 重點、主要和一般這3種裝備的重要度值分別為w1＝0.8，w2＝0.6，w3＝0.4。

目前武器裝備研制費隨時間的分布主要符合以下3種模型［18］：單峰威布爾分布模型、雙峰威布爾分布模型以及生命周期曲線模型。

以某裝備為例，假設其投資分布規律服從生命周期曲線。在具體計算時，給定時間t的條件下，即可以求出相應年限的經費預測值。根據各裝備所服從的投資分布規律模型，計算出A和B型號裝備未來5年每年經費的需求值，即分別對應和。

3.1 分析計算

根據經費的分配原則和現實約束，所求變量應該滿足

目標函數值設置為

利用算法迭代求解，輸出最終的變量取值，即各裝備年度經費的分配大小。

3.2 結果分析

本文分別采用基于3種基本變異算子的DE求解算法以及具有隨機權重的粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）［19］進行演化迭代計算。主要參數設定：種群規模N＝100，迭代次數Max Gen＝500，算法的交叉概率設為0.2。經反復試驗，各算法演化曲線及最終求解結果如圖2所示。

圖2中，DE-1、DE-2、DE-3分別表示采用式（9）～式（11）變異算子的DE算法。可見，PSO算法迭代次數達到180代左右時才得出滿足約束條件的解，而最終得到的目標值也明顯小于分別基于3種不同變異算子的DE算法。在3種不同變異算子中，DE-2能以更快的速度收斂到34以上的滿意解，同時在迭代后期能夠保持全局搜索能力，具有較高魯棒性。

基于上述4種算法，分別獨立運行10次，10種結果統計如表2所示。由表2可知，在各項指標的比較上，PSO都明顯劣于DE算法。而基于3種不同變異算子的DE算法中，DE-2在最優值和平均值上都要優于DE-1和DE-3，且各自獨立運行的不同結果中方差值可以達到最小。通過對比分析，可以得出針對本模型，DE-2的求解效率和穩定性相對更高。

圖2 分別基于3種變異算子的DE求解算法和PSO算法的進化曲線

表2 基于3種不同變異算子的DE算法與PSO算法的結果對比

3.3 規劃方案分析

算法的每一次運行生成的結果并不唯一，以DE-2為例，得到的某一最優方案結果如表3所示。

表3 最優分配方案示意

由表3可知，在5年內分別對A、B、C 3種型號18種裝備進行了經費分配。經驗證，表中方案滿足總經費、年度經費、經費保障等幾項約束，各裝備年度經費取值合理有效。對于6種引進型號裝備，分別在5年中的不同年限進行引進。

實際操作中，考慮現實情況，決策者可能需要對特定裝備的經費分配進行一定的限定。結合算法編碼的特殊性，只需要在算法初始化步驟中對個體的相應編碼進行修改即可。例如，決策者規定第一年分配給A1裝備5億元的經費，則只需令x11＝5。同理，假設決策者規定C2裝備必須在第1年和第4年進行引進，則只需令z2＝2即可。這樣，最終生成的方案一定可以滿足決策者的需求。

本文建立的武器裝備經費分配模型考慮了裝備研制費用隨時間的分布模型，對不同型號裝備進行區分對待，可以滿足各種不同的現實約束，同時決策者可以共同參與到算法的求解過程中，對分配方案進行不斷調整和優化，直至生成令決策者滿意的解方案。這樣就較好地融入了決策者的主觀偏好，而并不僅僅是被動的接受。

4 結 論

武器裝備的科研經費規劃的重要性不言而喻，合理的經費分配有助于實現資源的高效利用，并最大化軍事效益。目前，針對該類問題，鮮有較為具體的建模與計算，同時也缺乏定量的模型和完整具體的支撐方法進行求解。本文結合實際背景，考慮了武器裝備費用隨時間的變化情形，對武器裝備經費規劃問題建立了具體的模型，并應用智能優化算法對其進行方案的生成與求解。結果顯示，本文提供的模型與算法可行且高效，能夠較好的對裝備5年甚至更長時間內的經費進行統籌安排，可以用于支撐武器裝備科研經費頂層規劃和決策。

［1］Bertsimas D，Gupta S，Lulli G.Dynamic resource allocation：a flexible and tractable modeling framework［J］.European Journal of Operational Research，2014，236（1）：14-26.

［2］Pal B B，Goswami S B，Sen S，et al.Using fuzzy goal programming for long-term water resource allocation planning in agricultural system：a case study［M］.Springer Berlin Heidelberg：Mathmatical Modelling and Scientific Computation，2012：170-184.

［3］Du J，Cook W D，Liang L，et al.Fixed cost and resource allocation based on DEA cross-efficiency［J］.European Journal of Operational Research，2014，235（1）：206-214.

［4］Wu H S，Zhang F M，Zhan R J，et.al.A binary wolf pack algorithm for solving 0－1 knapsack problem［J］.Systems Engineering and Electronics，2014，36（8）：1660-1667.（吳虎勝，張鳳鳴，戰仁軍，等.求解0－1背包問題的二進制狼群算法［J］.系統工程與電子技術，2014，36（8）：1660-1667.）

［5］Chang N B，Chang Y H，Chen H W.Fair fund distribution for a municipal incinerator using GIS-based fuzzy analytic hierarchy process［J］.Journal of Environmental Management，2009，90（1）：441-454.

［6］Chow B G.Portfolio optimization by means of multiple tandem certainty-uncertainty searches［R］.Pittsburgh，USA：Rand Corporation，2013.

［7］Flwiacher F M，Vestli M，Glrum S.Optimization model for robust acquisition decisions in the Norwegian armed forces［J］.Interfaces，2013，43（4）：352-359.

［8］Shabtay H，Tishler A.Budget allocation under uncertainty and the costs of war and insecurity［J］.Defense and Peace Economics，2014，25（5）：461-480.

［9］Zhang X G，Huang S Y，Hu Y，et al.Solving 0－1 knapsack problems based on amoeboid organism algorithm［J］.Applied Mathematics and Computation，2013，219（19）：9959-9970.

［10］Ponsich A，Coello C.Differential evolution performances for the solution of mixed-integer constrained process engineering problems［J］.Applied Soft Computing，2011，11（1）：399-409.

［11］Tasgetiren M F，Pan Q K，Suganthan P N，et al.A differential evolution algorithm for the no-idle flowshop scheduling problem with total tardiness criterion［J］.International Journal of Production Research，2011，49（16）：5033-5050.

［12］Rocca P，Oliveri G，Massa A.Differential evolution as applied to electromagnetics［J］.IEEE Antennas and Propagation Magazine，2011，53（1）：38-49.

［13］Kazemipoor H，Tavakkoli R，Shahnazari P，et al.A differential evolution algorithm to solve multi-skilled project portfolio scheduling problems［J］.International Journal of Advanced Manufacture Technology，2013，64（15）：1099-1111.

［14］Michalewicz Z，Schoenauer M.Evolutionary algorithms for constrained parameter optimization problems［J］.Evolutionary Computation，1996，4（1）：1-32.

［15］Deb K，Agrawal S.A niched-penalty approach for constraint handling in genetic algorithms［C］∥Proc.of the Artificial Neural Nets and Genetic Algorithms，1999：235-243.

［16］Price K，Storn R M，Lampinen J A.Differential evolution：a practical approach to global optimization［M］.Berlin：Springer Science＆Business Media，2006.

［17］Zhou Y，Tan Y J，Jiang J，et al.Capability requirements oriented weapon system of systems portfolio planning model and algorithm［J］.Systems Engineering-Theory&Practice，2013，33（3）：809-816.（周宇，譚躍進，姜江，等.面向能力需求的武器裝備體系組合規劃模型與算法［J］.系統工程理論與實踐，2013，33（3）：809-816.）

［18］Xu Z.Schedule，cost and risk management for weapon system［M］.Beijing：Beijing aerospace university，2011.（徐哲.武器裝備進度、費用與風險管理［M］.北京：北京航天航空大學，2011.）

［19］Li G Y，Guo C，Li Y X.Fractional-order control of USV course based on improved PSO algorithm［J］.Systems Engineering and Electronics，2014，36（6）：1146-1151.（李光宇，郭晨，李延新.基于改進粒子群算法的USV航向分數階控制［J］.系統工程與電子技術，2014，36（6）：1146-1151.）

Scheduling model and algorithm for weapon equipment scientific research budgets allocation

ZHANG Xiao-xiong，JIANG Jiang，GE Bing-feng
（College of Information System and Management，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China）

Aiming at difficulties in the weapon equipment scientific research budgets allocation problems，time-dependent research and development cost distribution models of weapon systems are taken into consideration firstly.Then a new mathematical planning model is established under the condition of meeting various constraints in reality，whose objective function is set as the maximum of meeting budget needs.A solving algorithm is put forward based on differential evolution.According to the particularities of the solving model，a special coding data structure which can satisfy various constraints in reality is proposed.Finally，a case is studied to demonstrate the effectiveness of the proposed model and algorithm，which can support the decision making on the allocation of weapon scientific research budgets.

weapon equipment；scientific research budgets；scheduling model；differential evolution

TP 202 文獻標志碼：A DOI：10.3969／j.issn.1001-506X.2015.09.16

張驍雄（1990-），男，博士研究生，主要研究方向為體系評估、多準則決策、多目標優化。

E-mail：zxxandxx＠163.com

姜 江（1981 ），男，副教授，博士，主要研究方向為體系優化、證據推理。

E-mail：jiangjiangnudt＠163.com

葛冰峰（1983 ），男，講師，博士，主要研究方向為體系建模、組合決策。

E-mail：bingfengge＠nudt.edu.cn

1001-506X（2015）09-2061-06

2014-06-20；

2014-09-20；網絡優先出版日期：2015-05-11。

網絡優先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150511.1343.001.html

國家自然科學基金（71201168）資助課題