觸摸數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)

錢建兵

小數(shù)的認識是學(xué)生對整數(shù)體系的一次擴展。學(xué)生在建立小數(shù)概念時，與原有概念體系之間有哪些斷層？如何使新學(xué)的小數(shù)概念與原有的數(shù)的體系之間進行無縫對接，從而形成完整的數(shù)的認知結(jié)構(gòu)呢？特級教師周衛(wèi)東執(zhí)教“認識小數(shù)”一課時，引導(dǎo)學(xué)生步步深入地認識小數(shù)，使概念的建立深深地根植于原有的知識體系中?，F(xiàn)擷取幾個精彩片段，與大家共享，一同賞析。

初步概括，抽象一位小數(shù)的意義

依次出示5個、3個、1個正方形，分別可用哪個數(shù)來表示？

生：5、3和1。

師：出示：

師：你看到什么了？

（有一些學(xué)生舉手，教師沒有立即請學(xué)生回答，而是給沒有想好的學(xué)生繼續(xù)思考。）

師：是的。這是我們學(xué)過的分數(shù)。除了可用分數(shù)表示外，你知道還可用哪個數(shù)表示嗎？

生：0.1。

（師板書0.1。）

師：這兩個數(shù)都可以表示圖中的陰影部分，所以可以用什么符號？

生：“=”。

師：沒錯。一齊讀一下吧。

（生齊讀。師繼續(xù)研究。出示表示和的圖。）

你也能寫出這樣的式子嗎？

（師依次板書。）

師：剛才我們通過正方形分別研究了0.1、0.3、0.9，發(fā)現(xiàn)這三個小數(shù)跟我們以前學(xué)過的、之間有聯(lián)系。類似這樣的式子你還能說幾個嗎？

（師將這5個式子豎著排成一列。）

師：從上往下看，再從左往右看，這樣的式子有什么特點？

生1：分子與小數(shù)點后面的數(shù)是一樣的。

生2：都是平均分成10份。

生3：也就是都是十分之幾的分數(shù)。

師：小數(shù)的共同之處呢？

生：都是零點幾。

師：你們覺得十分之幾跟零點幾什么關(guān)系？

生：相等。

（師在中間畫上等于號。）

師：這是我們同學(xué)的發(fā)現(xiàn)，大家一起把這個發(fā)現(xiàn)自豪的讀一讀。

教材一般是從人民幣或長度單位等具有十進關(guān)系的數(shù)學(xué)模型引出小數(shù)的意義，但這樣教學(xué)的弊端很明顯，學(xué)生不容易走出具體的情境，認為小數(shù)就是0.3元，0.5米，所建立的小數(shù)概念都要表示一個數(shù)量，而非一個數(shù)，使一開始建立的小數(shù)概念就有一種誤區(qū)。而且這種錯誤的觀念會影響以后的學(xué)習(xí)，很難糾正。周老師的教學(xué)卻另辟蹊徑，去掉具體的量，直撲小數(shù)概念本質(zhì)。一位小數(shù)是同整數(shù)一樣的數(shù)，將整數(shù)1平均分成10份，既可用分數(shù)表示，又可用小數(shù)表示。這樣教學(xué)，借助直觀，學(xué)生是可以接受的，更能使學(xué)生體會到小數(shù)產(chǎn)生的過程，在原有的知識體系上不斷地完善數(shù)的體系，完成數(shù)系的擴展。

變式比較，凸顯小數(shù)概念本質(zhì)

師：下列哪些圖可以表示0.2？

生：圖2和圖4。

師：圖1為什么不能？不也涂了兩份嗎？

生1：沒有平均分成10份。

生2：圖1用分數(shù)表示是。

師：圖4中的0.2與圖2中的有什么不一樣？

生：圖2 是把正方形平均分成10份的，而圖4是把一條線段平均分成10份的。

師：也就是說圖2的1長成正方形，而在圖4中1長成線段。由此可見，1還可長成什么樣子？

生：所有圖形。

師：不管什么樣子的1，只要平均分成10份，取出幾份，就是零點幾。

通過圖1、3的對比，更加突出小數(shù)與分數(shù)之間的關(guān)系。通過變式圖4與圖2的比較，去除了外在形狀的非本質(zhì)屬性，使學(xué)生的思維直指概念的本質(zhì)：把1平均分成10份，2份表示0.2。1以何種形式表示出來，與圖形的形狀無關(guān)，不僅可以是1個正方形，還可以是線段、圓，甚至其他的物體等，就是我們熟悉的整數(shù)1。這樣教學(xué)使學(xué)生的思維又向前邁了一步，聚焦了概念本質(zhì)：零點幾就是把整數(shù)1平均分成10份，表示幾份的數(shù)。學(xué)生對小數(shù)的認識又更進了一步，學(xué)生所學(xué)新知——小數(shù)，與原有的舊知——整數(shù)之間的關(guān)系更加緊密了。這是一種借助幾何直觀的抽象，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。

看圖搶答，深化小數(shù)概念認識

教師出示上圖，要求學(xué)生搶答。出示第1、2個圖后，學(xué)生依次答出答案。當(dāng)出示第3個圖時，生齊答0.1。但過了一會，出現(xiàn)了不同聲音，立刻有學(xué)生說不對，有學(xué)生說是0.5。

此時，教師沒有表態(tài)，認為是0.5的學(xué)生漸漸多了起來，最后，學(xué)生達成一致。

師：剛才前兩幅圖一下子就知道答案，為什么第3幅圖一下子看不出來，有爭議，是什么原因呢？

生：前面的圖平均分成了10份，這個圖平均分成了2份。

師：前面平均分成10份，你看得出來。第三題平均分成了2份，你能看出平均分成10份嗎？

生：能！

師：圖中我確定平均分成10份了，認真看，你看到了嗎？

出示平均分成10份后的圖：

師：是這個樣子嗎？

生：是！

師：如果把這些線去掉，你還能看出是0.5嗎？中間的這些線畫與不畫有關(guān)系嗎？看來，想象力比知識更重要。

……

第三個圖中表示平均分的線段的省略，給學(xué)生的思維設(shè)置了一個小小的障礙，就是在這短暫的思維故障中，學(xué)生對概念的認識又向前了一步，從另一方面更突出了平均分10份的重要性。不能為表面所迷惑，而要借助思維透過現(xiàn)象看本質(zhì)。

小數(shù)的出現(xiàn)，又一次打破原有的平衡，使小數(shù)與整數(shù)完全融為一體。因為小數(shù)概念是自然生長在整數(shù)1之上的，1平均分成10份，10份就是整數(shù)1。所以在這里教師沒有過多地引導(dǎo)，而是讓學(xué)生自己探索，建立聯(lián)系，讓學(xué)生對小數(shù)概念不僅知其然而且知其所以然。

整個教學(xué)過程，學(xué)生始終圍繞著與原有的認識上對概念進行建構(gòu)、生長。一步接一步，層層深入，觸摸小數(shù)概念之間的本質(zhì)聯(lián)系，在對比中去除非本質(zhì)的干擾，使概念的意義得以強化。不能不提出的是，在整個教學(xué)中，作為小數(shù)與整數(shù)緊密的聯(lián)結(jié)點——十進制思想始終作為思想主線滲透其中，這是完整建構(gòu)整數(shù)、小數(shù)體系的核心數(shù)學(xué)思想。

（作者單位：江蘇省南通市通州區(qū)西亭小學(xué)）

責(zé)任編輯 周瑜芽

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