全連續算子與拓撲度的相關證明及實例探究

祁瓊

(南京財經大學應用數學學院，江蘇南京 210046)

當x∈D時必有某yi使‖Ax－yi‖＜ε，故di(Ax)＞0，從而d(Ax)＞0.

全連續算子與拓撲度的相關證明及實例探究

祁瓊

(南京財經大學應用數學學院，江蘇南京 210046)

非線性泛函是現代數學研究中很重要的工具，非線性泛函分析包括拓撲度理論、半序方法、變分方法、分歧理論和Banach空間微分方程理論，本文討論非線性算子的連續性與有界性，全連續算子與拓撲度相關性質的證明，并用實例證明相關結論.

非線性算子;連續性;有界性;全連續算子;拓撲度

1 前言

線性方程的基本問題是解的存在性和唯一性，而非線性方程的基本問題是解的存在性和多解性.而拓撲度理論是關于非線性方程的多解性的理論，因此對拓撲度的研究能幫助我們其粗略地確定非線性方程的個數.拓撲度理論是由L.E.J.Brouwer［1］在1912年創立的，他所建立的拓撲度針對的是有限維空間中的連續映射，即Brouwer度.全連續算子又稱緊算子，是最接近于有限維空間上線性算子的一類重要算子.在線性代數中，關于線性變換所相應的線性方程組的求解問題已被完全解決了，因此研究全連續算子有利于對無窮維及非線性方程的求解問題.

2 全連續算子

2.1 連續性與有界性

對線性算子而言，連續性與有界性是等價的，而對非線性算子就沒有這種等價性，連續算子不一定是有界的，現舉例說明.

顯然z(n)∈l2且‖z(n)‖=2，(n=1，2，…)，但f(z(n))=n→∞(n→∞).

2.2 全連續算子

____利用全連續算子定義［2］證明:設有界閉集(緊的)Ω?Rn，定義k(x，y，v)是Ω×Ω×R1上的連續函數，則積分算子K∶C(Ω)→C(Ω)，對?Ψ∈C(Ω)，有(KΨ)(x)=∫K(x，y，Ψ(y))d y，則K是全連續算子.

證明:(分三步證明)

(1)證明K是緊算子

對?Ψ∈B，?C0＞0使得‖Ψ‖≤C0，因此，B∈C(Ω)是有界集.由k(x，y，v)在Ω×Ω×［－C0，C0］連續，則?M＞0使得對?(x，y，v)∈Ω×Ω×［－C0，C0］，有 K(x，y，v)≤M，故由定理Arzela－Ascoli定理［3］，

對?x∈Ω，‖KΨ‖≤M，故K(B)在C(Ω)中有界.

(2)證明K(B)是等度連續的

?ε＞0，?δ＞0(δ=δ(ε))使得當‖x1－x2‖ ＜δ，x1，x2∈Ω，對于

又K(x，y，v)在Ω×Ω× [－C0，C0]連續，故K(x，y，v)在Ω×Ω× [－C0，C0]一致連續，從而有?ε＞0，?δ＞0使得‖x1－x2‖＜δ時，

故

(3)證明K是連續的

則

綜上所述，K是全連續算子

2.3 全連續算子等價性的證明

設［4］A∶D→E2，且D是E2中的有界集，則下列三個結論是等價的:

(1)A∶D→E2全連續;

(2)?ε＞0，?Aε∶D→Eε連續有界，使對一切x∈D均有‖Ax－Aεx‖＜ε，這里Eε是E的某個有限維子空間;

證明:(1)→(2):由假定，A(D)是E2中列緊集，故對于給定的ε＞0，?y1，…，ym∈A(D)，構成A (D)的有限ε－網，用Eε表由y1，…，ym張成的有限維子空間.?y∈E2，令

顯然di(y)非負連續，且只在球‖y－yi‖＜ε內為正.

令

當x∈D時必有某yi使‖Ax－yi‖＜ε，故di(Ax)＞0，從而d(Ax)＞0.

由于A(D)列緊，故A(D)有界，從而?M＞0，使‖Ax‖≤M，?x∈D;而‖Ax‖≤M+ε，?x∈D;故Aε有界.

(2)→(3):由假定，?B ∶D→H連續有界，H表E的某有限維子空間，使

令A0=B0，A1=B1－B0，…，An=Bn－Bn－1，…顯然，當n=1，2，…時，An∶D→，這里

An(n=0，1，2，…)的連續性和有界性是顯然的.

3 拓撲度

3.1 拓撲度相關性質證明

定理［5］:由拓撲度定義［5］所定義的deg(f，Ω，p)具有下列四條基本性質:

(i)正規性:若p∈Ω，則deg(f，Ω，p)=1，這里I為單位算子;

(iii)區域可加性:設Ω1，Ω2?Ω是Rn中的有界開集，Ω1∩Ω2=?，并且對任給的x∈(Ω1∪Ω2)，都有f(x)≠p，則必有

(iv)平移不變性:deg(f，Ω，p)=deg(f－p，Ω，p)

證明:

由上式知deg(H(t，.)，Ω，p)關于t是連續的.

事實上，由?(‖H(t，x)－p‖)JH(t，.)(x)在［0，1］×上連續并且是緊的，故復合函數一致收斂，i.e，?ε＞0，?δ＞0，使得當＜δ及‖x1－x2‖＜δ時，有

所以deg(H(t，.)，Ω，p)關于t是連續的.

得證.

(iv)利用定義［5］

3.2 舉例

滿足拓撲度定義的連續非負函數

4 結論

本文對全連續算子及拓撲度相關定義及性質給出了較為簡潔的證明，并用相關實例對定義及性質做出了進一步的闡釋，方便理解非線性泛函的基本知識，為之后更深層次的學習打下基礎.

［1］Brouwer，L.EJ.Invarianz des n－dimensionalen Gabiets［J］.Math Ann，1912(71):305－313.

［2］郭大鈞.非線性泛函分析(第2版)［M］.濟南:山東科學技術出版社，2001.

［3］孫經先.非線性常微分方程泛函方法［M］.北京:科學技術出版社，2008.

［4］郭大鈞，孫經先，劉兆里.非線性常微分方程泛函方法［M］.濟南:山東科學技術出版社，2005.

［5］陳文塬.非線性泛函分析［M］.蘭州:甘肅人民出版社，1982.

The Related Proof and Case Study of Completely Continuous Operator and Topological Degree

QIQiong
(School of Applied Mathematics，Nanjing University of Finance and Economics，Nanjing，210046，China)

Nonlinear functional analysis is an important tool in the study ofmodern mathematics.Nonlinear functional analysis includes the theory of topological degree，the semi ordermethod，the variationalmethod，the theory of bifurcation and differential equation theory in Banach space.The paper discusses how to prove the related properties of continuity and boundedness of nonlinear operator，completely continuous operator and topological degree.Igive examples to prove the conclusions.

nonlinear operator;continuity;boundedness;completely continuous operator;topological degree

O177

A

1672－2590(2015)03－0006－05

2015－04－09

祁 瓊(1989－)，女，江蘇南京人，南京財經大學應用數學學院碩士研究生.